精品解析：重庆两江新区2025-2026学年度下期八年级期末考试数学试题

2025-2026学年度下期八年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 一座博物馆，就是一座城市的时光容器，每一件珍藏都承载着独特的文化记忆．下面四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某市初中学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况 B. 调查某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 调查嘉陵江的水质情况 D. 调查我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ） A. 18 B. 22 C. 26 D. 30 8. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 9. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形，对角线，，则矩形纸条的宽度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，，，…，为自然数，、为正整数，若，下列说法： ①当时，的最小值为3； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有整式共有15种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）将每个小题的答案直接写在答题卡中对应的横线上． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 若与是同类项，则的值为________________． 13. 若实数x、y同时满足，，则的值为______________． 14. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______________． 15. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，将沿直线翻折到矩形所在平面内，得到，点B的对应点F恰好落在边上，连接交于点H，连接，则线段的长为______________． 16. 一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为8，百位数字与十位数字之和为7，则称这个数为“数”．将一个“数”的千位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．例如：四位数，因为，，所以是“数”，．若“数”，则______________；已知是一个“数”，且满足能被5整除，则满足条件的的最大值为__________________． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 18. 如图，在中，，是的角平分线． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 香绸扇是发源于重庆市开州区临江镇的传统手工艺品，属“开县三绝”之一，是重庆市非物质文化遗产，始创于清道光年间．已知每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元．某文创店在采购时发现，购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元． （1）求购进1套A款香绸扇礼盒和1套B款香绸扇礼盒各需要多少元？ （2）随着市场的变化，A款香绸扇礼盒进价上涨金额是B款香绸扇礼盒进价上涨金额的3倍．上涨后该店用1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍．求A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是多少元？ 21. 重庆市举办第九届青少年科学素养大赛，某校“全能”科技社团要从报名大赛的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员，选拔赛共进行10轮，主要测试科学探究实践能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．评委组对这四名同学10次测试成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分； d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 p 94 中位数 m 94 94 92 方差 1.2 n 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中：m的值为__________，p的值为____________； （2）表中：n_____________1.2（填“>”“=”或“<”）； （3）评委组引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮：比较四名同学的平均水平，最高者进入第二轮（多人并列则均进入）； 第二轮：比较进入者的成绩稳定性，最稳定的两人进入第三轮； 第三轮：计算“战力指数W”，其中，W最高者当选． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是_____________同学，该同学的“战力指数W”分是_____________分． 22. 如图，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 小江在数学项目式学习中，利用所学知识进行测量活动． 项目主题 无人机定点悬停，测量建筑物高度 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 测量步骤及相关说明 小江在测量路径上设置一根高度为米的竖直标杆，并在点处操控无人机，此时手持遥控器的位置为点，他先操作无人机悬停在标杆顶端处，测得米；再操控无人机悬停在教学楼顶端处，测得米；小江由点向教学楼方向行走至标杆底部处，此时手持遥控器的位置为点（点在上），测得米．已知米．图中各点均在同一平面内，且点，，在同一水平线上，无人机大小忽略不计．，，． 完成任务 （1）求观测点到标杆的水平距离； （2）求教学楼的高度． 24. 如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，易证明，我们称这个模型为“K型图”．请结合“K型图”解决以下问题． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，且，，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，直线交y轴于点D，过点D作直线，点P为直线m上一点，若，求此时点P的坐标； （3）如图3，直线n的表达式为：，点G的坐标为，在直线n上是否存在点T，使得直线与直线n的夹角为？若存在，请直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，，是边上的中线，点是直线上一点，连接，在右侧作等腰，，． （1）如图1，点在线段上，与相交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在线段的延长线上，点是边上的中点，连接交的延长线于点，连接，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在线段上，点在线段上，且，连接，，当取得最小值时，若，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期八年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 一座博物馆，就是一座城市的时光容器，每一件珍藏都承载着独特的文化记忆．下面四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．对各选项图形进行分析判断即可． 【详解】解：A、该图形无法找到一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  B、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形无法找到一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形无法找到一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列调查中最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某市初中学生对6月5日是“世界环境日”的知晓情况 B. 调查某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 调查嘉陵江的水质情况 D. 调查我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】当调查范围广，调查具有破坏性，或不需要极高精确度时，更适合采用抽样调查，要求必须保证每个对象都合格，精确度要求极高时采用普查． 【详解】解：A、调查某市初中学生对世界环境日的知晓情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； B、调查汽车电池续航能力，调查具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求； C、调查嘉陵江水质情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； D、福建舰各零部件质量直接影响航行安全，必须检查每一个零部件的质量，因此最适宜采用全面调查，符合要求． 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先用二次根式乘法进行计算，再估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算和估算，解题关键是熟练进行二次根式计算和估算． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角性质和平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，，， ∴， ∵， ∴， 即． 6. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法表示的数的大小比较，先比较的指数，指数越大原数越大；指数相同时，比较系数，系数越大原数越大，即可得出结果． 【详解】解：∵用科学记数法表示的数比较大小时，越大则数越大，本题中A、B的，C、D的，， ∴ A、B均小于C、D，排除A、B； ∵C为，D为，两者相同，， ∴， 因此最大的数是． 7. 我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ） A. 18 B. 22 C. 26 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 8. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象给出的信息逐项判断即可． 【详解】解：A：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小再增大再减小，故该选项不合题意； B：由图像知，函数的最大值为，即点到地面的最大距离为，，， ∴摩天轮的直径为，故该选项不合题意； C：点到地面的最大距离为，故该选项符合题意； D：点离地面时，对应的摩天轮运动的时间点有个，故该选项不合题意． 9. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形，对角线，，则矩形纸条的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知、，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故纸条的宽是. 10. 已知整式：，其中，，，…，为自然数，、为正整数，若，下列说法： ①当时，的最小值为3； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有整式共有15种． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给定的整式系数和次数的取值要求，分情况对三个说法逐一验证，判断每个说法的正误后统计正确个数即可． 【详解】解：已知条件：为自然数，为正整数，，逐一验证三个说法： ① 当时，要使最小，取各系数的最小值：最小为正整数，最小为自然数，则，故的最小值为，①正确； ② 当时，按的取值分类枚举： 当时，，即，为正整数，得符合条件的整式为，； 当时，，即，为正整数，得符合条件的整式为； 当时，，无符合条件的整式； 所有整式的和为，故②错误； ③ 当时，按的取值分类计数： 当时，，即，为正整数，共种； 当时，，即，为正整数，共种； 当时，，即，为正整数，共种； 当时，，即，为正整数，仅种； 当时，，无符合条件的整式； 总个数为，故③正确， 综上，正确的说法共个． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）将每个小题的答案直接写在答题卡中对应的横线上． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 若与是同类项，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，列出关于的方程即可求解． 【详解】解：与是同类项， 相同字母的指数相等，即，解得：． 13. 若实数x、y同时满足，，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得，可得，因此，将第二个方程化为，得，代入变形后的第一个方程，结合绝对值的性质求解，再求出，即可计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 将代入①，得， 化简得， 当时，，左边，等式不成立； 当时，，等式变为，即，解得， 将代入，得， ∴． 14. 如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形法求不等式的解集，掌握自变量值的计算，图形法求不等式解集的方法是关键． 根据题意得到，结合图形即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和一次函数的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 结合图形，当时，，即， 不等式的解集为 ． 15. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，将沿直线翻折到矩形所在平面内，得到，点B的对应点F恰好落在边上，连接交于点H，连接，则线段的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形和折叠可得，，，再根据勾股定理可得，，最后利用直角三角形斜边中线求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 折叠， ，， 在中，， ， 在中，， 点是的中点， ． 16. 一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为8，百位数字与十位数字之和为7，则称这个数为“数”．将一个“数”的千位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．例如：四位数，因为，，所以是“数”，．若“数”，则______________；已知是一个“数”，且满足能被5整除，则满足条件的的最大值为__________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义运算和整式加减的应用，根据“数”的定义计算第一空，再通过表示出，结合整除条件，要得到最大的，优先让千位数字最大，再找最大的百位数字即可求解． 【详解】解：，交换千位和十位数字得到 设， 根据“数”定义得，，各数位不为0， 因此，，，，交换千位和十位得 代入 得 由题意 能被5整除，代入得：， 即是5的倍数 要使最大，优先取最大的，最大为， 此时，符合要求 代入得， 需要能被5整除，从最大的开始试： 时，，不能被5整除； 时，，不能被5整除； 时，，不能被5整除； 时，，能被5整除，符合要求 此时，因此 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18. 如图，在中，，是的角平分线． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）按照角平分线标准尺规作图步骤，以顶点为圆心画弧交、于两点，再分别以两交点为圆心画等半径弧，两弧交点与连线交得到点，保留作图痕迹即可． （2）先由推出，再结合、分别为两角平分线得到，利用公共角证明，由全等三角形对应边相等证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算的值，利用负整数指数幂、零指数幂运算法则求出；对分式混合运算先算括号内，通分合并，再将除法转化为乘法，因式分解后约分化简；把求得的代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 20. 香绸扇是发源于重庆市开州区临江镇的传统手工艺品，属“开县三绝”之一，是重庆市非物质文化遗产，始创于清道光年间．已知每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元．某文创店在采购时发现，购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元． （1）求购进1套A款香绸扇礼盒和1套B款香绸扇礼盒各需要多少元？ （2）随着市场的变化，A款香绸扇礼盒进价上涨金额是B款香绸扇礼盒进价上涨金额的3倍．上涨后该店用1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍．求A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是多少元？ 【答案】（1） 购进1套A款香绸扇礼盒需要15元，购进1套B款香绸扇礼盒需要20元 （2） A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是6元 【解析】 【分析】（1）设购进1套A款香绸扇礼盒需要元，1套B款香绸扇礼盒需要元，根据“每套A款香绸扇礼盒的进价比每套B款香绸扇礼盒的进价少5元；购进3套A款香绸扇礼盒的费用比购进2套B款香绸扇礼盒的费用多5元”，列方程组求解即可； （2）设B款香绸扇礼盒进价上涨金额为元，则A款香绸扇礼盒进价上涨金额为元，根据“用1680元购买A款香绸扇礼盒的数量是用880元购买B款香绸扇礼盒数量的2倍”，列分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设购进1套A款香绸扇礼盒需要元，1套B款香绸扇礼盒需要元， 根据题意得：， 解得， 答：购进1套A款香绸扇礼盒需要15元，购进1套B款香绸扇礼盒需要20元； 【小问2详解】 解：设B款香绸扇礼盒进价上涨金额为元，则A款香绸扇礼盒进价上涨金额为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A款香绸扇礼盒进价的上涨金额是6元. 21. 重庆市举办第九届青少年科学素养大赛，某校“全能”科技社团要从报名大赛的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员，选拔赛共进行10轮，主要测试科学探究实践能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．评委组对这四名同学10次测试成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分； d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 p 94 中位数 m 94 94 92 方差 1.2 n 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中：m的值为__________，p的值为____________； （2）表中：n_____________1.2（填“>”“=”或“<”）； （3）评委组引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮：比较四名同学的平均水平，最高者进入第二轮（多人并列则均进入）； 第二轮：比较进入者的成绩稳定性，最稳定的两人进入第三轮； 第三轮：计算“战力指数W”，其中，W最高者当选． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是_____________同学，该同学的“战力指数W”分是_____________分． 【答案】（1）94，94 （2） （3）甲， 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据折线图判断波动性大小，即可得出结果； （3）先确定进入第三轮的选手，根据计算公式进行计算后，判断即可． 【小问1详解】 解：甲同学成绩的10个数据排序为92，93，93，94，94，94，94，95，95，96，第5个和第6个数据均为94， 故； ； 【小问2详解】 解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ∴； 【小问3详解】 解：∵四位同学成绩的平均数相同，甲和丁两位同学的方差相同且均比乙和丙两位同学的方差小， ∴甲和丁两位同学进入第三轮， ∵甲同学在10次测试中，出现次数最多的分数是94分，丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分， ∴甲同学的分数的众数为94分，丁同学的分数的众数为93分， 又∵甲同学的分数的中位数为94分，丁同学的分数的中位数为92分， ∴（分），（分）， ∵， 故最终当选正式参赛队员的是甲同学，该同学的W分是分． 22. 如图，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）第一段：， 1 3 第二段：， 4 6 作图如下： 函数性质：当时，随的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用直角三角形面积公式算出面积，结合三角形中位线性质得到长度，根据动点路程分段；当时，以为底、为高，用三角形面积公式列一次函数；当时，用整体面积减去、面积，化简得到第二段函数，标注两段自变量取值范围． （2）对两段分段函数分别列表计算对应坐标，在坐标系描点连线绘制分段折线图像，结合两段函数的斜率变化写出一条函数增减性质． （3）结合函数图像确定对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，，， ∴，， ∵动点速度为每秒2个单位，，， ∴点走完用时：（秒），点走完全程用时：（秒）， ①当时，点在线段上，， ， ②当时，点在线段上，如图， ∵，，， ∴的边上的高， ∵，， ∴， 综上函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由图可得，时的取值范围为． 23. 小江在数学项目式学习中，利用所学知识进行测量活动． 项目主题 无人机定点悬停，测量建筑物高度 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 测量步骤及相关说明 小江在测量路径上设置一根高度为米的竖直标杆，并在点处操控无人机，此时手持遥控器的位置为点，他先操作无人机悬停在标杆顶端处，测得米；再操控无人机悬停在教学楼顶端处，测得米；小江由点向教学楼方向行走至标杆底部处，此时手持遥控器的位置为点（点在上），测得米．已知米．图中各点均在同一平面内，且点，，在同一水平线上，无人机大小忽略不计．，，． 完成任务 （1）求观测点到标杆的水平距离； （2）求教学楼的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，推出，然后根据求解的长，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点，先证明四边形为矩形，得到，，设米，则米，再分别在和中，由勾股定理表示出，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：，，， ，， 四边形为矩形， ， ， 米，米， 米， 在中，，米， 由勾股定理，得（米）． 答：观测点到标杆的水平距离的长为米． 【小问2详解】 解：延长交于点，如图． 四边形为矩形， ， 依题意得：， ， ， 四边形为矩形，， 米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理，得， ， 解得， （米）， 米． 答：教学楼的高度为米． 24. 如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，易证明，我们称这个模型为“K型图”．请结合“K型图”解决以下问题． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，且，，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，直线交y轴于点D，过点D作直线，点P为直线m上一点，若，求此时点P的坐标； （3）如图3，直线n的表达式为：，点G的坐标为，在直线n上是否存在点T，使得直线与直线n的夹角为？若存在，请直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点，证明，进一步求出．待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，作轴交分别于点，则，得到，，根据列方程求出，即可得到答案； （3）设点T，点是符合要求的两个点，即，设，过点T作直线平行轴，点作直线平行轴，过点作直线平行轴，与两条直线分别相交于点，证明，求出，由点在直线上，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作轴于点， 则， ∴，， ，， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：关于，令得，， ； 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵直线， 设直线的解析式为，把代入得到， ∴直线的解析式为， 设，作轴交分别于点， 则， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得 ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，有两个点符合题意，点T的坐标为或，理由如下： 如图，设点T，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点T作直线平行轴，点作直线平行轴，过点作直线平行轴，与两条直线分别相交于点， 则， ， ，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， ∵点在直线上， ∴， ， ∴点T的坐标为或． 25. 如图，在中，，，是边上的中线，点是直线上一点，连接，在右侧作等腰，，． （1）如图1，点在线段上，与相交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在线段的延长线上，点是边上的中点，连接交的延长线于点，连接，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点在线段上，点在线段上，且，连接，，当取得最小值时，若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 作交的延长线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角结合三角形的外角性质求解即可； （2）作交的延长线于点，证明，求得，再证明，求得，得到是的中位线，据此求解即可； （3）作，使，连接，，证明，求得，当共线时，取得最小值，即取得最小值，证明是等腰直角三角形，求得，设，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：作，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，即取得最小值， 如图，记交于点， ∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $