1.4　正方形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过提问正方形与菱形、矩形的关系导入，引导学生从已学特殊平行四边形知识出发，构建正方形“四角直角、四边相等、对角线垂直平分且相等”的性质框架。 其亮点在于以例题（如机翼状纸板裁剪）和分层训练（基础与拔高题）为载体，培养学生几何直观与推理能力，如利用正方形性质证明三角形全等、计算角度。学生能提升逻辑思维，教师可借助丰富实例高效教学。

第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 　 1 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的 结论. 　 　正方形的判定 判定定理1　有一组① 的矩形是正方形. 判定定理2　对角线② 的矩形是正方形. 温馨提示：使用判定定理1，2的前提条件是先证明四边形是矩形. 邻边相等 互相垂直 　 【例1】（根据教材第19页例2改编）如图，在矩形ABCD中，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB，点F为BC下方一点，连接BF，CF，BF＝ CF，BF⊥CF. 求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵BF＝CF，BF⊥CF， ∴∠F＝90°，∠FBC＝∠FCB＝45°. ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°，BE＝CE， ∴∠EBF＝∠EBC＋∠FBC＝90°＝∠BEC＝∠F， ∴四边形BECF是矩形. ∵BE＝CE， ∴四边形BECF是正方形. 　 （根据教材第21页第4题改编）如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF， ∴OE＝OF. ∵OE＝OF，OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵OE＝OA＝OF＝OC， ∴EF＝AC， ∴四边形AECF是矩形. 又∵AC⊥BD， ∴矩形AECF是正方形. 　 　正方形的判定 判定定理3　有一个角是③ 的菱形是正方形. 判定定理4　对角线④ 的菱形是正方形. 温馨提示：使用判定定理3，4的前提条件是先证明四边形是菱形. 直角 相等 　 【例2】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形. 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°. ∵∠ACB＝90°， CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°. 在Rt△CED中，∠ACD＝45°， ∴CE＝DE. 在Rt△CFD中，∠BCD＝45°， ∴CF＝DF， ∴CF＝DF＝CE＝DE， ∴四边形CEDF是菱形. ∵∠ACB＝90°， ∴菱形CEDF是正方形. 　 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝90°，BC的垂直平 分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝BE. 求证：四边形BECF是 正方形. 证明：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF. ∵CF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形. ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°. ∵BE＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∴菱形BECF是正方形. 　 1. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再添加一个条件可推 导出四边形是正方形，那么这个条件可以是（　B　）. A. AB＝CD B. BC＝CD C. ∠D＝90° D. AC＝BD B 　 2. （2025秋•罗湖区校级期末）如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O. 若 不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一 个条件是 ⁠. AC＝BD（答案不唯一） 　 3. （2024秋•宝安区校级期中）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于 点O，添加条件后，▱ABCD不一定是正方形的选项为（　B　）. A. AB＝AD，AC＝BD B. AB＝BC，AC⊥BD C. ∠BAD＝90°，AC⊥BD D. ∠AOD＝90°，AO＝DO B 　 4. （2025秋•深圳校级月考）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的 F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是 （　A　）. A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 A 　 5. 如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不 重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点. （1）证明：四边形EGFH是平行四边形； 证明：∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GF∥EC且GF＝ EC. 又∵H是EC的中点， ∴EH＝ EC， ∴GF∥EH且GF＝EH. ∴四边形EGFH是平行四边形. 　 （2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF＝ BC，证明：平行四边形 EGFH是正方形. 证明：如图，连接GH，EF. ∵G，H分别是BE，EC的中点， ∴GH∥BC且GH＝ BC. 又∵EF⊥BC且EF＝ BC， ∴GH＝EF. 又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线， ∴GH∥BC， ∴EF⊥GH. 又∵EF＝GH， ∴平行四边形EGFH是正方形. 　 参考答案 【新课导学】 ①邻边相等　②互相垂直 【例1】　证明：∵BF＝CF，BF⊥CF， ∴∠F＝90°，∠FBC＝∠FCB＝45°. ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°，BE＝CE， ∴∠EBF＝∠EBC＋∠FBC＝90°＝∠BEC＝∠F， ∴四边形BECF是矩形. ∵BE＝CE，∴四边形BECF是正方形. 　 变式训练1　证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF， ∴OE＝OF. ∵OE＝OF，OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵OE＝OA＝OF＝OC， ∴EF＝AC， ∴四边形AECF是矩形. 又∵AC⊥BD， ∴矩形AECF是正方形. ③直角　④相等 　 【例2】　证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°. ∵∠ACB＝90°， CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°. 在Rt△CED中，∠ACD＝45°， ∴CE＝DE. 在Rt△CFD中，∠BCD＝45°， ∴CF＝DF， ∴CF＝DF＝CE＝DE， ∴四边形CEDF是菱形. ∵∠ACB＝90°， ∴菱形CEDF是正方形. 　 变式训练2　证明：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF. ∵CF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形. ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°. ∵BE＝EC， ∴∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∴菱形BECF是正方形. 　 【随堂小测】 1. B　2.AC＝BD（答案不唯一）　3.B　4.A 5. 证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点， ∴GF∥EC且GF＝ EC. 又∵H是EC的中点， ∴EH＝ EC， ∴GF∥EH且GF＝EH. ∴四边形EGFH是平行四边形. 　 （2）如图，连接GH，EF. ∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH＝ BC. 又∵EF⊥BC且EF＝ BC，∴GH＝EF. 又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线， ∴GH∥BC，∴EF⊥GH. 又∵EF＝GH， ∴平行四边形EGFH是正方形. 　 $第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 　 1 正方形是我们最熟悉的图形之一，它与菱形有怎样的关系？与矩形呢？你认 为正方形有哪些特殊的性质？请证明你的结论. 　 　　正方形的性质 （1）正方形的四个角都是① ，四条边都② ⁠； （2）正方形的对角线互相③ 且④ ，对角线平分对角. 直角 相等 垂直平分 相等 　 【例】 【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下 机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上. 【数学理解】（1）该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出 △ABE≌△CBE的证明过程. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）. 　 （2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°. ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA. ∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°. 　 已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连 接EA，EC. （1）求证：△EAB≌△ECB； 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°. 在△EAB和△ECB中， ∴△EAB≌△ECB（SAS）. 　 已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连 接EA，EC. （2）若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝ ∠CDA＝45°. ∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°， ∴∠CED＝∠AED＝ ∠AEC＝22.5°. ∵∠BDC＝∠CED＋∠DCE＝45°， ∴∠DCE＝45°－22.5°＝22.5°， ∴∠CED＝∠DCE， ∴DC＝DE. 　 1. （2025•南山区校级开学）下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是 （　D　）. A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 D 　 2. （2024秋•龙华区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上 的一点，且AE＝AD，连接DE，则∠CDE的度数为（　B　）. A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° B 　 3. （2024秋•宝安区校级期中）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE， 则∠AEB的度数为（　A　）. A. 15° B. 22.5° C. 20° D. 10° A 　 4. （2025秋•龙岗区月考）正方形的一条对角线长为8，则另一条对角线长为 （　C　）. A. 2 B. 4 C. 8 D. 4 C 　 5. （2025秋•深圳期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边 AD，AB上，连接CE，CF，EF，已知CE＝CF＝ . （1）求证：AE＝AF； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB，∠B＝∠D＝90°. 在Rt△BCF和Rt△DCE中， ∴Rt△BCF≌Rt△DCE（HL）， ∴BF＝DE， ∴AB－BF＝AD－DE， ∴AF＝AE，即AE＝AF. 　 5. （2025秋•深圳期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边 AD，AB上，连接CE，CF，EF，已知CE＝CF＝ . （2）求EF的长. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB＝2，∠A＝∠D＝90°， ∴DE＝ ＝ ＝1， ∴AE＝AD－DE＝2－1＝1， ∴AE＝AF＝1， ∴EF＝ ＝ ＝ ，即EF的长为 . 　 6. （2025秋•宝安区校级月考）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线 BD上的两点，且BE＝DF. （1）求证：四边形AECF为菱形. 证明：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO. ∵BE＝DF， ∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形. 　 6. （2025秋•宝安区校级月考）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线 BD上的两点，且BE＝DF. （2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积. 解：由（1）知四边形AECF是菱形. ∵AB＝3 ， ∴AC＝BD＝6. ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD－BE－DF＝2， ∴菱形AECF的面积＝ AC•EF＝ ×6×2＝6. 　 7. （2025秋•龙华区校级月考）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一 点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F. 已知DE＝ ，AE＝ ，则BF的长为 ⁠. 2 　 解析：如图，过点E作MN⊥AD于点M，交BC于点N， 则∠DMN＝∠AMN＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MAB＝∠ABN＝90°，∠MDE＝∠EBN＝45°， ∴四边形MNBA是矩形， ∴AM＝BN，∠BNE＝90°， ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴EN＝BN， ∴AM＝EN. ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠MAE＋∠MEA＝∠FEN＋∠MEA＝90°， ∴∠MAE＝∠FEN. 　 在△ENF和△AME中， ∴△ENF≌△AME（ASA）， ∴FN＝ME，EF＝AE＝ . ∵∠MDE＝45°，∠DME＝90°， ∴△DME是等腰直角三角形，且DE＝ ， ∴ME＝ DE＝ × ＝1， ∴FN＝1. ∵∠AME＝90°，AE＝ ，ME＝1， ∴AM＝ ＝3， ∴BN＝AM＝3， ∴BF＝BN－FN＝3－1＝2.故答案为2. 　 参考答案 【新课导学】 ①直角　②相等　③垂直平分　④相等 【例】　（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）. 　 （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°. ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠DEA. ∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°， ∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°， ∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°. 　 变式训练　证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°. 在△EAB和△ECB中， ∴△EAB≌△ECB（SAS）. 　 （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝ ∠CDA＝45°. ∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°， ∴∠CED＝∠AED＝ ∠AEC＝22.5°. ∵∠BDC＝∠CED＋∠DCE＝45°， ∴∠DCE＝45°－22.5°＝22.5°， ∴∠CED＝∠DCE， ∴DC＝DE. 　 【随堂小测】 1. D　2.B　3.A　4.C 5. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB，∠B＝∠D＝90°. 在Rt△BCF和Rt△DCE中， ∴Rt△BCF≌Rt△DCE（HL）， ∴BF＝DE， ∴AB－BF＝AD－DE， ∴AF＝AE，即AE＝AF. 　 （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC＝AD＝AB＝2，∠A＝∠D＝90°， ∴DE＝ ＝ ＝1， ∴AE＝AD－DE＝2－1＝1， ∴AE＝AF＝1， ∴EF＝ ＝ ＝ ，即EF的长为 . 　 6. （1）证明：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO. ∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形. （2）解：由（1）知四边形AECF是菱形. ∵AB＝3 ，∴AC＝BD＝6. ∵BE＝DF＝2，∴EF＝BD－BE－DF＝2， ∴菱形AECF的面积＝ AC•EF＝ ×6×2＝6. 　 7.2　 解析：如图，过点E作MN⊥AD于点M，交BC于点N， 则∠DMN＝∠AMN＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MAB＝∠ABN＝90°，∠MDE＝∠EBN＝45°， ∴四边形MNBA是矩形，∴AM＝BN，∠BNE＝90°， ∴△BNE是等腰直角三角形，∴EN＝BN，∴AM＝EN. ∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°， ∴∠MAE＋∠MEA＝∠FEN＋∠MEA＝90°， ∴∠MAE＝∠FEN. 　 在△ENF和△AME中， ∴△ENF≌△AME（ASA）， ∴FN＝ME，EF＝AE＝ . ∵∠MDE＝45°，∠DME＝90°， ∴△DME是等腰直角三角形，且DE＝ ， ∴ME＝ DE＝ × ＝1，∴FN＝1. ∵∠AME＝90°，AE＝ ，ME＝1， ∴AM＝ ＝3，∴BN＝AM＝3， ∴BF＝BN－FN＝3－1＝2.故答案为2. 　 $