2.2　一元二次方程的解法 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解法，核心内容为直接开平方法及配方法解二次项系数为1的方程。新课引入通过三个递进方程引导学生从已知直接开平方过渡到需转化的方程，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于问题驱动导入培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，步骤化教学（移项、配方、开方）强化数学思维中的推理意识与运算能力，分层训练（如试验田小道应用题）体现数学语言中的模型意识。学生能逐步掌握方法提升能力，教师可借助清晰结构高效教学。

第二章　一元二次方程 2　一元二次方程的解法 第2课时　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 　 1 若二次项系数不是1，如2x2＋8x＋3＝0，还能用配方法吗？你能把它转化为 我们熟悉的形式吗？ 　 　　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤 （1）将二次项系数化为① ⁠； （2）将常数项移到方程的② ⁠； （3）方程的两边都加上③ ，左边配成完全平 方式； （4）若方程的右边合并同类项后为④ ，两边同时开方得方程 的解. 1 右边 一次项系数一半的平方 非负数 　 【例1】一元二次方程3x2＋8x－3＝0经过配方后可变形为（　C　）. A. （x＋4）2＝7 B. （x＋4）2＝19 C. （x＋ ）2＝ D. （x＋ ）2＝ 把方程2x2－x－6＝0配方，化为（x＋m）2＝n的形式为 ⁠. C 2＝ 　 【例2】用配方法解方程：2x2－4x－7＝0. 解：∵2x2－4x－7＝0， ∴2（x2－2x＋1）＝9，（x－1）2＝ ，x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 用配方法解方程：2x2－4x－3＝0. 解：∵2x2－4x－3＝0， ∴2x2－4x＝3， 则x2－2x＝ ， ∴x2－2x＋1＝ ，即（x－1）2＝ ， ∴x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 【例3】（2024秋•南山区期末）小颖在解方程2x2－8x＋3＝0时出现了错 误，解答过程如图所示： 解方程：2x2－8x＋3＝0. 解：2x2－8x＝－3，……① x2－4x＝－3，……② x2－4x＋4＝－3＋4，……③ （x－2）2＝1，……④ x－2＝±1，……⑤ x1＝3，x2＝1.……⑥ （1）小颖的解答过程从第 步开始出错，其错误的原因是 ⁠ ⁠； ② 等式的右 边没有除以2 　 （2）请你写出此题正确的解题过程. 2x2－8x＝－3，x2－4x＝－ ， x2－4x＋4＝－ ＋4，（x－2）2＝ ，x－2＝± ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 【例3】（2024秋•南山区期末）小颖在解方程2x2－8x＋3＝0时出现了错 误，解答过程如图所示： 　 数学课上，老师展示了班级某位同学解方程3x2－6x＋1＝0的过 程，其过程如下： 解：3x2－6x＝－1，第一步 x2－2x＝－1，第二步 x2－2x＋1＝－1＋1，第三步 （x－1）2＝0，第四步 x1＝x2＝1，第五步 （1）第三步的依据是 ⁠； （2）该同学的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ⁠ ⁠； 等式的基本性质1 二 等式 右边没有除以3 　 （3）请写出该方程的正确解. 解：3x2－6x＋1＝0，3x2－6x＝－1， x2－2x＝－ ，x2－2x＋1＝－ ＋1， （x－1）2＝ ，x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 【例4】用配方法证明：不论x为何值，代数式2x2＋8x＋9的值恒大于零. 解：2x2＋8x＋9＝2（x2＋4x＋4）＋1＝2（x＋2）2＋1， ∵2（x＋2）2为非负数， ∴2（x＋2）2＋1为正数， ∴2x2＋8x＋9的值恒大于零. 　 用配方法求－3x2－6x＋1的最大值. 解：－3x2－6x＋1＝－3（x2＋2x）＋1＝－3（x2＋2x＋1－1）＋1＝－3 （x＋1）2＋4.∵－3（x＋1）2≤0， ∴－3（x＋1）2＋4≤4， ∴－3x2－6x＋1的最大值为4. 　 1. 把方程3x2－6x－27＝0的二次项系数化为1，可得方程（　A　）. A. x2－2x－9＝0 B. x2－6x＋27＝0 C. x2－2x－27＝0 D. x2－6x－9＝0 2. 用配方法解方程3x2－6x＋2＝0，则方程可变形为（　B　）. A. （x－3）2＝ B. （x－1）2＝ C. （3x－1）2＝1 D. （x－1）2＝ A B 　 3. 将方程3x2－2x－2＝0配方成（x＋m）2＝n的形式，则n＝ ⁠. ​ 4. （2025秋•龙岗区校级月考）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法 解一元二次方程，每人负责完成一个步骤.如下所示，老师看后，发现有一 位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　B　）. 原方程：2x2＋4x－1＝0→甲：2x2＋4x＝1→乙：x2＋2x＝1→丙：x2＋2x ＋1＝1＋1，即（x＋1）2＝2→丁：x1＝ －1，x2＝－ －1. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 B 　 5. 下面是小聪同学用配方法解方程2x2＋4x－1＝0的过程，请仔细阅读后， 解答下面的问题. 解：移项，得2x2＋4x＝1，① 二次项系数化为1，得x2＋2x＝ ，② 配方，得x2＋2x＋1＝ ，即（x＋1）2＝ ，③ 由此可得x＋1＝± ，④ ∴x1＝－1＋ ，x2＝－1－ .⑤ 整个解答过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ，请给出正确的解题过程. ③ 右边没有加1. 　 解：整个解答过程从第③步开始出现错误，错误的原因是右边没有加1. 移项，得2x2＋4x＝1， 二次项系数化为1，得x2＋2x＝ ， 配方，得x2＋2x＋1＝ ＋1，即（x＋1）2＝ ， 由此可得x＋1＝± ， ∴x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 　 6. （教材第39页随堂练习）解下列方程： （1）3x2－9x＋2＝0； 解：移项，得3x2－9x＝－2， 二次项系数化为1，得x2－3x＝－ ， 配方，得x2－3x＋ ＝－ ＋ ， 即（x－ ）2＝ ， 由此可得x－ ＝± ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 （2）2x2＋6＝7x； 解：移项，得2x2－7x＝－6， 二次项系数化为1，得x2－ x＝－3， 配方，得x2－ x＋ ＝－3＋ ，即2＝ ， 由此可得x－ ＝± ， ∴x1＝2，x2＝ . 　 （3）4x2－8x－3＝0. 解：移项，得4x2－8x＝3， 二次项系数化为1，得x2－2x＝ ， 配方，得x2－2x＋1＝ ＋1，即（x－1）2＝ ， 由此可得x－1＝± ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 7. （根据教材第40页阅读•思考改编）古今中外，许多数学家曾研究过一元 二次方程的几何解法，以一元二次方程x2＋2x－35＝0，即x（x＋2）＝35 为例.三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构 造如图1所示的大正方形，其中，大正方形的面积是（x＋x＋2）2，它又等 于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5. 　 （1）在下面的四个构图中，能够说明x2－2x－8＝0的构图是（　B　）. 解析：方程x2－2x－8＝0变形为x2－2x＝8，即x（x－2）＝8，则大正方 形的面积为（x＋x－2）2，四个矩形的面积为4x（x－2）＝4×8＝32，中 间的小正方形的面积为22＝4，即（x＋x－2）2＝32＋4＝36，解得x＝4， 故符合题意的构图为B，故选B. B 　 （2）小刚用此方法解关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0时，构造出同样 的图形，如图2，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，通过计 算，求关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0的正数解. 根据构图得大正方形的面积为（x＋x＋m）2，小正方形的面积为m2. ∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25， ∴m2＝25，（x＋x＋m）2＝81， ∴m＝5（负值舍去）， ∴（x＋x＋5）2＝81，解得x＝2（负值舍去）， 即关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0的正数解为x＝2. 　 参考答案 【新课导学】 ①1 ②右边 ③一次项系数一半的平方 ④非负数 【例1】　C 变式训练1　2＝ 【例2】　解：∵2x2－4x－7＝0， ∴2（x2－2x＋1）＝9，（x－1）2＝ ，x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 变式训练2　解：∵2x2－4x－3＝0， ∴2x2－4x＝3， 则x2－2x＝ ， ∴x2－2x＋1＝ ，即（x－1）2＝ ， ∴x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 【例3】　解：（1）②　等式的右边没有除以2 （2）2x2－8x＝－3，x2－4x＝－ ， x2－4x＋4＝－ ＋4，（x－2）2＝ ，x－2＝± ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 　 变式训练3　解：（1）等式的基本性质1 （2）二　等式右边没有除以3 （3）3x2－6x＋1＝0，3x2－6x＝－1， x2－2x＝－ ，x2－2x＋1＝－ ＋1， （x－1）2＝ ，x－1＝± ， ∴x1＝1＋ ，x2＝1－ . 　 【例4】　解：2x2＋8x＋9＝2（x2＋4x＋4）＋1＝2（x＋2）2＋1， ∵2（x＋2）2为非负数， ∴2（x＋2）2＋1为正数， ∴2x2＋8x＋9的值恒大于零. 变式训练4　解：－3x2－6x＋1＝－3（x2＋2x）＋1＝－3（x2＋2x＋1－ 1）＋1＝－3（x＋1）2＋4.∵－3（x＋1）2≤0， ∴－3（x＋1）2＋4≤4， ∴－3x2－6x＋1的最大值为4. 　 【随堂小测】 1. A　2.B　3. 　4.B 5. 解：整个解答过程从第③步开始出现错误，错误的原因是右边没有加1. 移项，得2x2＋4x＝1， 二次项系数化为1，得x2＋2x＝ ， 配方，得x2＋2x＋1＝ ＋1，即（x＋1）2＝ ， 由此可得x＋1＝± ， ∴x1＝－1＋ ，x2＝－1－ . 　 6. 解：（1）移项，得3x2－9x＝－2， 二次项系数化为1，得x2－3x＝－ ， 配方，得x2－3x＋ ＝－ ＋ ， 即（x－ ）2＝ ， 由此可得x－ ＝± ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 （2）移项，得2x2－7x＝－6， 二次项系数化为1，得x2－ x＝－3， 配方，得x2－ x＋ ＝－3＋ ，即2＝ ， 由此可得x－ ＝± ， ∴x1＝2，x2＝ . 　 （3）移项，得4x2－8x＝3， 二次项系数化为1，得x2－2x＝ ， 配方，得x2－2x＋1＝ ＋1，即（x－1）2＝ ， 由此可得x－1＝± ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 7. 解：（1）B　解析：方程x2－2x－8＝0变形为x2－2x＝8，即x（x－2） ＝8，则大正方形的面积为（x＋x－2）2，四个矩形的面积为4x（x－2）＝ 4×8＝32，中间的小正方形的面积为22＝4，即（x＋x－2）2＝32＋4＝36， 解得x＝4，故符合题意的构图为B，故选B. （2）根据构图得大正方形的面积为（x＋x＋m）2，小正方形的面积为m2. ∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25， ∴m2＝25，（x＋x＋m）2＝81， ∴m＝5（负值舍去）， ∴（x＋x＋5）2＝81，解得x＝2（负值舍去）， 即关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0的正数解为x＝2. 　 $第二章　一元二次方程 2　一元二次方程的解法 第3课时　用公式法求解一元二次方程 　 1 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），得到根的一 般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多.你能用配 方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）吗？ 　 　判断一元二次方程根的情况 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定.我 们把b2－4ac叫作一元二次方程的① ，通常用希腊字母 “② ”来表示. （1）当b2－4ac③ 0时，方程有两个④ 的实数根. （2）当b2－4ac⑤ 0时，方程有两个⑥ 的实数根. （3）当b2－4ac⑦ 0时，方程⑧ 实数根. 根的判别式 Δ ＞ 不相等 ＝ 相等 ＜ 没有 　 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋5＝7x； 解：方程整理得2x2－7x＋5＝0. ∵Δ＝（－7）2－4×2×5＝49－40＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. （2）4x（x－1）＋3＝0； 解：方程整理得4x2－4x＋3＝0. ∵Δ＝（－4）2－4×4×3＝16－48＝－32＜0， ∴方程没有实数根. 　 （3）4（y2＋0.09）＝2.4y. 解：方程整理得4y2－2.4y＋0.36＝0. ∵Δ＝（－2.4）2－4×4×0.36＝5.76－5.76＝0， ∴方程有两个相等的实数根. 　 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）16y2－24y＋9＝0； 解：∵Δ＝b2－4ac＝（－24）2－4×16×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根. （2）16x2＋8x＝－3； 解：方程16x2＋8x＝－3化为16x2＋8x＋3＝0， Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝－128＜0， ∴方程没有实数根. 　 （3）3（x2－2）＋5x＝0. 解：由原方程得3x2＋5x－6＝0， Δ＝b2－4ac＝52－4×3×（－6）＝97＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 　 【例2】（2025秋•罗湖区期末）若关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有两 个不相等的实数根，则m的值有可能是（　D　）. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （2025秋•南山区期末）关于x的方程x2＋2x＋m－1＝0有两个 不相等的实数根，则m可取的最大整数是 ⁠. D 1 　 【例3】（2025•南山区校级开学）若关于x的一元二次方程（k－1）x2－ 2kx＋k－3＝0有实数根，求k的取值范围. 解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2kx＋k－3＝0有实数根， ∴k－1≠0且Δ＝（－2k）2－4（k－1）（k－3）≥0， 解得k≥ 且k≠1. （2025秋•宝安区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2＋x－1 ＝0有实数根，则a的取值范围是 ⁠. 解得k≥ 且k≠1. a≥－ 且a≠0 　 　公式法 1. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根 ⑨x＝ ，这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式 解一元二次方程的方法称为⑩ ⁠. ​ 公式法 　 （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2－4ac的值（若b2－4ac＜0，方程无实数根）； （3）在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入公式进行计算，求出方 程的根. 注意：用公式法的前提：（1）a≠0；（2）b2－4ac≥0. 2. 用公式法解一元二次方程的步骤： 　 【例4】用公式法解方程： （1）3x2＝6x－2； 解：3x2＝6x－2，3x2－6x＋2＝0， a＝3，b＝－6，c＝2， Δ＝b2－4ac＝36－24＝12， ∴x＝ ＝ ， ∴x＝ 或x＝ ， ∴原方程的解为x1＝ ，x2＝ . 　 （2）2x2＋5x＋1＝0. 解：a＝2，b＝5，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝52－4×2×1＝17＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 用公式法解方程： （1）2x2＋4x－3＝0； 解：∵2x2＋4x－3＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝－3. ∵Δ＝b2－4ac＝42－4×2×（－3）＝40＞0， ∴x＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 （2）3x2－4x＝1. 解：原方程可化为3x2－4x－1＝0， a＝3，b＝－4，c＝－1. ∵Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×3×（－1）＝28＞0， ∴x＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 1. 一元二次方程2x2＋3x－1＝0的根的判别式Δ的值为 ⁠. 2. （2024秋•南山区期中）不解方程，判断方程3x2－4x＋1＝0的根的情况是 （　B　）. A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 17 B 　 3. （2025•深圳模拟）使得关于x的方程x2＋4x＋c＝0有实数根的最大整数 c＝ ⁠. 4. （2024秋•龙华区校级期中）关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ⁠. 4 m＜ 　 5. （2025秋•宝安区校级月考）小颖在用公式法解方程3x2－5x＝2时，呈现 了如下解答过程，老师判了错误. 解：将原方程化为一般形式，得 3x2－5x＋2＝0……第一步； 这里a＝3，b＝－5，c＝2……第二步； ∵b2－4ac＝（－5）2－4×3×2＝1＞0……第三步； ∴x＝ ＝ ……第四步； 即x1＝ ，x2＝1……第五步. （1）小颖从第 步开始出错（填“一、二、三、四、五”中的一个）； 解：第一步移项没有变符号，出现错误. 故答案为一 一 　 （2）请用公式法将正确求解方程的过程写出来. 解：将原方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0， ∵a＝3，b＝－5，c＝－2， ∴Δ＝（－5）2－4×3×（－2）＝49＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝2，x2＝－ . 　 6. 用公式法解方程： （1）3x2－5x＋1＝0； 解：∵a＝3，b＝－5，c＝1， ∴Δ＝（－5）2－4×3×1＝13＞0， ∴x＝ ＝ ， 解得x1＝ ，x2＝ . 　 （2）5x2＋5x＋1＝0； 解：∵a＝5，b＝5，c＝1， ∴Δ＝52－4×5×1＝5＞0， ∴x＝ ＝ ， 解得x1＝ ，x2＝ . 　 （3）9x2－6x＋1＝0； 解：∵a＝9，b＝－6，c＝1， ∴Δ＝（－6）2－4×9×1＝0. ∴x＝ ＝ . （4）x（x－3）＋5＝0. 解：原方程可化为x2－3x＋5＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝5， ∴Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11＜0， ∴原方程无解. 　 7. 若等腰△ABC的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程x2－16x＋m ＝0的两个实数根，求m的值. 解：∵关于x的方程x2－16x＋m＝0有两个实数根，则Δ＝162－4m≥0，解 得m≤64. 当底边长为5时，则另两边相等， ∴Δ＝162－4m＝0， ∴m＝64. 当腰长为5时，另两边中至少有一个是5，则x＝5一定是方程x2－16x＋m＝ 0的一个根，代入得25－80＋m＝0，解得m＝55， ∴x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11，此时三角形的三边长为5，5，11. ∵5＋5＜11， ∴此种情况不存在.综上，m的值为64. 　 参考答案 【新课导学】 ①根的判别式 ②Δ ③＞ ④不相等 ⑤＝ ⑥相等 ⑦＜ ⑧没有 【例1】　解：（1）方程整理得2x2－7x＋5＝0. ∵Δ＝（－7）2－4×2×5＝49－40＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. （2）方程整理得4x2－4x＋3＝0. ∵Δ＝（－4）2－4×4×3＝16－48＝－32＜0， ∴方程没有实数根. 　 （3）方程整理得4y2－2.4y＋0.36＝0. ∵Δ＝（－2.4）2－4×4×0.36＝5.76－5.76＝0， ∴方程有两个相等的实数根. 　 变式训练1　解：（1）∵Δ＝b2－4ac＝（－24）2－4×16×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根. （2）方程16x2＋8x＝－3化为16x2＋8x＋3＝0， Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝－128＜0， ∴方程没有实数根. （3）由原方程得3x2＋5x－6＝0， Δ＝b2－4ac＝52－4×3×（－6）＝97＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. 　 【例2】　D　变式训练2　1 【例3】　解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2kx＋k－3＝0有实 数根， ∴k－1≠0且Δ＝（－2k）2－4（k－1）（k－3）≥0， 解得k≥ 且k≠1. 变式训练3　a≥－ 且a≠0 ⑨ 　⑩公式法 　 【例4】　解：（1）3x2＝6x－2，3x2－6x＋2＝0， a＝3，b＝－6，c＝2， Δ＝b2－4ac＝36－24＝12， ∴x＝ ＝ ， ∴x＝ 或x＝ ， ∴原方程的解为x1＝ ，x2＝ . 　 （2）a＝2，b＝5，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝52－4×2×1＝17＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 变式训练4　解：（1）∵2x2＋4x－3＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝－3. ∵Δ＝b2－4ac＝42－4×2×（－3）＝40＞0， ∴x＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 （2）原方程可化为3x2－4x－1＝0， a＝3，b＝－4，c＝－1. ∵Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×3×（－1）＝28＞0， ∴x＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 　 【随堂小测】 1.17　2.B　3.4　4.m＜ 5. 解：（1）第一步移项没有变符号，出现错误. 故答案为一. （2）将原方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0， ∵a＝3，b＝－5，c＝－2， ∴Δ＝（－5）2－4×3×（－2）＝49＞0， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝2，x2＝－ . 　 6. 解：（1）∵a＝3，b＝－5，c＝1， ∴Δ＝（－5）2－4×3×1＝13＞0， ∴x＝ ＝ ， 解得x1＝ ，x2＝ . （2）∵a＝5，b＝5，c＝1， ∴Δ＝52－4×5×1＝5＞0， ∴x＝ ＝ ， 解得x1＝ ，x2＝ . 　 （3）∵a＝9，b＝－6，c＝1， ∴Δ＝（－6）2－4×9×1＝0. ∴x＝ ＝ . （4）原方程可化为x2－3x＋5＝0. ∵a＝1，b＝－3，c＝5， ∴Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11＜0， ∴原方程无解. 　 7. 解：∵关于x的方程x2－16x＋m＝0有两个实数根，则Δ＝162－4m≥0， 解得m≤64. 当底边长为5时，则另两边相等， ∴Δ＝162－4m＝0，∴m＝64. 当腰长为5时，另两边中至少有一个是5，则x＝5一定是方程x2－16x＋m＝ 0的一个根，代入得25－80＋m＝0，解得m＝55， ∴x2－16x＋55＝0，解得x1＝5，x2＝11，此时三角形的三边长为5，5， 11. ∵5＋5＜11，∴此种情况不存在. 综上，m的值为64. 　 $第二章一元二次方程 2一元二次方程的解法 第4课时」 用因式分解法求解一元二次方程 新课引入￥ 当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时， 例如x2一5x十6=0可以分解为（一2)（x一3)=0，你能求出 这个方程的 解吗？ 新课导学Y 因式分解法 1.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成①两个一次因式的 乘积时，这种解一元二次方程的方法称为② 因式分解法 2.用因式分解法求解一元二次方程的一般步骤： (1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； (2)把方程的左边因式分解； (3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； (4)解出这两个一元一次方程的解即可得到原方程的两个解. 注意：用因式分解法解方程时，必须化成(x十)（x十b)=0的形 式， 否则不能用此法， 【例1】一元二次方程x（x一1)=0的根是℃( ). A.x=1 B.x=0 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=-1 方程（x一1)(x+3)三0的根是一3 【例2】一元二次方程x2十3x=0的解是C A.x=-3 B.x1=0,x2=3 C.x1=0,x2=-3 D.x=3 方程x（x一2)=3（x,=23),的根为2 【例3】解方程：x2=2x. 解：x2=2x,x2一2x=0,x(x一2)=0，x=0或x一2= 0,解得x1=0, x2=2. 解方程：x(x一4)=x一4. 解：x（x一4)=x-4,x(x-4)-（x-4)=0,(x-4) (x一1) =0,x一4=0或x-1=0,解得x1=4,x2=1. 【例4】用适当的方法解方程：x（x一5)=3x一15. 解：x(x一5)=3x一15，则x(x一5)=3(x一5)， ∴.x(x-5)-3(x-5)=0, .(x一5)（x-3)=0, .x一5=0或x一3=0， .X1=5,x2=3. 解方程：2y2一9y一5=0. 解：2y2-9y-5=0,(y-5)(2y+1)=0,y-5=0或2y+1=0, =5,h=- 随堂小测￥ 2基础训练 1.关于的方程x(2x-1)=0的粮务0，点号 2.（2025秋·龙华区期末)一元二次方程(x一1）（x一3)=0的两 个实数 x1=1,x2=3 根分别加5秋·光明区期末)一元二次方程x2=2x的根是1=0，七2=2」 4.（2025·罗湖区校级模拟)方程（x一1)（x十3)=x一1的根是 x1=一2，x2=1 5.(2025·福田区校级开学)习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答 过程： 嘉嘉：解方程4(x一5)=（x一5)2. 解：方程两边同时除以（x一5)，得 4=x一5，第一步 4十5=x,第二步 x=9.第三步 (1)嘉嘉的解答过程是从第一步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程. 原方程移项得4(x一5)一（x一5)2=0， 分解因式(x一5)[4一（x一5)]=0， 即x一5=0或4一x+5=0, 所以x1=5,x2=9. 6.用因式分解法解方程： (1)3x2-2x=0; 解：x(3x一2)=0，x=0或3x-2=0, x=0,为=号 (2)（x一3)2+2x(x-3)=0: 解：(x一3)(x一3十2x)=0,(x一3)(3x-3)=0, .x一3=0,3x一3=0，解得x1=3,x2=1. (3)3x(x-1)=2x-2; 解：3x(x-1)=2(x-1),3x(x-1)-2（x-1)=0, (x一1)(3x-2)=0,x-1=0或3x-2=0, y=1,出=系 (4)x2-6x-7=0. 解：(x十1)(x一7)=0，x十1=0或x-7=0, x1=一1，x2=7. 拔高训练 7.(2025·深圳校级模拟)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法 如：解方程x（x十4)=6. 解：原方程可变形，得[（x+2)一2][（x+2)+2]=6,（x+2)2 一22=6，（x十2)2=10.直接开平方并整理，得x1=一2十V10,x2=一2 -10. 我们称小明这种解法为“平均数法”. (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x十5)（x十9)=5时写的 解题 程原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a)+b]=5, (x+ 省接开平务弄鑫理得点±&}古.品 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别7 2 -4 -10 解析：，(x寸5)（y+9)=5, .T(x+7)-2][x干7)+2]=5， .(x+7)2-4=5, .(x+7)2=9, .x十7=3或x十7=一3，解得x1=一4，x2=一10. .上述过程中的a,b,c，d表示的数分别为7,2，一4，一10. 故答案为7,2，一4，一10. (2)请用“平均数法”解方程：（x一5)（x十7)=12. 解：.（x一5)(x十7)=12， ∴.[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, ∴.(x+1)2-36=12, .(x+1)2=48, ∴.x+1=4V3或x+1=-4V3, 解得x1=-1+4V3,x2=-1一4V3. 参考答案 【新课导学】 ①两个一次因式 ②因式分解法 【例1】C 变式训练1x=1,x2=一3 【例2】C 变式训练2x1=3,x2=2 【例3】解：x2=2x,x2-2x=0,x（x一2)=0，x=0或 x一2=0，解 赛式练3解=2x(x一4)=x一4，x（x一4)一(x一4)= 0,(x一 4)(x-1)=0,x一4=0或x一1=0，解得x1=4,x2=1. 【例4】解：x(x一5)=3x-15,则x（x-5)=3(x一5)， .x(x-5)一3(x-5)=0, ∴.(x-5)(x一3)=0， .x一5=0或x一3=0， x1=5,x2=3. 变式训练4解：2y2-9y-5=0,(y-5)(2y十1)=0，y-5 =0或2y +三0,2=一号 【随堂小测】 1.x=0,x2=2 2.x1=1,x3=33.x1=0,x2=2 4.x1=一2，x2=1 5.解：（1)一 (2)原方程移项得4（x一5)一（x一5)2=0， 分解因式(x一5)[4一（x-5)]=0, 即x一5=0或4一x十5=0， 所以x1=5,x2=9. 6.解：（1)x(3x一2)=0，x=0或3x一2=0， 出=0,4=号 (2)(x一3)(x-3+2x)=0,(x-3)(3x-3)=0, '.x一3=0,3x一3=0，解得x1=3,x2=1. (3)3x(x一1)=2(x-1),3x(x-1)-2(x-1)=0, (x一1)(3x一2)=0，x一1=0或3x-2=0, y=1,=号 (4)(x+1)(x一7)=0，x+1=0或x一7=0， x1=一1，x2=7. 7.解：（1)72一4一10解析：.(x+5)（x+9)=5, .[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, .(x+7)2-4=5, .(x十7)2=9， ∴.x+7=3或x十7=-3，解得x1=一4,2=一10. ∴.上述过程中的a,b,c，d表示的数分别为7,2，-4，-10. 故答案为7,2，一4，一10 (2).（x一5)(x+7)=12, .[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, .(x+1)2一36=12， ∴.(x+1)2=48, .x+1=4V3或x+1=-4V3, 解得x1=-1十4V3,2=-1一4V3.第二章　一元二次方程 2　一元二次方程的解法 第1课时　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 　 1 你会解这些特殊的一元二次方程吗？（1）x2＝5；（2）（x－1）2＝5； （3）x2＋2x－4＝0.在（3）中你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程 转化成（2）中方程的形式吗？ 　 　直接开平方解一元二次方程 利用① ⁠的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平 方法. 类型： （1）x2＝n（n≥0）直接开平方，得x1＝ ，x2＝－ ； （2）（x＋m）2＝n（n≥0）直接开平方，得x1＝－m＋ ， x2＝－m－ ； 平方根 （3）a（x＋m）2＝b（ab≥0且a≠0）变形得（x＋m）2＝ ， 得x1＝－m＋ ，x2＝－m－ . 　 【例1】（2025•南山区校级开学）解方程：（x－2）2＝9. 解：两边开平方，得x－2＝±3，即x＝±3＋2， ∴x1＝3＋2＝5，x2＝－3＋2＝－1， ∴方程的解为x1＝5，x2＝－1. 解方程：2（x＋1）2＝18. 解：系数化为1，得（x＋1）2＝9， 两边开平方，得x＋1＝±3， ∴x1＝3－1＝2，x2＝－3－1＝－4， ∴方程的解为x1＝2，x2＝－4. 　 【例2】（2024秋•福田区校级月考）解方程：4（2x－1）2＝36. 解：4（2x－1）2＝36，（2x－1）2＝9， 2x－1＝±3，2x－1＝3或2x－1＝－3， 解得x1＝2，x2＝－1. （2024秋•福田区校级月考）解方程：4x2－9＝0. 解：原式化简为4x2＝9，x2＝ ， 解得x＝± ， ∴x1＝ ，x2＝－ . 　 　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1. 通过配成② 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元 二次方程的方法称为配方法. 完全平方式 2. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤： （1）将常数项移到方程的③ ⁠； （2）方程两边都加上一次项系数④ ，左边配成完全平方 式； （3）若方程的右边合并同类项后为⑤ ，两边同时开方得方程 的解. 右边 一半的平方 非负数 　 【例3】（教材第37页操作•思考）填上适当的数，使下列等式成立： x2＋12x＋ ＝（x＋6）2； x2－4x＋ ＝（x－ ）2； x2＋8x＋ ＝（x＋ ）2. 36 4 2 16 4 　 （根据教材第37页操作•思考改编）填上适当的数，使下列等式 成立： （1）x2＋4x＋ ＝（x＋ ）2； （2）x2－10x＋ ＝（x－ ）2； （3）x2＋x＋ 　​ 　＝（x＋ 　​ 　）2； （4）x2－3x＋ 　​ 　＝（x－ 　​ 　）2. 4 2 25 5 ​ ​ ​ ​ 　 【例4】用配方法解方程：x2－4x＝2. 解：两边同时加上4，得x2－4x＋4＝2＋4， 即（x－2）2＝6， 两边开平方，得x－2＝± ， 即x－2＝ 或x－2＝－ ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 　 用配方法解方程：x2＋6x＋7＝0. 解：移项，得x2＋6x＝－7， 两边同时加上32，得x2＋6x＋32＝－7＋32， 即（x＋3）2＝2， 两边开平方，得x＋3＝± ， ∴x1＝－3＋ ，x2＝－3－ . 　 1. （2025秋•福田区期末）一元二次方程x2＝16的解是（　C　）. A. x＝－4 B. x＝4 C. x1＝4，x2＝－4 D. x1＝8，x2＝－8 2. （2025秋•龙岗区校级月考）方程（x－1）2＝4的解是（　C　）. A. x1＝－4，x2＝5 B. x＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x＝1 C C 　 3. （根据教材第37页操作•思考改编）填上适当的数，使下列等式成立： （1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－12x＋（ ）＝（x－ ）2； （3）x2－5x＋（ 　​ 　）＝（x－ 　​ 　）2； （4）x2－ x＋（ 　​ 　）＝（x－ 　​ 　）2. 4. （2024秋•宝安区校级期中）用配方法解一元二次方程x2－2x－5＝0时， 将它化为（x＋a）2＝b的形式，则a＋b的值为 ⁠. 9 3 36 6 ​ ​ ​ ​ 5 　 5. 解方程： （1）2x2－32＝0； 解：移项，得2x2＝32，即x2＝16， 两边开平方，得x＝±4， ∴x1＝4，x2＝－4. 　 （2）x2－8x＋15＝0. 解：移项，得x2－8x＝－15， 两边同时加上42，得x2－8x＋42＝－15＋16， 即（x－4）2＝1， 两边开平方，得x－4＝±1，即x－4＝－1或x－4＝1， ∴x1＝3，x2＝5. 　 6. （2025秋•罗湖区期末）下面是小亮同学解方程x2－2x－1＝0的过程，请 阅读并填空. 解方程：x2－2x－1＝0. 第1步：x2－2x＝1， 第2步：（x－1）2＝1， 第3步：解得x1＝0，x2＝2. （1）小亮是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”） 求解的，但他从第 步开始出现错误； 配方法 2 　 （2）请你写出正确的解方程过程. x2－2x－1＝0，x2－2x＝1， x2－2x＋1＝1＋1，（x－1）2＝2，则x－1＝± ， 所以x1＝1－ ，x2＝1＋ . 　 7. （根据教材第46页第7题改编）如图，学校有一块长32 m，宽20 m的矩形 试验田，田里有纵、横两条等宽的小道，余下的种植面积为540 m2，小道的 宽是多少？ 解：设小道的宽为x m，依题意有（32－x）（20－x）＝540， 整理，得x2－52x＋100＝0，x2－52x＋262＝262－100， （x－26）2＝576，x－26＝±24， ∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）. 答：小道的宽是2 m. 　 参考答案 【新课导学】 ①平方根 【例1】　解：两边开平方，得x－2＝±3，即x＝±3＋2， ∴x1＝3＋2＝5，x2＝－3＋2＝－1， ∴方程的解为x1＝5，x2＝－1. 变式训练1　解：系数化为1，得（x＋1）2＝9， 两边开平方，得x＋1＝±3， ∴x1＝3－1＝2，x2＝－3－1＝－4， ∴方程的解为x1＝2，x2＝－4. 　 【例2】　解：4（2x－1）2＝36，（2x－1）2＝9， 2x－1＝±3，2x－1＝3或2x－1＝－3， 解得x1＝2，x2＝－1. 变式训练2　解：原式化简为4x2＝9，x2＝ ， 解得x＝± ， ∴x1＝ ，x2＝－ . ②完全平方式 ③右边 ④一半的平方 ⑤非负数 【例3】36　4　2　16　4 　 变式训练3　（1）4　2　（2）25　5　（3） 　 　 　 【例4】　解：两边同时加上4，得x2－4x＋4＝2＋4， 即（x－2）2＝6， 两边开平方，得x－2＝± ， 即x－2＝ 或x－2＝－ ， ∴x1＝2＋ ，x2＝2－ . 　 变式训练4　解：移项，得x2＋6x＝－7， 两边同时加上32，得x2＋6x＋32＝－7＋32， 即（x＋3）2＝2， 两边开平方，得x＋3＝± ， ∴x1＝－3＋ ，x2＝－3－ . 　 【随堂小测】 1. C　2.C 3. （1）9　3　（2）36　6　（3） 　 　 　 4.5 　 5. 解：（1）移项，得2x2＝32，即x2＝16， 两边开平方，得x＝±4， ∴x1＝4，x2＝－4. （2）移项，得x2－8x＝－15， 两边同时加上42，得x2－8x＋42＝－15＋16， 即（x－4）2＝1， 两边开平方，得x－4＝±1，即x－4＝－1或x－4＝1， ∴x1＝3，x2＝5. 　 6. 解：（1）配方法　2 （2）x2－2x－1＝0，x2－2x＝1， x2－2x＋1＝1＋1，（x－1）2＝2，则x－1＝± ， 所以x1＝1－ ，x2＝1＋ . 7. 解：设小道的宽为x m，依题意有（32－x）（20－x）＝540， 整理，得x2－52x＋100＝0，x2－52x＋262＝262－100， （x－26）2＝576，x－26＝±24， ∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）. 答：小道的宽是2 m. 　 $