1.2　菱形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质与判定第1课时，核心涵盖菱形的边、角、对角线性质及面积公式。通过生活实例（交通标志、风筝）导入，联系平行四边形性质，引导学生发现菱形特殊性质，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是结合中国结、千斤顶等生活情境及故宫窗棂文化元素，培养数学眼光。通过定理证明（如菱形四边相等）和推理计算（勾股定理求对角线）发展数学思维，利用面积公式多方法应用强化数学语言表达。分层训练助力学生巩固，为教师提供丰富教学资源。

第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 　 1 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，还有什 么条件可以判定一个四边形是菱形呢？我们已经学习了两个菱形的特性，它 们的逆命题是否成立呢？ 　 　菱形的判定方法1 四边① 的四边形是菱形. 相等 【例1】（根据教材第7页思考交流改编）如图，在四边形ABCD中，AB＝ BC＝CD＝DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形. 　 （2024秋•顺德区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F. 求 证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DF∥AB， ∴∠EAD＝∠FDA， ∴∠FAD＝∠FDA， ∴AF＝FD， ∴四边形AEDF是菱形. 　 　菱形的判定2 对角线② 的平行四边形是菱形. 【例2】（根据教材第7页思考交流改编）如图，在▱ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：▱ABCD是菱形. 互相垂直 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 　 如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交 于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴▱AFCE是菱形. 　 【例3】（根据教材第8页例2改编）如图，平行四边形ABCD的对角线交于 点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝ AC＝12，OB＝ BD＝5. ∵OA2＋OB2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 　 （根据教材第8页例2改编）如图，平行四边形ABCD中，点E是 对角线AC上一点，且BE＝DE. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD. ∵BE＝DE， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 　 1. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是 （　C　）. C 　 2. 如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是 （　D　）. A. ∠ABD＝∠CBD B. AB＝AD C. AC⊥BD D. ∠ABC＝90° D 　 3. （2025•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD 为菱形. AC⊥BD（答案不唯一） 　 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，有下列条件： ①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC. 其中能判定四边形ABCD是菱形的有 .（填序号） ①②④ 　 5. 如图，在平行四边形ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线 与BC的延长线交于点E. （1）求证：△ABC≌△DCE； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠B＝∠DCE. 又∵DE∥AC， ∴∠ACB＝∠E. 在△ABC与△DCE中， ∴△ABC≌△DCE. 　 5. 如图，在平行四边形ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线 与BC的延长线交于点E. （2）若AC＝BC，求证：四边形ACED为菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AD∥CE. ∵DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形. ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠ACD. 又∵∠B＝∠ADC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD， ∴四边形ACED为菱形. 　 6. （根据教材第10页第12题改编）数学活动课上，何老师布置了一道题目： 如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个以∠A为内角的菱形吗？石 雨的折法如下： 第一步，折出∠A的平分线，交BC于点D. 第二步，折出AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F，把纸片展平. 第三步，折出DE，DF，得到四边形AEDF. 请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形. 解：图形如图所示. 　 证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴ED∥AF. 同理AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形. 又EA＝ED， ∴四边形AEDF 是菱形. 　 7. 如图，在▱ABCD中，线段BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于 点O，连接BE，CE，过点C作CF＝BE，交EO的延长线于点F，连接 BF. （1）求证：四边形BECF为菱形； 　 证明：∵EO是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE，OB＝OC，EF⊥BC. ∵CF＝BE， ∴CE＝CF. 在Rt△COE和Rt△COF中， ∴Rt△COE≌Rt△COF（HL）， ∴OE＝OF， ∴BC，EF互相平分， ∴四边形BECF为平行四边形. 又∵BE＝CE， ∴四边形BECF为菱形. 　 7. 如图，在▱ABCD中，线段BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于 点O，连接BE，CE，过点C作CF＝BE，交EO的延长线于点F，连接 BF. （2）若AD＝12，CE＝8，求四边形BECF的面积. 　 解：∵在▱ABCD中，AD＝12， ∴BC＝AD＝12. ∵EO是线段BC的垂直平分线， ∴OB＝OC＝ BC＝6，EF⊥BC. ∵CE＝8， ∴在Rt△COE中，OE＝ ＝2 . 由（1）已证四边形BECF为菱形， ∴四边形BECF的面积为2S△BCE＝2× BC•OE＝2× ×12×2 ＝24 . 　 参考答案 【新课导学】 ①相等 【例1】　证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形. 　 变式训练1　证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD. ∵DF∥AB，∴∠EAD＝∠FDA， ∴∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD， ∴四边形AEDF是菱形. ②互相垂直 　 【例2】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）. 又∵AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 变式训练2　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. ∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC，∴▱AFCE是菱形. 　 【例3】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝ AC＝12，OB＝ BD＝5. ∵OA2＋OB2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169， ∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形. 变式训练3　证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵BE＝DE，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 　 【随堂小测】 1. C　2.D　3.AC⊥BD（答案不唯一）　4.①②④ 5. 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠B＝∠DCE. 又∵DE∥AC，∴∠ACB＝∠E. 在△ABC与△DCE中， ∴△ABC≌△DCE. 　 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥CE. ∵DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD. 又∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ACD， ∴AC＝AD，∴四边形ACED为菱形. 　 6. 解：图形如图所示. 证明如下： ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EDA＝∠CAD，∴ED∥AF. 同理AE∥FD，∴四边形AEDF是平行四边形. 又EA＝ED，∴四边形AEDF 是菱形. 　 7. （1）证明：∵EO是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE，OB＝OC，EF⊥BC. ∵CF＝BE，∴CE＝CF. 在Rt△COE和Rt△COF中， ∴Rt△COE≌Rt△COF（HL）， ∴OE＝OF，∴BC，EF互相平分， ∴四边形BECF为平行四边形. 又∵BE＝CE，∴四边形BECF为菱形. 　 （2）解：∵在▱ABCD中，AD＝12， ∴BC＝AD＝12. ∵EO是线段BC的垂直平分线， ∴OB＝OC＝ BC＝6，EF⊥BC. ∵CE＝8， ∴在Rt△COE中，OE＝ ＝2 . 由（1）已证四边形BECF为菱形， ∴四边形BECF的面积为2S△BCE＝2× BC•OE＝2× ×12×2 ＝24 . 　 $第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 　 1 你能举出生活中菱形的例子吗？比如某些交通标志、风筝的形状.除了具有 平行四边形的所有性质外，菱形还有哪些特殊的性质呢？ 　 　菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的一切性质. （2）菱形的四条边① ⁠. （3）菱形的对角② ，邻角③ ⁠. （4）菱形的对角线④ 且互相平分. （5）菱形既是⑤ ，又是⑥ ，有2条对 称轴. 相等 相等 互补 互相垂直 中心对称图形 轴对称图形 　 【例1】（教材第5页定理证明）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD， 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC（菱形的对边相等）. 又∵AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD. 　 【例1】（教材第5页定理证明）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD， 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（2）AC⊥BD. 证明：∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD， ∴ AO⊥BD，即AC⊥BD. 　 （根据教材第7页随堂练习第1题改编）如图，在菱形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5 cm，BD＝8 cm，求AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB，BO＝ BD，AO＝ AC. ∵BD＝8 cm， ∴BO＝4 cm. 在Rt△ABO中，AO＝ ＝3 cm， ∴AC＝2AO＝6 cm. 　 　菱形的面积 菱形被它的两条对角线分成四个全等的⑦ 三角形，它们的底和高都 分别是两条对角线的⑧ .利用三角形的面积公式可推得，菱形的面 积等于它的⑨ ⁠. 直角 一半 对角线之积的一半 　 【例2】（根据教材第6页例1改编）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，∠BAD＝60°，AB＝6.求： （1）对角线AC和BD的长； 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，BO＝ BD，AC＝2OA. 在等腰三角形ABD中，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴BD＝AB＝6. ∴BO＝3. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝ ＝ ＝3 ， ∴AC＝2OA＝6 . 　 【例2】（根据教材第6页例1改编）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，∠BAD＝60°，AB＝6.求： （2）菱形ABCD的周长和面积. 解：菱形的周长＝4AB＝4×6＝24， 菱形的面积＝ AC•BD＝ ×6 ×6＝18 . 　 （根据教材第9页第5题改编）如图，四边形ABCD是菱形，AC ＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H. （1）求菱形ABCD的周长； 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝4， OB＝OD＝ BD＝3， ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可知AB＝5. ∴菱形ABCD的周长＝5×4＝20. 　 （根据教材第9页第5题改编）如图，四边形ABCD是菱形，AC ＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H. （2）求DH的长. 解：∵S菱形ABCD＝ AC•BD＝AB•DH， ∴DH＝ ＝ ＝4.8. 　 【例3】（根据教材第9页第3题改编）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和 ∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠ADC＝∠ABC. 在△ADC和△ABC中， ∴△ADC≌△ABC（SAS）， ∴AC平分∠BAD和∠BCD， 同理△DAB≌△DCB， ∴BD平分∠ABC和∠ADC. 　 如图是一个千斤顶的示意图，该千斤顶的基本形状是一个菱形， 中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从 而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）.已知AB＝36 cm. （1）当∠ADC＝60°时，求千斤顶高AC的长度. 解：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是菱形，AB＝36 cm， ∴DB平分∠ADC，AC⊥BD，AC＝2AO， AD＝CD＝AB＝BC＝36 cm. 当∠ADC＝60°时，△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝36 cm. 　 （2）当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？ 解：当∠ADC＝120°时， ∵DB平分∠ADC，AC⊥BD， ∴∠ADO＝ ∠ADC＝60°，∠DAO＝30°. 在Rt△ADO中，OD＝ AD＝18 cm， 由勾股定理得AO＝ ＝18 cm， ∴AC＝2AO＝36 cm， ∴千斤顶升高了（36 －36）cm. 　 1. （2025春•罗湖区校级期末）下列性质中菱形一定具有的是（　C　）. A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 C 　 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝10， AO＝8，则BD的长为 ⁠. 12 　 3. 如图，小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD，测得BD＝ 16 cm，AC＝12 cm，则此菱形的周长为（　B　）. A. 28 cm B. 40 cm C. 56 cm D. 80 cm B 　 4. （2024秋•龙华区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝ 120°，则BD的长为 ⁠. 10 　 5. （2025秋•宝安区校级月考）如图，小明在参观故宫博物院时，被太和殿 窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD. 若AB＝4，则菱形ABCD的面积为（　A　）. A. 8 B. 4 C. 8 D. 16 A 　 6. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，DE＝BF. 求 证：EC＝FC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B，CD＝BC. 在△DEC和△BFC中， ∴△DEC≌△BFC（SAS）， ∴EC＝FC. 　 7. 如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延 长线于点E，F. （1）求证：AE＝BF； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC， ∴∠A＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°. 在△AEB和△BFC中， ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE＝BF. 　 7. 如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延 长线于点E，F. （2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求CF的长. 解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝2， ∴BC＝AD＝AB＝2. ∵点E是AD的中点， ∴AE＝ AD＝ ×2＝1. ∵△AEB≌△BFC， ∴BF＝AE＝1. ∵∠BFC＝90°， ∴CF＝ ＝ ＝ ， 即CF的长为 . 　 参考答案 【新课导学】 ①相等　②相等　③互补　④互相垂直　⑤中心对称图形 ⑥轴对称图形 【例1】　证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AD＝BC（菱形的对边相等）. 又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD. 　 （2）∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB＝OD，∴ AO⊥BD，即AC⊥BD. 　 变式训练1　解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB，BO＝ BD，AO＝ AC. ∵BD＝8 cm， ∴BO＝4 cm. 在Rt△ABO中，AO＝ ＝3 cm， ∴AC＝2AO＝6 cm. ⑦直角　⑧一半　⑨对角线之积的一半 　 【例2】　解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，BO＝ BD，AC＝2OA. 在等腰三角形ABD中，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴BD＝AB＝6.∴BO＝3. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝ ＝ ＝3 ， ∴AC＝2OA＝6 . （2）菱形的周长＝4AB＝4×6＝24， 菱形的面积＝ AC•BD＝ ×6 ×6＝18 . 　 变式训练2　解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝4，OB＝OD＝ BD＝3， ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可知AB＝5. ∴菱形ABCD的周长＝5×4＝20. （2）∵S菱形ABCD＝ AC•BD＝AB•DH， ∴DH＝ ＝ ＝4.8. 　 【例3】　证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠ADC＝∠ABC. 在△ADC和△ABC中， ∴△ADC≌△ABC（SAS）， ∴AC平分∠BAD和∠BCD， 同理△DAB≌△DCB， ∴BD平分∠ABC和∠ADC. 　 变式训练3　解：（1）如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是菱形，AB＝36 cm， ∴DB平分∠ADC，AC⊥BD，AC＝2AO， AD＝CD＝AB＝BC＝36 cm. 当∠ADC＝60°时，△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD＝CD＝36 cm. 　 （2）当∠ADC＝120°时， ∵DB平分∠ADC，AC⊥BD， ∴∠ADO＝ ∠ADC＝60°，∠DAO＝30°. 在Rt△ADO中，OD＝ AD＝18 cm， 由勾股定理得AO＝ ＝18 cm， ∴AC＝2AO＝36 cm， ∴千斤顶升高了（36 －36）cm. 　 【随堂小测】 1. C　2.12　3.B　4.10 　5.A 6. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B，CD＝BC. 在△DEC和△BFC中， ∴△DEC≌△BFC（SAS）， ∴EC＝FC. 　 7. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC， ∴∠A＝∠CBF. ∵BE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°. 在△AEB和△BFC中， ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE＝BF. 　 （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝2， ∴BC＝AD＝AB＝2. ∵点E是AD的中点， ∴AE＝ AD＝ ×2＝1. ∵△AEB≌△BFC， ∴BF＝AE＝1. ∵∠BFC＝90°， ∴CF＝ ＝ ＝ ， 即CF的长为 . 　 $