2.1　认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义及一般形式，通过矩形风景画镶金边的面积问题导入新课，引导学生从实际情境抽象方程模型，衔接整式方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，结合中考真题例题强化数学思维，分层训练（基础与拔高）提升数学语言表达。采用定义辨析、例题精讲、随堂小测的教学方法，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学，提升学生应用能力。

第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第2课时　一元二次方程的解 　 1 什么是方程的解？对于上一课引入的问题，你能设法估计金色纸边的宽 度x吗？ 　 　一元二次方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫作① ⁠. 使一元二次方程② 的未知数的值叫作一元二次方程的解， 也叫作一元二次方程的根. 方程的解 左右两边相等 　 【例1】（2025秋•宝安区期末）若x＝－1是方程x2＋mx－3＝0的一个根， 则m的值为 ⁠. （2025秋•南山区期末）若x＝4是关于x的一元二次方程x2－mx ＋8＝0的一个解，则m的值是 ⁠. －2 6 　 【例2】（2025秋•坪山区期末）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0 （a≠0）的一个解是x＝1，则2 025－a－b的值是 ⁠. 解析：将 x＝1代入方程得 a×12＋b×1＋1＝0，即 a＋b＋1＝0， ∴a＋b＝－1， ∴原式＝2 025－（a＋b）＝2 025－（－1）＝2 025＋1＝2 026.故答案为 2 026. 2 026 　 （2024秋•坪山区期中）如果a是一元二次方程x2－3x－5＝0的 一个根，那么代数式8－2a2＋6a的值是多少？ 解：∵a是一元二次方程x2－3x－5＝0的一个根， ∴a2－3a－5＝0，即a2－3a＝5， ∴8－2a2＋6a＝8－2（a2－3a）＝8－2×5＝－2. 　 　一元二次方程的近似解 估计一元二次方程的解，只是估计“解”的③ ，比如在哪两个 数之间，再通过具体④ 进行两边逼近，逐步获得其近似解. 取值范围 计算 　 【例3】“一块矩形铁片，面积为1 m2，长比宽多3 m，求铁片的长”.小明在 做这道题时，是这样考虑的：设铁片的长为x m，列出方程x（x－3）＝1， 整理得x2－3x－1＝0，小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面 是他的探索过程. 　 第一步： x 1 2 3 4 x2－3x－1 －3 －3 －1 3 所以 ＜x＜ ⁠. 第二步： －1 3 3 4 x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2－3x－1 －0.69 －0.36 －0.01 0.36 所以 ＜x＜ ⁠. （1）请你帮小明填完表格，完成他未完成的部分； 3.3 3.4 　 解：第一步中，当x＝3时，x2－3x－1＝－1； 当x＝4时，x2－3x－1＝3.填表如下： x 1 2 3 4 x2－3x－1 －3 －3 －1 3 当x＝3时，x2－3x－1＝－1＜0； 当x＝4时，x2－3x－1＝3＞0. 所以3＜x＜4. 第二步中，当x＝3.3时，x2－3x－1＝－0.01＜0； 当x＝3.4时，x2－3x－1＝0.36＞0. 所以3.3＜x＜3.4. 　 （2）通过以上探索，你估计矩形铁片长的整数部分为 ，十分位 为 ⁠. 解析：估计出矩形铁片长的整数部分为3，十分位为3.故答案为3，3. 3 3 　 根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下： x 0.5 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2＋px＋q －2.75 －1 －0.59 －0.16 0.29 0.76 则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足（　B　）. A. 解的整数部分是1，十分位是1 B. 解的整数部分是1，十分位是2 C. 解的整数部分是1，十分位是3 D. 解的整数部分是1，十分位是4 B 　 如果a是方程x2＋x－3＝0的一个根，根据下面表格中的取值， 可以判断 ＜a＜ ⁠. x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2＋x－3 －0.36 －0.01 0.36 0.75 1.3 1.4 　 1. （2024秋•深圳期中）关于x的一元二次方程x2＋bx－10＝0的一个根为 2，则b的值为（　C　）. A. －3 B. 2 C. 3 D. 7 C 　 2. （2024秋•南山区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2＋bx－4＝0的一 个根是x＝1，则代数式2 027－a－b的值为（　B　）. A. －2 023 B. 2 023 C. －2 024 D. 2 024 B 　 3. （2024秋•南山区校级月考）已知m是一元二次方程x2－2x－2＝0的一个 根，则代数式2m2－4m＋2 025的值为（　C　）. A. 2 027 B. 2 028 C. 2 029 D. 2 030 C 　 4. 根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈ ⁠（精确 到0.1）. x －4.2 －4.3 －4.4 y＝x2＋2x－10 －0.76 －0.11 0.56 －4.3 　 5. （2025秋•龙岗区校级期中）如表是某同学求代数式ax2＋bx（a，b为常 数）的值的情况.根据表格中的数据，可知关于x的方程ax2＋bx＝2的实数根 是（　A　）. x … －2 －1 0 1 2 … ax2＋bx … 6 2 0 0 2 … A. x1＝－1，x2＝2 B. x1＝2，x2＝－3 C. x1＝0，x2＝1 D. x1＝－2，x2＝3 A 　 6. 根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下，则方程x2＋px ＋q＝0的正数解满足（　C　）. x 1 1.1 1.2 x2＋px＋q －2 －0.59 0.84 A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 C 　 7. （2025秋•龙华区月考）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1 ＝1，x2＝－3，则关于y的方程a（y－1）2＋b（y－1）＋c＝0的解为 ⁠ ⁠. y1＝2，y2＝－2 　 参考答案 【新课导学】 ①方程的解 ②左右两边相等 【例1】－2 变式训练1 6 【例2】 2 026　 解析：将 x＝1代入方程得 a×12＋b×1＋1＝0，即 a＋b＋1＝0， ∴a＋b＝－1， ∴原式＝2 025－（a＋b）＝2 025－（－1）＝2 025＋1＝2 026. 故答案为2 026. 　 变式训练2　解：∵a是一元二次方程x2－3x－5＝0的一个根， ∴a2－3a－5＝0，即a2－3a＝5， ∴8－2a2＋6a＝8－2（a2－3a）＝8－2×5＝－2. 　 ③取值范围　④计算 【例3】　解：（1）第一步中，当x＝3时，x2－3x－1＝－1； 当x＝4时，x2－3x－1＝3.填表如下： x 1 2 3 4 x2－3x－1 －3 －3 －1 3 当x＝3时，x2－3x－1＝－1＜0； 当x＝4时，x2－3x－1＝3＞0. 所以3＜x＜4. 第二步中，当x＝3.3时，x2－3x－1＝－0.01＜0； 当x＝3.4时，x2－3x－1＝0.36＞0. 所以3.3＜x＜3.4. （2）3　3　 解析：估计出矩形铁片长的整数部分为3，十分位为3.故答案为3，3. 　 变式训练3　B　变式训练4　1.3　1.4 【随堂小测】 1. C　2.B　3.C　4.－4.3　5.A　6.C　7.y1＝2，y2＝－2 　 $第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第1课时　一元二次方程 　 1 如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相等 的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要求整个挂图的面积为5 400 cm2，你 能求出金色纸边的宽吗？ 　 　一元二次方程的定义 只含有① 未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程， 叫作一元二次方程. 例如：x2＋3x－6＝0是关于x的一元二次方程. 注意：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是不是整式方程， 否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简，使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数为2. 一个 2 　 【例1】（2025秋•坪山区期末）下列方程是一元二次方程的是（　C　）. A. x2＋ ＝0 B. ax2＋bx＋c＝0 C. x2－x－6＝0 D. 3x2－2xy＋6＝0 C 下列方程：①3x2＋x＝20；②2x2－3x＋4＝0；③x2－ ＝4；④ x2＝1；⑤x2－3x＋3＝0.属于一元二次方程的是 .（填序号） ①②④⑤ 　 【例2】（2024秋•坪山区期中）若方程（m＋1）x｜m－1｜＋2x－3＝0是关于 x的一元二次方程，则m＝ ⁠. （2024秋•龙岗区校级月考）若方程（a＋2）x｜a｜＋3x－1＝0 是关于x的一元二次方程，则a的值为 ⁠. 3 2 　 　一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中二次项是③ ，一次项是④ ⁠， 常数项是⑤ ，二次项系数是⑥ ， 一次项系数是⑦ ⁠. 注意：在确定一元二次方程的各项系数时，对于方程来说，里面的 “＋”“－”是运算符号，当用来确定系数时，这些运算符号就变成了数的 属性符号，表示是正数或负数.例如：x2－3x＋4＝0的一次项系数为－3，而 不是3. ax2 bx c a b 　 【例3】（根据教材第32页随堂练习第2题改编）（1）将一元二次方程x（x －2）＝5化为一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项 系数是 ，常数项是 ⁠. （2）（2024秋•宝安区校级期中）一元二次方程x2＝6x＋1的一次项系数 是 ⁠. （1）（2024秋•深圳月考）把一元二次方程（x＋1）（x－1） ＝3x化成一般形式为 ，二次项系数是 ，一次项系数 是 ，常数项是 ⁠. （2）（2024秋•罗湖区校级月考）方程（x＋2）2＝2x＋5的二次项系数 是 ，一次项系数是 ，常数项是 ⁠. x2－2x－5＝0 1 －2 －5 －6 x2－3x－1＝0 1 －3 －1 1 2 －1 　 【例4】（2025秋•罗湖区期末）若关于x的一元二次方程（x＋2）2＝ m（2x＋1）中不含x的一次项，则m的值是 ⁠. （2024秋•光明区校级月考）关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x ＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　C　）. A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 2 C 　 【例5】（根据教材第32页随堂练习1改编）已知直角三角形的三边长为连续 整数，设最短的一边长为x，则可列方程为 ， 化为一元二次方程的一般式为 ⁠. x2＋（x＋1）2＝（x＋2）2 x2－2x－3＝0 某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为 ；化为一元二次方程的一般式为 ⁠. x（x＋10）＝300 x2＋10x－300＝0 　 1. （2025秋•南山区期末）下列各式中，是关于x的一元二次方程的是 （　C　）. A. 2x－1＝0 B. ＝0 C. x2－x＝5 D. x2＋2 C 　 2. 若方程（a－2）x2－4x＋9＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围 是（　B　）. A. a≠0 B. a≠2 C. a≠－2 D. a＞－2 B 3. 一元二次方程（1＋3x）（x－3）＝2x2＋1化为一般形式为 ⁠ ⁠. 4. 一元二次方程3x2＋1＝6x的二次项系数是 ，一次项系数是 ， 常数项是 ⁠. x2－8x－4＝0 3 －6 1 　 5. a 为何值时，关于 x 的方程 ax（x＋3）＝x2＋x－2： （1）是一元二次方程； 解：ax（x＋3）＝x2＋x－2， 整理得（a－1）x2＋（3a－1）x＋2＝0， ∴当a－1≠0，即a≠1时，方程为一元二次方程. 　 （2）是一元一次方程，并求出此时对应方程的解. 解：由（1）知，方程为（a－1）x2＋（3a－1）x＋2＝0， ∴当a－1＝0，即a＝1时，方程为一元一次方程， 此时方程变为2x＋2＝0， ∴2x＝－2，解得x＝－1. 5. a 为何值时，关于 x 的方程 ax（x＋3）＝x2＋x－2： 　 参考答案 【新课导学】 ①一个 ②2 【例1】　C 变式训练1 ①②④⑤ 【例2】 3 变式训练2 2 ③ax2　④bx　⑤c　⑥a　⑦b 【例3】 （1）x2－2x－5＝0　1 －2　－5　（2）－6 变式训练3　（1）x2－3x－1＝0　1　－3　－1 （2）1　2　－1 【例4】　2 变式训练4 　C 【例5】 x2＋（x＋1）2＝（x＋2）2 　x2－2x－3＝0 变式训练5　x（x＋10）＝300　x2＋10x－300＝0 　 【随堂小测】 1. C　2.B　3.x2－8x－4＝0　4.3　－6　1 5. 解：（1）ax（x＋3）＝x2＋x－2， 整理得（a－1）x2＋（3a－1）x＋2＝0， ∴当a－1≠0，即a≠1时，方程为一元二次方程. （2）由（1）知，方程为（a－1）x2＋（3a－1）x＋2＝0， ∴当a－1＝0，即a＝1时，方程为一元一次方程， 此时方程变为2x＋2＝0， ∴2x＝－2，解得x＝－1. 　 $