3.1　相似多边形 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“图形的相似”第一课时，核心涵盖成比例线段、相似多边形定义及判定、比例基本性质。课堂导入从生活中形状相同图形的放大缩小现象切入，通过线段比建立基础，过渡到成比例线段，最终落脚相似多边形，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过矩形相似判定的正反例发展推理意识，用符号表达比例关系强化数学语言。例题与随堂小测结合，助力学生提升抽象能力和运算能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第三章　图形的相似 1　相似多边形 第1课时　成比例线段、相似多边形、比例的基本性质 　 1 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形.对于两个形状相同而 大小不同的平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到 的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中， 两个图形上相应的线段也被“放大”或“缩小”.因此，对于形状相同而大 小不同的两个图形，我们可以用相应线段的长度比来描述它们的大小关系. 　 　线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么 这两条线段的比就是它们① 的比，即AB∶CD＝② ，或写 成 ＝③ 　​ 　.其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的④ . 如果把 表示成比值k，那么 ＝⑤ 或AB＝⑥ .两条线段的比实际上就是两个数的比. 长度 m∶n ​ 前项和后项 k k•CD 特别说明：当比的内项相等时，即 ＝ 或a∶b＝b∶d，线段 b 叫作线段a和 d的比例中项. 　 【例1】（1）已知线段AB＝7 cm， CD＝9 cm，则 ＝ 　​ 　； （2）已知线段AB＝3 cm， CD＝4 cm，则 ＝ 　​ 　. 已知线段AB的长度是线段CD长度的5倍，即AB＝5CD，则 AB∶CD＝ ⁠. ​ ​ 5∶1 　 　成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即⑦ ， 那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称⑧ ⁠. 特别说明：（1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依 次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； （2）成比例的线段是有顺序的，比如：a，b，c，d是成比例的线段，只 能写成 ＝ （即 ＝ ），而不能写成 ＝ . ＝ 比例线段 　 【例2】（教材第62页随堂练习第2题）a，b，c，d是成比例线段，其中a ＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，求线段d的长. 解：根据题意得a∶b＝c∶d，即3∶2＝6∶d，所以d＝ ＝4（cm）. （2025秋•南山区校级月考）下列各组中的四条线段成比例的是 （　B　）. A. a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 B. a＝2，b＝ ，c＝2 ，d＝ C. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D. a＝ ，b＝3，c＝2，d＝ 解：根据题意得a∶b＝c∶d，即3∶2＝6∶d，所以d＝ ＝4（cm）. B 　 　比例的基本性质 如果 ＝ ，那么ad＝⑨ .如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于 0），那么 ＝⑩ 　​ 　. 特别说明：性质的变式： ＝ ⇔ 　 核心内容：ad＝bc. bc ​ 　 【例3】（2025秋•福田区校级期中）如果2x＝5y，那么 ＝ 　​ 　. （2025秋•盐田区期末）若2a＝b（b≠0），则 ＝ 　​ 　. ​ ​ 　 　相似多边形的定义 1. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作⑪ ⁠. 2. 相似比：相似多边形⑫ 的比叫作相似比. 相似多边形 对应边 　 归纳：相似与全等的联系与区别 全等 相似 定义 形状和大小都相同的图形 形状相同的图形 图例 符号 表示 △ABC≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1 联系 （1）形状相同；（2）全等是特殊的相似；（3）对应的字母要写在 对应的位置上. 区别 把一个图形按一定比例放大（或缩小），就可以得到它的相似图 形，当这个比例为1∶1时，得到的图形与原图形全等. 　 【例4】（根据教材第62页随堂练习第3题改编）图中两个矩形相似吗？说说 你的理由. 解：∵ ＝ ，且两个矩形的四个角都是直角， ∴图中的两个矩形相似. 　 （根据教材第62页随堂练习第3题改编）图中两个矩形相似吗？ 说说你的理由. 解：∵ ＝ ≠ ， ∴图中的两个矩形不相似. 　 1. （2025秋•宝安区期中）下列四条线段中，成比例线段的是（　B　）. A. 3 cm，6 cm，15 cm，40 cm B. 5 cm，6 cm，5 cm，6 cm C. cm， cm， cm， cm D. 2 cm，0.5 cm，0.5 cm，4 cm B 　 2. 已知线段a＝10 cm，b＝20 cm，则a∶b＝ ⁠. 3. 已知a，b，c，d是成比例线段，a＝4 cm，b＝6 cm，d＝9 cm，则c ＝ cm. 4. （2025秋•宝安区期末）已知3x＝4y，则 ＝ 　​ 　， ＝ 　​ 　. 1∶2 6 ​ ​ 　 5. 如图，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′－D′E′相似且相似比为 3∶4，CD＝2.4 cm，则C′D′＝ cm. 3.2 　 6. 已知b≠0，根据下列条件，求a∶b的值. （1）3a＝7b； 解：∵3a＝7b， ∴a∶b＝7∶3. （2） ＝ . 解：∵ ＝ ， ∴8a＝7b， ∴ ＝ . 　 7. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形 ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长. 解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴AD＝DC＝BC＝AB＝2. ∵四边形ABFE是矩形， ∴AE＝BF，EF＝AB＝2. ∵矩形EFCD∽矩形AEFB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得AE＝－1＋ （负值舍去）. 　 参考答案 【新课导学】 ①长度 ②m∶n ③ ④前项和后项 ⑤k ⑥k•CD 【例1】 （1） 变式训练1　5∶1 ⑦ ＝ 　⑧比例线段 【例2】　解：根据题意得a∶b＝c∶d，即3∶2＝6∶d， 所以d＝ ＝4（cm）. 　 变式训练2　B ⑨bc ⑩ 【例3】 变式训练3　 ⑪相似多边形　⑫对应边 【例4】　解：∵ ＝ ，且两个矩形的四个角都是直角， ∴图中的两个矩形相似. 变式训练4　解：∵ ＝ ≠ ， ∴图中的两个矩形不相似. 　 【随堂小测】 1. B　2.1∶2　3.6　4. 　 　5.3.2 6. 解：（1）∵3a＝7b， ∴a∶b＝7∶3. （2）∵ ＝ ， ∴8a＝7b， ∴ ＝ . 　 7. 解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴AD＝DC＝BC＝AB＝2. ∵四边形ABFE是矩形， ∴AE＝BF，EF＝AB＝2. ∵矩形EFCD∽矩形AEFB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得AE＝－1＋ （负值舍去）. 　 $第三章　图形的相似 1　相似多边形 第2课时　比例的等比性质 　 1 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ＝ ＝ ＝ ＝ . （1）这两个图形相似吗？ （2）你能求出 的值吗？由此你能得出什么结论？ 　 　等比性质 如果 ＝ ＝…＝ （b＋d＋…＋n≠0），那么① 　 ＝ 　. 注意：该性质使用时的前提要求是b＋d＋…＋n≠0. ＝ 　 【例1】如果 ＝ ＝…＝ （b＋d＋…＋n≠0），证明 ＝ 成立. 证明：设 ＝ ＝…＝ ＝t，则a＝bt，c＝dt，…，m＝nt， ∴ ＝ ＝ ＝t. ∴ ＝ . 　 （2025秋•深圳校级月考）已知 ＝ ＝ ，求 的值. 解：∵ ＝ ＝ ， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴ ＝ ＝ ＝2. 　 【例2】（教材第63页例）在△ABC与△DEF中，已知 ＝ ＝ ＝ ， 且△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长. 解：∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴4（AB＋BC＋CA）＝3（DE＋EF＋FD）. ∵△ABC的周长为18 cm，即AB＋BC＋CA＝18 cm， ∴△DEF的周长＝DE＋EF＋FD＝ ×18＝24（cm）. 　 若a，b，c，d，e，f满足 ＝ ＝ ＝ ，则代数式 ＝ ⁠. ​ 　 　合比性质 如果 ＝ ，那么 ＝② 　​ 　； ＝③ 　​ 　. 特别说明：比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后 项之间发生同样和差变化，比例仍成立. 如： ＝ ⇒ ​ ​ 　 【例3】如果 ＝ ，证明 ＝ 成立. 证明：∵ ＝ ， ∴ ＋1＝ ＋1，即 ＋ ＝ ＋ ， ∴ ＝ . 　 （1）已知 ＝2，求 的值； 解：∵ ＝2， ∴a＝2b， ∴ ＝ ＝3. 　 （2）已知 ＝ ，求 的值. 解：∵ ＝ ， ∴a＝ b， ∴ ＝ ＝ . 　 1. （2025秋•龙华区期末）已知 ＝ ，则 ＝ 　​ 　. 2. （2025秋•福田区校级月考）若 ＝ ，则 ＝ 　​ 　. 3. （2025秋•宝安区校级月考）已知3x＝2y，则 的值等于 　－ 　. 4. （2025秋•深圳校级月考）已知 ＝ ＝ （x，y，z均不为零），则 ＝ ⁠. ​ ​ － －18 　 5. （2025秋•深圳校级月考）如果 ＝ ，那么 ＝ 　​ 　. ​ 6. （根据教材第64页随堂练习第1题改编）已知 ＝ ＝ （b＋d≠0），求 的值. 解：由条件可得a＝ b，c＝ d， ∴ ＝ ＝ ＝ . 　 7. 已知 ＝ ＝ ＝k，求k的值. 解：由题意得a＋b＝kc，b＋c＝ka，a＋c＝kb，将以上三式左右两边相 加得a＋b＋b＋c＋a＋c＝ka＋kb＋kc，即2（a＋b＋c）＝k（a＋b ＋c）， ∴（k－2）（a＋b＋c）＝0， ∴k＝2或a＋b＋c＝0.当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c， ∴ ＝k， ∴k＝－1.综上，k的值为2或－1. 　 参考答案 【新课导学】 ① ＝ 【例1】　证明：设 ＝ ＝…＝ ＝t，则a＝bt，c＝dt，…，m＝nt， ∴ ＝ ＝ ＝t. ∴ ＝ . 　 变式训练1　解：∵ ＝ ＝ ， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∴ ＝ ＝ ＝2. 【例2】　解：∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴4（AB＋BC＋CA）＝3（DE＋EF＋FD）. ∵△ABC的周长为18 cm，即AB＋BC＋CA＝18 cm， ∴△DEF的周长＝DE＋EF＋FD＝ ×18＝24（cm）. 　 变式训练2　 ② 　③ 【例3】　证明：∵ ＝ ， ∴ ＋1＝ ＋1，即 ＋ ＝ ＋ ， ∴ ＝ . 　 变式训练3　解：（1）∵ ＝2， ∴a＝2b， ∴ ＝ ＝3. （2）∵ ＝ ， ∴a＝ b， ∴ ＝ ＝ . 　 【随堂小测】 1. 　2. 　3.－ 　4.－18　5. 6. 解：由条件可得a＝ b，c＝ d， ∴ ＝ ＝ ＝ . 　 7. 解：由题意得a＋b＝kc，b＋c＝ka，a＋c＝kb，将以上三式左右两 边相加得a＋b＋b＋c＋a＋c＝ka＋kb＋kc，即2（a＋b＋c）＝k（a ＋b＋c）， ∴（k－2）（a＋b＋c）＝0， ∴k＝2或a＋b＋c＝0.当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c， ∴ ＝k， ∴k＝－1.综上，k的值为2或－1. 　 $