1.3　矩形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边上中线的性质，通过教室黑板、书本封面等现实实例引入，类比菱形学习引导学生猜想矩形性质，构建平行四边形到矩形的知识脉络，搭建学习支架。 其亮点在于以问题驱动和推理训练为核心，通过例题证明矩形四角为直角、对角线相等，结合变式训练强化性质应用，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。资料包含基础与拔高练习，帮助学生巩固知识，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 　 1 教室的黑板、书本的封面、门窗的形状……这些都是矩形.类比菱形的学 习，你认为矩形有哪些特殊的性质？你能证明这些性质吗？ 　 　矩形的性质 1. 矩形具有平行四边形的所有性质. 2. 矩形的四个角都是① ⁠. 3. 矩形的对角线互相平分且② ⁠. 直角 相等 　 【例1】（教材第11页尝试思考）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O. 求证：（1）∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，∠BCD＝∠BAD（平行四边形的 对角相等），AB∥CD（平行四边形的对边平行）， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 　 求证：（2）AC＝DB. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC（平行四边形的对边相等）. 在△ABC和△DCB中， ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC＝DB. 【例1】（教材第11页尝试思考）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O. 　 （教材第13页随堂练习1）如图，在矩形ABCD中，两条对角线 AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4.求BD和AD的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA＝8，OB＝ BD， ∠BAD＝90°，AB＝CD＝6， ∴BD＝AC＝8， ∴AD＝ ＝ ＝2 ， ∴AD的长为2 ，BD的长为8. 　 【例2】（根据教材第12页例1改编）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于 点O，已知∠AOD＝120°，AB＝5 cm，求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD， ∴OA＝OD＝OB. ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AC＝BD＝2AB＝2×5＝10（cm）. 　 （教材第16页第7题）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线 AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，求AE的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵BE∶ED＝1∶3， ∴BE＝OE. ∵AE⊥BD， ∴AB＝OA， ∴OA＝AB＝OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∴∠ADE＝90°－∠ABD＝30°. ∵AE⊥BD，AD＝6， ∴AE＝ AD＝3. 　 　由矩形得直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于③ .如图，在Rt△ABC中，点 D是斜边AB的中点，则CD＝ AB. 温馨提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 斜边的一半 　 【例3】如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，BD＝ 2 cm，则AC的长为 ⁠. 4 cm 　 （2024•南山区一模）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某 三角形部件的尺寸，如图所示.已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点， 点A，B对应的刻度分别为1，7，则CD＝（　B　）. A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm B 　 1. （2024秋•光明区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交 于点O. 若OA＝3，则BD的长为（　B　）. A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 B 　 2. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝8，BC＝10，AC＝6，则AD等于 （　B　）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 B 　 3. 菱形、矩形、平行四边形都具有的性质是（　C　）. A. 一组邻边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 C 　 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交 AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 ⁠. 3 　 5. （2025•龙华区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求△ABO的周长. 解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝ AC， ∴AC＝ ＝10（cm）， ∴OA＝OB＝5 cm， ∴△ABO的周长为OA＋OB＋AB＝5＋5＋6＝16（cm）. 　 6. （2024秋•南山区期末）如图，在矩形ABCD中，F是DA延长线上一点， G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F. 已知∠BCE＝20°， 求∠ACB的度数. 解：在△AGF中，∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F. ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F， ∴∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F， ∴∠ACB＝3∠ECB＝60°. 　 参考答案 【新课导学】 ①直角　②相等 【例1】　证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC，∠BCD＝∠BAD（平行四边形的对角相等）， AB∥CD（平行四边形的对边平行）， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°. 　 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC（平行四边形的对边相等）. 在△ABC和△DCB中， ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC＝DB. 　 变式训练1　解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2OA＝8，OB＝ BD，∠BAD＝90°，AB＝CD＝6， ∴BD＝AC＝8，∴AD＝ ＝ ＝2 ， ∴AD的长为2 ，BD的长为8. 【例2】　解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD， ∴OA＝OD＝OB. ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， ∴AC＝BD＝2AB＝2×5＝10（cm）. 　 变式训练2　解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB. ∵BE∶ED＝1∶3，∴BE＝OE. ∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB， 即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°， ∴∠ADE＝90°－∠ABD＝30°. ∵AE⊥BD，AD＝6，∴AE＝ AD＝3. ③斜边的一半 【例3】　4 cm　变式训练3　B 　 【随堂小测】 1. B　2.B　3.C　4.3 5. 解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6 cm，BC ＝8 cm， ∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝ AC， ∴AC＝ ＝10（cm）， ∴OA＝OB＝5 cm， ∴△ABO的周长为OA＋OB＋AB＝5＋5＋6＝16（cm）. 　 6. 解：在△AGF中，∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F. ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F， ∴∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F， ∴∠ACB＝3∠ECB＝60°. 　 $第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 　 1 类比菱形的学习，我们该如何研究矩形的判定条件？你能写出矩形性质定理 的逆命题吗？它们都是真命题吗？为什么？ 　 　矩形的判定定理1 有三个角是① 的四边形是矩形. 【例1】如图，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形. 直角 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 　 如图，在▱ABCD中， E，F分别是边AB，DC上的点， DE⊥AB，BF⊥CD. 求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDE＋∠DEB＝180°. ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠DFB＝∠CDE＝90°， ∴四边形BFDE为矩形， ∴BE＝DF. 　 　矩形的判定定理2 对角线② 的③ 是矩形. 相等 平行四边形 　 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵BC＝CB，AC＝DB， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠BCD. 【例2】已知：如图，在▱ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝ DB. 求证：▱ABCD是矩形. ∵AB∥DC， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形（矩形的定义） 　 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC，求证：平行 四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠ACB＝∠DBC， ∴BO＝CO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC，BD＝2OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. 　 1. 下列叙述错误的是（　B　）. A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 平行四边形的四个内角相等 C. 矩形的对角线相等 D. 有一个角是90°的平行四边形是矩形 B 　 2. （2024•泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ▱ABCD为矩形的是（　D　）. A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C C. AC＝BD D. AC⊥BD D 　 3. （2024•光明区二模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 如 果添加一个条件，使得▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　B　）. A. AB＝AD B. AO＝BO C. AC⊥BD D. AO＝CO B 　 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， OA＝2，若要使 ▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（　C　）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 C 　 5. （根据教材第15页第4题改编）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E 分别是边AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，试判断四边形 ADCF的形状，并说明理由. 解：四边形ADCF是矩形，理由如下： ∵AC＝BC，D是AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°. ∵E是AC的中点， ∴AE＝EC. 又∵DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形. 　 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，AC＝16， 点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连 接FG，则FG的最小值为 ⁠. 4.8 　 解析：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，AD＝DC，OC＝OA＝8，OB＝OD＝6， ∴∠COD＝90°， ∴CD＝ ＝ ＝10. ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠EFO＝∠EGO＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴OE＝GF. 当OE⊥DC时，GF的值最小， 　 此时，S△ODC＝ OD•OC＝ DC•OE， ∴OD•OC＝DC•OE， ∴6×8＝10OE， ∴OE＝4.8， ∴FG的最小值为4.8.故答案为4.8. 　 参考答案 【新课导学】 ①直角 【例1】　证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形. 　 变式训练1　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDE＋∠DEB＝180°. ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠DFB＝∠CDE＝90°， ∴四边形BFDE为矩形， ∴BE＝DF. ②相等　③平行四边形 　 【例2】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵BC＝CB，AC＝DB， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠BCD. ∵AB∥DC， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）. 　 变式训练2　证明：∵∠ACB＝∠DBC， ∴BO＝CO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC，BD＝2OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. 　 【随堂小测】 1. B　2.D　3.B　4.C 5. 解：四边形ADCF是矩形，理由如下： ∵AC＝BC，D是AB的中点， ∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∵E是AC的中点，∴AE＝EC. 又∵DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形. 又∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形. 　 6. 4.8　解析：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，AD＝DC，OC＝OA＝8，OB＝OD＝6， ∴∠COD＝90°， ∴CD＝ ＝ ＝10. ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠EFO＝∠EGO＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴OE＝GF. 当OE⊥DC时，GF的值最小， 　 此时，S△ODC＝ OD•OC＝ DC•OE， ∴OD•OC＝DC•OE， ∴6×8＝10OE， ∴OE＝4.8， ∴FG的最小值为4.8.故答案为4.8. 　 $