2.1 认识一元二次方程课时1（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过幼儿园教室铺地毯问题导入，引导学生列方程，结合连续整数平方和、梯子滑动问题，从具体实例抽象出概念，构建“实际问题—方程—概念—一般形式”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动教学，通过真实情境培养数学眼光（抽象能力），如铺地毯问题抽象出方程；通过概念辨析（例1判断方程）培养数学思维（推理意识）；通过一般形式转化（例2化为标准式）强化数学语言（模型意识）。小结系统梳理知识，助学生形成体系，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

2.1 认识一元二次方程 课时1 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.理解一元二次方程的有关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。 2.能把一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。 学习目标 2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗? 8m 5m 课堂导入 3 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 2x²-13x+11=0 18m² 新知讲解 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 新知讲解 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数? 根据题意，你能列出怎样的方程? x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) x x²-8x-20=0 新知讲解 问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m 知识点1 一元二次方程的概念 x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 新知讲解 知识点1 一元二次方程的概念 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 新知讲解 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 新知讲解 知识点1 一元二次方程的概念 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ①； ； ③； ④； ； ⑥ (m是常数)； ⑦ ； ⑧ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念；√ 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；√ 含有两个未知数；× 含有未知数的式子不都是整式；× 未知数的最高次数是 3；× 当m=0 时，未知数的最高次数是 1；× 整理，得x=0；× 含有未知数的式子不都是整式。× B 新知讲解 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点2 一元二次方程的一般形式 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 新知讲解 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例2 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( ) ①x²-2xy+1=0； ②x²-x-=0；③x²+-2=0；④x(x+3)=x²-1；⑤x²=6；⑥x³-x+4=0。 A.1 B.2 C.3 D.4 B 随堂练习 解：答案不唯一。 例如，可设三边长分别为x-1，x，x+1(x>1)。 根据题意，得(x-1)²+x²=(x+1)²， 化成一般形式为x²-4x=0。 2.根据题意到出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。 随堂练习 3.把方程(3x+2)²=4(x-3)²化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：原方程可化为5x²+36x-32=0， 这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32。 随堂练习 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 解：(1)设正方形的边长为x, 根据题意，得4x2=25, 一般形式为4x2-25=0。 随堂练习 解：(2)设矩形的长为x，则宽为x-2， 根据题意，得x(x-2)=100, 一般形式为x2-2x-100=0。 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 随堂练习 解：(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m, 根据题意，得x=(1-x)2, 一般形式为x2-3x+1=0。 4. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 随堂练习 5.若关于x的方程 (m-2) －4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______。 分析：∵一元二次方程未知数的最高次数为2， ∴ m2-2=2，即m=±2。 ∵二次项系数不为0， ∴m-2≠0，即m≠2。 ∴m=-2。 -2 随堂练习 一元二次方程 定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 一般形式 课堂小结 $