精品解析：贵州安顺市镇宁高中教育集团2025--2026学年第二学期期末模拟评价试题高一数学试题

镇宁高中教育集团2025--2026学年第二学期期末模拟评价试题 高一年级数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项符合题意）. 1. 如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 18 2. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，，为的中点，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 7. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每个小题有多个选项符合题意，选对部分得部分分，有错选不得分）. 9. 有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6.5 C. 平均数为7 D. 方差为3.5 10. 重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A. s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B. s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C. s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D. s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则______ 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 14. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知平面向量，． （1）求和； （2）求向量与的夹角． 16. 2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 17. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）求的面积； （3）若点在边上，且平分，求的长． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁高中教育集团2025--2026学年第二学期期末模拟评价试题 高一年级数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题（每小题5分，共40分，每个小题只有一个选项符合题意）. 1. 如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 2. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 3. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 4. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 由二倍角公式，代入得， 整理得. 已知为钝角，则. 因此. 5. 如图所示，，，为的中点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，为的中点，所以， 所以. 6. 已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由独立，得，B正确； 对于C，由独立，得，C错误； 对于D，由互斥，得，D正确. 7. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，根据勾股定理和三角函数关系式计算即可. 【详解】如图，过作于点，在中，km， 作. 在中，，所以. 因为小时，所以受台风影响的时间为4小时. 8. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为． 设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形， 点在上，， 所以，所以． 二、多选题（每小题6分，共18分，每个小题有多个选项符合题意，选对部分得部分分，有错选不得分）. 9. 有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6.5 C. 平均数为7 D. 方差为3.5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据样本数据的数字特征求解即可. 【详解】有一组样本数据6，8，5，6，7，10，先对数据从小到大排列可得5,6,6,7,8,10，那么 极差为，A错误； 中位数为，B正确； 平均数为：,C正确； 方差为：，D错误. 10. 重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡．如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），画一条基线，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是（　　） A. s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B. s，∠ACB，∠ACD，∠ADC C. s，∠ACB，∠BCD，∠ADC D. s，∠ACB，∠BCD，∠ACD 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理以及三角函数关系来求解线段长度（即的高度）的相关知识，通过分析不同条件下能否求出所需的边和角，进而判断能否求出的高度. 【详解】对于选项A：已知，，，在中，根据正弦定理（这里为三角形的三边，为三角形的三个内角），可以求出的长度. 又因为已知，在直角中，结合已求出的和等条件，就可以求出的高度，所以选项A正确. 对于选项B：已知，，，在中，依据正弦定理可以求出的长度. 再结合已知的，在直角中就可以求出的高度，所以选项B正确. 对于选项C：过点作，连接. 根据三角函数的关系，，， 可以推导出. 由于，已知，所以可以求得的大小. 在中，已知，和，利用正弦定理可求得的长度. 在中，已知和AC，就可以求得的长度，所以选项C正确. 对于选项D：在和中，都只知道一边一角， 根据三角形全等或求解的条件，仅一边一角无法确定三角形的形状和大小， 也就不能求出其他角或边，从而无法求出的高度，所以选项D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 存在点Q，使平面MBN B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 三棱锥的体积是定值，为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则______ 【答案】 【解析】 【详解】可知， 则，所以. 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 14. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知平面向量，． （1）求和； （2）求向量与的夹角． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算以及模长的坐标公式即可求解； （2）根据平面向量夹角的坐标公式结合数量积的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， ，所以. 【小问2详解】 ， ， ，， 设向量与的夹角为，则， 又因为，所以. 16. 2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1） 平均年龄为岁，众数为岁； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. 【小问2详解】 第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 17. 如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 18. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）求的面积； （3）若点在边上，且平分，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）又平分，可知，求出，代入后即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． 【小问2详解】 由，得． 所以． 【小问3详解】 因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $