2025-2026学年高一下学期必修二综合测试试题

**基本信息** 覆盖复数、向量、立体几何、概率统计等核心知识，通过基础辨析、空间证明、数据分析等梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高一期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部、向量条件判断、斜二测画法、解三角形等|基础概念辨析，如第2题结合向量相等考查充分必要条件| |多选题|3|复数性质、向量运算、统计概念|综合能力考查，如第9题结合复数几何意义判断多选项| |填空题|3|独立事件概率、百分位数、三棱锥外接球|空间与数据结合，如第14题通过三棱锥结构求外接球表面积| |解答题|5|向量投影、解三角形、频率分布直方图、立体几何证明、概率应用|分层能力提升，如18题立体几何证明考查空间观念，17题频率分布直方图分析体现数据意识|

高一数学必修二综合测试试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 4．在 中，，则（    ） A． B． C． D． 5．将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 6．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．设m，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B．的虚部为 C．的共轭复数为 D．若，则的最大值是 10．已知平面向量，，则下列说法错误的是（    ） A．当时， B．当时，或 C．若向量和向量的夹角为钝角，则的取值范围为 D．若向量在向量上的投影向量为，则 11．下列命题正确的有（   ） A．一组数据1，2，2，2，3，3，3，4，5的众数是2 B．已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立 C．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取6人 D．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则 三、填空题 12．设随机事件，相互独立，且，，则__________． 13．一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________． 14．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 四、解答题 15．已知向量，，，且． (1)求在方向上的投影向量的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值． 16．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 17．某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 19．在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学必修二综合测试试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C B C B ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】求出复数，代入计算即可. 【详解】由在复平面对应点为，可得， 则，所以虚部为. 2．B 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且同向，即， 所以“且”是“”的必要不充分条件. 3．B 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 4．D 【分析】根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，有，所以. 5．C 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 6．B 【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判断是等边三角形 【详解】由及正弦定理可得，得， 故（舍去）或，即， 又，所以， 因，，得，故， 故是等边三角形， 故选：B 7．C 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，若，，设， 只有时，才能得到，故D错误. 8．B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 9．ACD 【分析】先由虚数单位的乘方性质及复数的除法可得，再由相关概念可判断ABC选项，对D选项根据复数方程的几何意义可得. 【详解】因为，则. 对于B选项，因为，所以的虚部为，故B错误； 对于A选项，因为，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故A正确； 对于C选项，因为，所以的共轭复数为，故C正确； 对于D选项，因为，， 因为，且， 所以复数对应的点在以复数对应的点为圆心，以半径的圆上，如图： 因此的最大值就是圆上的点到原点的距离最大值， 由复数的几何意义得.即的最大值是，故D正确. 10．ACD 【分析】根据平行和垂直的坐标关系即可求解AB，根据数量积的坐标运算即可求解C，根据投影向量的计算公式即可求解D. 【详解】对于A， 若，则，解得或，故A错误， 对于B，若，则，解得或，B正确， 对于C， 因为向量和向量的夹角为钝角， 所以，且， 解得，且， 故与的夹角为钝角，则的取值范围为，C错误， 对于D，向量在向量上的投影向量， 结合条件可得， 所以， 解得或，故D错误. 11．BCD 【分析】根据众数的概念判断A，根据相互独立事件同时发生的概率公式判断B，根据分层抽样判断C，根据均值与方差的性质列方程求解判断D. 【详解】对于A，一组数据1，2，2，2，3，3，3，4，5的数据2和3各出现了三次，出现次数最多，所以该组数据的众数是2和3，故A错误； 对于B，因为，由，可得事件A和B相互独立，故B正确； 对于C，若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样， 从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取人，故C正确； 对于D，由题意可得，因，则得，，故D正确. 故选：BCD. 12．0.7/ 【分析】由独立事件的乘法公式结合随机事件的加法公式即可求解. 【详解】由题意得， 则. 13． 25 39 【分析】把数据从小到大排序，分别找出第25，75百分位数，即可得解. 【详解】解：把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数， 14×25%＝3.5， 14×75%＝10.5， 所以第25，75百分位数分别是第4，11项数据，即是25，39． 故答案为：25，39． 【点睛】本题主要考查数据的数字特征，属于基础题型. 14． 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用投影向量的定义计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积的坐标运算求得，进而利用向量夹角的坐标运算计算可求得向量与夹角的大小． 【详解】（1）因为，，所以， 所以在方向上的投影向量为； （2）因为，所以，解得， 所以，，所以， ，， 所以， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 17．(1) (2)估计中位数为77.1，平均数为76.5 (3)855人 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解； （2）根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为，区间中点乘以相应组的频率可估计平均数，即可求解； （3）首先求出63分以上的频率，进而可得63分以上的人数. 【详解】（1）由题意得，解得； （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上， 则可估计中位数为， 平均数为； （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以， 故63分以上的人数估计为855人． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． （2）记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. （3）记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $