第四周 第3天 函数的概念（一） 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 3天 函数的概念(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素. (重点) 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求函数的定义域与函数值. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的概念 💡知识梳理 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} ⚠️ 要点点拨： (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 🎯例1-1 (多选)下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是(　　) A.A＝R，B＝R，x2＋y＝1 B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 【解】　A正确，x2＋y＝1可化为y＝－x2＋1，显然对任意x∈A，y都有唯一确定的值与之相对应．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．故选AB. 🎯例1-2 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数为(　　) A．0　　　　　　　B．1　　　　　　C．2 D．3 【解】　①错，1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性．④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B. (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 (多选)下列两个集合间的对应关系中，是A到B的函数的有(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 【解】A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系． 🎯跟踪练习 1-2 已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列对应关系不表示从P到Q的函数的是(　　) A．f：x→y＝ B．f：x→y＝ C．f：x→y＝ D．f：x→y＝ 【解】选项A：因为0≤x≤4，所以0≤≤2，即此对应关系表示从P到Q的函数；选项B：因为0≤x≤4，所以0≤≤，即此对应关系表示从P到Q的函数；选项C：因为0≤x≤4，所以0≤≤6，显然此对应关系不表示从P到Q的函数；选项D：因为0≤x≤4，所以0≤≤2，即此对应关系表示从P到Q的函数．故选C. 知识点2 区间的概念 💡知识梳理 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. ⚠️ 要点点拨： (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 🎯例2 把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){x|x<0}； (3){x|-1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 【解】 (1){x|x≥-1}=[-1，+∞). (2){x|x<0}=(-∞，0). (3){x|-1<x<1}=(-1，1). (4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0，1)∪[2，4]. 用区间表示数集的注意点： (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-1 集合{x|-2<x≤2且x≠0}用区间表示为　　　　. 答案　(-2，0)∪(0，2] 🎯跟踪练习2-2 已知区间(a2+a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　. 【解】 由题意可知a2+a+1<7，即a2+a-6<0，解得-3<a<2，所以实数a的取值范围是(-3，2). 知识点3 求具象函数的定义域与函数值 💡知识梳理 已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}. 🎯教材例题 已知函数f(x)=， (1)求函数的定义域； (2)求f(-3)，f 的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值. 【解】(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}.所以，这个函数的定义域是 {x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}， 即［-3，-2)∪(-2，+∞). (2)将-3与代入解析式，有 f(-3)==-1； f. (3)因为a>0，所以f(a)，f(a-1)有意义. f(a)=； f(a-1)=. 🎯例3-1 求下列函数的定义域： ①y=3-x； ②y=； ③y=； ④y=. 【解】 ①函数y=3-x的定义域为R. ②由于0的零次幂无意义，故x+1≠0，即x≠-1. 又x+2>0，即x>-2， 所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}. ③要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5且x≠±3， 所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. ④要使函数有意义，则 即 解不等式组得-1≤x<1. 所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. 🎯例3-2 已知函数f(x)=x+则f(2)=　　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　　. 【解】　f(2)=2+. 当a≠-1时，a+1≠0，所以f(a+1)=a+1+. 🎯一题多变　在例3-2中，若f(b)=则b=　　　　. 【解】由f(b)=b+得b≠0，(2b-1)(b-2)=0，解得b=或b=2. (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 求下列函数的定义域． (1)y＝－； (2)y＝(x－1)0＋. 【解】　(1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤1且x≠－1， 即函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}． (2)由题意得解得x>－1且x≠1，所以函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． 🎯跟踪练习3-2已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值． 【解】　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝. 又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6. (2)因为g(3)＝32＋2＝11，所以f(g(3))＝f(11)＝＝. 自学小结 函数的概念（一） 1.知识清单： (1)函数的概念与三要素. (2)用区间表示数集. (3)函数的定义域与函数值. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．(多选)下列各图中，可能是函数图象的是(　　) 【解】　选ACD.B选项，x>0时有两个y值与之对应，不为函数图象，故B错误，其他选项的图象中的x均有唯一确定的y值与之对应．故选ACD. 2．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________． 【解】　f(a)＝＝2，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝，或a＝2. 3．函数f(x)＝的定义域为________． 【解】　由得x＜2，且x≠－1. 所以定义域为：{x|x＜2，且x≠－1} 4．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，g(f(4)). (2)求f(g(x)). 【解】　(1)f(3)＝＝－，f(4)＝＝－，g(f(4))＝g＝－. (2)因为f(x)＝，所以f(g(x))＝f＝＝. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第 3天 函数的概念(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素. (重点) 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求函数的定义域与函数值. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 函数的概念 💡知识梳理 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A} ⚠️ 要点点拨： (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 🎯例1-1 (多选)下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是(　　) A.A＝R，B＝R，x2＋y＝1 B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 🎯例1-2 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数为(　　) A．0　　　　　　　B．1　　　　　　C．2 D．3 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 (多选)下列两个集合间的对应关系中，是A到B的函数的有(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 🎯跟踪练习 1-2 已知P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列对应关系不表示从P到Q的函数的是(　　) A．f：x→y＝ B．f：x→y＝ C．f：x→y＝ D．f：x→y＝ 知识点2 区间的概念 💡知识梳理 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ________ {x|a<x<b} 开区间 ________ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ________ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ________ {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. ⚠️ 要点点拨： (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 🎯例2 把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){x|x<0}； (3){x|-1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 用区间表示数集的注意点： (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-1 集合{x|-2<x≤2且x≠0}用区间表示为　　　　. 🎯跟踪练习2-2 已知区间(a2+a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　. 知识点3 求具象函数的定义域与函数值 💡知识梳理 已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为______，值域为______. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为______， 当a>0时，值域是__________________；当a<0时， 值域是__________________. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为____________，值域为____________. 🎯教材例题 已知函数f(x)=， (1)求函数的定义域； (2)求f(-3)，f 的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值. 🎯例3-1 求下列函数的定义域： ①y=3-x； ②y=； ③y=； ④y=. 🎯例3-2 已知函数f(x)=x+则f(2)=　　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　　. 🎯一题多变　在例3-2中，若f(b)=则b=　　　　. (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 求下列函数的定义域． (1)y＝－； (2)y＝(x－1)0＋. 🎯跟踪练习3-2已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值． 自学小结 函数的概念（一） 1.知识清单： (1)函数的概念与三要素. (2)用区间表示数集. (3)函数的定义域与函数值. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．(多选)下列各图中，可能是函数图象的是(　　) 2．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________． 3．函数f(x)＝的定义域为________． 4．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，g(f(4)). (2)求f(g(x)). 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $