3.5　图形的位似 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“图形的位似”第1课时，核心内容包括位似图形的概念、性质及作图方法。新课引入通过放大镜成像、投影仪投射图象等生活实例，从相似多边形自然过渡到位似图形，构建“相似—特殊相似（位似）”的知识支架。 其亮点在于以实例驱动教学，如通过判断位似图形例题培养抽象能力，结合物理小孔成像问题强化模型意识，借助方格作图题发展几何直观。随堂小测分层设计，帮助学生深化理解，教师可通过此资料提升教学效率，促进学生用数学眼光观察、思维分析和语言表达现实世界。

第三章　图形的相似 5　图形的位似 第2课时　位似变换的坐标变化规律 　 1 如图，在平面直角坐标系中，△AOB三个顶点的坐标分别为O（0，0）， A（3，1），B（2，3）.将点O，A，B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个 点，以这三个点为顶点的三角形与△AOB位似吗？如果位似，指出位似中心 和相似比. 　 　位似图形的坐标变化 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的① 、② ⁠ 都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是③ ，它们的相似比为④ ⁠. 要点诠释：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形 位似的图形，原图形上的点P（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为 P1（kx，ky）或P2（－kx，－ky）；当位似图形在原点同侧时，其对应顶点 的坐标的比为k，当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k. 横坐标 纵坐标 坐标原点 ｜k｜ 　 【例1】如图，以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把线段AB放大得到 A1B1，A2B2. 　 （1）已知点A的坐标为（1，2），则点A1的坐标为 ，点A2的 坐标为 ； （2）已知点B的坐标为（2，0），则点B1的坐标为 ，点B2的 坐标为 ⁠； （3）若P（x，y）是AB上一点，则其对应点P1的坐标为 ⁠ ， 对应点P2的坐标为 ⁠. （2，4） （－2，－4） （4，0） （－4，0） （2x，2y） （－2x，－2y） 　 （2025秋•南山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知 点A（－3，6），B（－9，－3），以原点O为位似中心做出位似图形，使 原图形与新图形的相似比为3∶1，则点A的对应点A′的坐标为 ⁠ ⁠. （－1，2）或 （1，－2） 　 　平面直角坐标系中的位似图形 特别说明： 1. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似 的图形，可以作两个，且当｜k｜＞1时，图形扩大；当0＜｜k｜＜1时， 图形缩小. 2. 位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别. 位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在 于：平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似 （扩大、缩小或不变）交换. 　 【例2】（根据教材第92页操作•思考改编）如图，在平面直角坐标系中，四 边形OABC的顶点分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（－3， 3）. （1）以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四 边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3； 解：如图所示，四边形OA1B1C1即为所求. 　 （2）写出点A1，B1，C1的坐标； 解：由图形可得A1（－4，0）， B1（－2，－4），C1（2，－2）. （3）四边形OA1B1C1的面积为 ⁠. 14 解析：四边形OA1B1C1的面积为 ×2×4＋ ×（3＋4）×2＋ ×3×2＝14. 故答案为14. 　 （根据教材第101页复习题第14题改编）如图，在平面直角坐标 系中，将四边形OABC四个顶点的横坐标、纵坐标都乘－2，画出以所得四 个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比. 解：如图，四边形ODEF为所作，四边形OABC 和四边形ODEF是位似图形，位似中心为原点， 相似比为2∶1. 　 1. （2025春•光明区月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为原点O，相似比为1∶2，若点C（－4，6），则点C′的坐标为（　A　）. A. （8，－12） B. （12，－8） C. （6，－12） D. （12，－6） A 　 2. （2025秋•福田区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与 △DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（－1，0），D（2， 0）且EF＝3，则线段BC的长度为（　D　）. A. 2 B. C. 3 D. D 　 3. 一张标准对数视力表是由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组 成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大 或缩小.如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似.若点A（6， 8），点B（3，4），点C（10，4），则点D的坐标是（　C　）. A. （4，2） B. （5，3） C. （5，2） D. （6，2） C 　 4. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO的面积扩 大到原来的2倍，得到△A′B′O. 若点A的坐标为（2，4），则点A′的坐标 为 ⁠. （4，8）或（－4，－8） 　 5. （根据教材第94页习题3.5第3题改编）如图，在平面直角坐标系中，以原 点O为位似中心，五边形OABCD五个顶点的坐标分别为O（0，0）， A（－1，3），B（1，4），C（4，2），D（3，0）. （1）以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形OABCD的位似图形 OA1B1C1D1，使它与五边形OABCD的相似比为2∶1. 解：如图，五边形OA1B1C1D1即为所求. 　 （2）写出点C1的坐标 ⁠. （3）已知五边形OABCD的面积为13.5，则五边形OA1B1C1D1的面积 为 ⁠. （8，4） 54 解析：∵五边形OABCD∽五边形OA1B1C1D1， 相似比为1∶2， ∴面积比为1∶4.∵五边形OABCD的面积为13.5， ∴五边形OA1B1C1D1的面积为13.5×4＝54. 故答案为54. 　 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2， 2），B（4，0），C（4，－4）.解答下列问题： （1）△ABC的面积是 ⁠； 4 解析：△ABC的面积＝ ×4×2＝4.故答案为4. 　 （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 得到△A1B1C1，请在y 轴右侧画出△A1B1C1； 如图1，△A1B1C1为所作. 图1 图1 　 （3）请用无刻度直尺在边AC上画一点P，使得∠PBC＝∠BAC，并保留 作图痕迹. 如图2，构造等腰直角三角形RAC， 作BT∥AR交AC于点P，点P即为所求. 理由：由作图可知∠APB＝∠RAC＝45°， ∴∠CPB＝135°. ∵∠ABC＝135°， ∴∠ACB＋∠CAB＝45°， ∠ACB＋∠CBP＝45°， ∴∠PBC＝∠BAC. 图2 　 参考答案 【新课导学】 ①横坐标　②纵坐标 　③坐标原点　④｜k｜ 【例1】（1）（2，4）　（－2，－4） （2）（4，0） （－4，0） （3）（2x，2y） （－2x，－2y） 变式训练1　（－1，2）或（1，－2） 　 【例2】　解：（1）如图所示，四边形OA1B1C1即为所求. （2）由图形可得A1（－4，0），B1（－2，－4），C1（2，－2）. （3）14　解析：四边形OA1B1C1的面积为 ×2×4＋ ×（3＋4）×2＋ ×3×2＝14. 故答案为14. 　 变式训练2　解：如图，四边形ODEF为所作，四边形OABC和四边形 ODEF是位似图形，位似中心为原点，相似比为2∶1. 　 【随堂小测】 1. A　2.D　3.C　4.（4，8）或（－4，－8） 5. 解：（1）如图，五边形OA1B1C1D1即为所求. （2）（8，4） （3）54　解析：∵五边形OABCD∽五边形 OA1B1C1D1，相似比为1∶2， ∴面积比为1∶4.∵五边形OABCD的面积为13.5， ∴五边形OA1B1C1D1的面积为13.5×4＝54. 故答案为54. 　 6. 解：（1）4　解析：△ABC的面积＝ ×4×2＝4.故答案为4. （2）如图1，△A1B1C1为所作. 图1 　 （3）如图2，构造等腰直角三角形RAC，作BT∥AR交AC于点P，点P即 为所求. 理由：由作图可知∠APB＝∠RAC＝45°， ∴∠CPB＝135°. ∵∠ABC＝135°， ∴∠ACB＋∠CAB＝45°，∠ACB＋∠CBP＝45°， ∴∠PBC＝∠BAC. 图2 　 $第三章　图形的相似 5　图形的位似 第1课时　位似图形 　 1 放大镜下的图形、投影仪投射的图象，不仅相似，而且对应点的连线交于一 点.这种特殊的相似关系，称为“位似”.什么是位似中心？我们一起来认识 位似图形吧. 　 　位似图形的概念 一般地，如果两个① 任意一组对应顶点P，P′所在的直线都 经过同一点O，且有OP′＝k•OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位 似多边形，点O叫作② .实际上，k就是这两个位似多边形的 ③ ⁠. 特别说明： 1. 位似图形是相似图形的一种特殊形式； 相似多边形 位似中心 相似比 2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定 是位似图形. 　 【例1】下列图形中是位似图形的是（　B　）. A B C D B 　 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（　A　）. A 　 　位似图形的性质 位似图形的性质： （1）位似图形的对应点的连线相交于④ ⁠； （2）位似图形的对应边⑤ ⁠； （3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑥ . 特别说明：判断图形是否位似，首先看这两个图形是否相似，再看对应点的 连线是否经过位似中心. 位似中心 互相平行或在同一条直线上 相似比 　 【例2】（2025秋•福田区校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图 形，点O是位似中心，相似比为3∶1.若OA＝6，则OA′的长为（　B　）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 　 （2025秋•福田区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，其位 似中心为点O，且 ＝ ，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为 ⁠. 25 　 　画位似图形的一般步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：连接位似中心与各关键点； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 　 　 特别说明：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、顶 点上，即画位似图形时，要注意关于某点的位似图形可能有两个.下面是位似 中心不同的常见模型画法. 　 【例3】（教材第91页例1）如图，已知△ABC，以点O为位似中心画一个 △DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2. 解：如图，△DEF为所作. 　 如图，在边长为1的5×5方格中，有一个四边形OABC，以点O 为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC位似，且该四 边形的各个顶点都在格点上. 解：如图所示，四边形OA′B′C′即为所求. 　 1. 如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC ＝5，则 ＝ 　​ 　. ​ 　 2. （2024秋•深圳期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中 心.若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　A　）. A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 A 　 3. （2025秋•宝安区期中）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位 似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4∶9，则OA∶OD为（　B　）. A. 4∶9 B. 2∶3 C. 2∶1 D. 3∶1 B 　 4. （2024秋•宝安区期中）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似 中心的位似图形，相似比为3∶5，下列说法错误的是（　D　）. A. AC∥A′C′ B. S△A′B′C′∶S△ABC＝9∶25 C. △BCO ∽△B′C′O D. OB′∶BB′＝5∶3 D 　 5. （2024秋•福田区校级期中）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中 心的位似图形，若AP＝ A1P，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是 （　B　）. A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 B 　 6. （教材第94页习题3.5第1题）已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对 角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形. 解：如图，正方形A′B′C′D′为所作. 　 7. （2025•南山区三模）如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡 板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的 实像CD，△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光 屏PQ的水平距离为8 cm，AB＝6 cm，此时，像CD的长为12 cm，为了使 像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以 将遮挡板MN（　B　）. A. 水平向右移动1 cm B. 水平向左移动1 cm C. 水平向右移动1.5 cm D. 水平向左移动1.5 cm B 　 解析：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F， ∵△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O， ∴AB∥CD，∴OF⊥CD， ∴OE，OF分别为△ABO和△DCO对应边AB，CD上的高. ∵遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8 cm， ∴OF＝8 cm. ∵△ABO和△DCO成位似图形，AB＝6 cm，CD＝12 cm， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴OE＝4 cm， 　 ∴EF＝OE＋OF＝4＋8＝12（cm）. ∵像CD的长度变成AB的3倍，物体AB和屏幕PQ位置不变， ∴设OE＝x cm，则OF＝（12－x） cm，CD＝3AB＝3×6＝18（cm）. 又∵ ＝ ，即 ＝ ， ∴x＝3. ∵4－3＝1（cm）， ∴可以将遮挡板MN水平向左移动1 cm.故选B. 　 参考答案 【新课导学】 ①相似多边形 ②位似中心 ③相似比 【例1】　B 变式训练1　A ④位似中心　⑤互相平行或在同一条直线上 ⑥相似比 【例2】　B 变式训练2　25 　 【例3】　解：如图，△DEF为所作. 　 变式训练3　解：如图所示，四边形OA′B′C′即为所求. 　 【随堂小测】 1. 　2.A　3.B　4.D　5.B 6. 解：如图，正方形A′B′C′D′为所作. 　 7. B　解析：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F， ∵△ABO和△DCO成位似图形，位似中心为点O， ∴AB∥CD，∴OF⊥CD， ∴OE，OF分别为△ABO和△DCO对应边AB，CD上的高. ∵遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8 cm，∴OF＝8 cm. ∵△ABO和△DCO成位似图形，AB＝6 cm，CD＝12 cm， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴OE＝4 cm， 　 ∴EF＝OE＋OF＝4＋8＝12（cm）. ∵像CD的长度变成AB的3倍，物体AB和屏幕PQ位置不变， ∴设OE＝x cm，则OF＝（12－x） cm，CD＝3AB＝3×6＝18（cm）. 又∵ ＝ ，即 ＝ ， ∴x＝3. ∵4－3＝1（cm）， ∴可以将遮挡板MN水平向左移动1 cm.故选B. 　 $