精品解析：重庆市两江新区2024-2025学年八年级下学期期末抽测数学试题

2024-2025学年下期期末抽测 八年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 一次函数一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，将和分别代入解析式中，结合选项，即可求解． 【详解】解：当时，，则一次函数的图象经过点，故该选项A正确，符合题意，B ，C不符合题意.； 当时，，则一次函数的图象经过点，故选项D不符合题意 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式需满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是解题关键． 根据最简二次根式必须需满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，作出判断即可得到答案． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故本选项符合题意； ； B. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. ，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. ，被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数的图像经过的象限，根据的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图像经过第一、二、四象限； 故选C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质逐一分析选项． 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等．矩形的对角线才相等，故A错误． B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（菱形的定义），故B正确． C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非正方形．正方形需满足对角线垂直且相等，故C错误． D. 矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当其为正方形时成立，故D错误． 故选：B． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为， 第②个图形中小圆圈的个数为， 第③个图形中小圆圈的个数为， 归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数）， 则第⑧个图形中小圆圈的个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 7. 如图，在中，，，，为斜边上的高，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先运用勾股定理算出，再结合等面积法求出，最后在，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 故选：C 8. 如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长，求出的最小值为，再求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为 故选：D． 9. 如图，四边形为正方形，点、分别为、的中点，连接，相交于点，取中点，连接并延长，交于点．连接．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明，得到，证明，证明和，得到，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， 解得 故选：A 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． 10. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（ ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义及运算性质，需逐一验证三个说法的正确性． 【详解】解：①：由定义，，故，正确． ②：展开原式： 由，代入得：，正确． ③：化简，得： 当时，，但题目中称最小值为，错误． 综上，正确的有①和②，共2个， 故选C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂和算术平方根的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别求算术平方根和零指数幂，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若点，在一次函数的图象上，则______．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数的自变量的大小，分别把，代入进行计算，得，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：>． 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据题意和题目中的数据，可以由勾股定理求出直角三角形的短直角边的长，进而计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， ∴直角三角形的短直角边的长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据不等式组的整数解的个数求出的范围，再根据分式方程的解为整数求出的另一个范围，结合两个范围求解． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得：， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴，且， ∴，且， ∵为整数，且也为整数， ∴， ∴． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点、点，连接，过点作的垂线，交延长线于点，连接．若，，则______，的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，设交于点O，由矩形的性质可得，，由平行线的可得，证明，，，；由折叠的性质可得，，则可证明，得到，由勾股定理可得，证明，则；过点E作于H，由等面积法可得，则． 【详解】解：如图所示，设交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交于点、点， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于H， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；． 16. 对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为______．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为______． 【答案】 ①. 961 ②. 1310 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，要使“四方数”最大，则百位数字要最大，故可确定最大的“四方数”的百位数字为9，再确定十位数字，进而确定个位数字即可；设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为，根据题意可得能被13整除，则能被13整除，即能被13整除，根据，，再根据是13的倍数讨论求解即可． 【详解】解：∵要使“四方数”最大， ∴百位数字要最大， ∴最大的“四方数”的百位数字为9， 接着要保证十位数字最大，则最大的“四方数”的十位数字为6， ∴最大的“四方数”的个位数字为1，即最大的“四方数”为961； 设M的十位数字为x，N的百位数字为y，则M的个位数字为，N的十位数字为， ∵M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， 当时，则， 当时，，， ∴，，此时符合题意； ∴此时； ∵， ∴，且y是正整数， ∴此时，都满足是最大， ∴的最大值即为． 故答案为：961；1310． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其它每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 如图，在矩形中． （1）利用直尺和圆规完成以下基本作图：作的平分线，交于点E，过点E作交于点F；（保留作图痕迹，不写作法、结论） （2）在（1）所作的图中，证明：四边形是正方形（请补全下面的证明过程，不写依据）． 证明：∵， ∴______________ ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴四边形为______________ ∵四边形为矩形， ∴______________ ∴． 又∵平分， ∴______________ ∴． ∴______________ ∴四边形为正方形． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】（1）由作角平分线的方法和作垂线的方法进行作图，即可得到答案； （2）先证明四边形是矩形，然后证明，即可得到结论成立． 【小问1详解】 解：如图所示，平分，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴四边形为矩形； ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 又∵平分， ∴ ∴． ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，角平分线的性质，以及基本作图，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出角平分线和垂线． 19. 某初中有甲，乙两个学生食堂，为了了解哪个食堂更受学生欢迎，学校开展了为期20天的数据收集工作，统计初三年级每天中午分别到甲，乙食堂就餐的人数，现对收集到的数据进行整理、描述和分析（人数用（人）表示，共分成四个等级．；；；），下面给出了部分信息： 甲、乙食堂的人数统计表： 食堂 甲 乙 平均数 211 196 中位数 224 众数 173 乙食堂就餐人数扇形统计图： 甲食堂20天的所有人数数据为：112，125，138，146，168，177，177，177，185，218，230，234，241，246，249，260，260，279，298，300 乙食堂20天的人数数据中，共有8天为B等级，具体数据为210，220，223，225，230，234，241，245 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空： ， ， ． （2）根据以上数据，请判断哪个食堂的更受同学们欢迎，并说明理由（一条即可）． （3）已知该校初三年级共有学生400人，全校共有学生1600人，请估计甲食堂每天中午大约准备多少名同学的午餐？ 【答案】（1）243；177；25 （2）甲食堂更受同学们欢迎，理由见解析 （3）844名 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，扇形统计图，用平均数做决策，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；用1减去A、B、D的人数占比即可求出m的值； （2）根据甲的平均数比乙的平均数高即可得到结论； （3）用1600乘以样本中到甲食堂的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：把乙食堂20天的人数按照从低到高排列，把乙食堂20天的人数得到中位数为第10名的人数和第11名的人数的平均数， ∵， ∴乙食堂20天的人数的中位数为人，即； 甲食堂20天的人数数据中，人数为177人的天数最多， ∴众数为177人，即； 由题意得，，即； 【小问2详解】 解：甲食堂更受同学们欢迎，理由如下： 甲食堂就餐人数的平均数比乙食堂的高，故甲食堂更受同学们欢迎； 【小问3详解】 解：名， 答：估计甲食堂每天中午大约准备844名同学的午餐． 20. 如图，四边形中，，为的中点，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质等知识点． （1）先证明，则，，可得为中位线，则，即，证明四边形是平行四边形，则，即，即可证明； （2）过点作于点，由角直角三角形性质以及勾股定理求解，再在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为中位线， ∴，即 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知1个种工人的月工资是1个种工人月工资的1.2倍，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．设该车间再招聘A工种工人人，每月付给这60名工人的工资总额为，若车间想使每月付给这60个工人工资总额最少，那么应当两个工种工人应如何招聘？应付工资总额是多少？请用一次函数增减性的知识解决问题． 【答案】（1）A工种工人的月工资为1万元，则B工种工人的月工资为万元 （2）招聘A工种工人20人，B工种工人40人，应付工资总额是68万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等： （1）设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人人，根据题意列不等式组求出m的取值范围，再列出y关于a的函数关系式，利用函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设A工种工人的月工资为x万元，则B工种工人的月工资为万元， 由题意得，， 解得， ， 即A工种工人的月工资为1万元，则B工种工人的月工资为万元； 【小问2详解】 解：设再招聘A工种工人a人，则再招聘B工种工人人， 由题意得，， 解得， ， ， y随x的增大而减小， 时，y取最小值， 此时， 即再招聘A工种工人20人，B工种工人40人时，每月付给这60个工人工资总额最少，应付工资总额是68万元． 22. 如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒（），记为． （1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，矩形的性质，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当点在上运动时，即时，当点在上运动时，即时，分别利用三角形面积公式计算即可得解； （2）根据（1）中所求的解析式画出图象即可得解； （3）分别求出函数恰好经过和恰好经过时，m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当点在上运动时，即时，，则， 此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：； 【小问2详解】 解：画出函数图象如图所示： 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：当函数恰好经过时，则，解得； 当函数恰好经过时，则，解得； ∴当时，函数与的图象有且仅有2个交点． 23. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数经过线段中点，且与轴交于，与轴交于点． （1）用待定系数法求一次函数的解析式； （2）点是一次函数的图象上一点，若，求点的坐标； （3）是直线上一点，试问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，进而根据中点坐标公式求出点C坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，再分点F在点B左侧和点F在点B右侧，两种情况讨论求解即可； （3）先求出，再求出直线解析式为，设，分为对角线，为对角和为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解；在中，当时，，当时，， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 当点F在点B左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 当点F在点B右侧时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； 综上所述，点F的坐标为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 同理可得直线解析式为， 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 当为对角线时，则， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或． 24. 已知，与交于点，连接． （1）如图1，若时，求的面积； （2）已知： ①如图2，取中点为，过作交于点，过点作延长线于点，证明：； ②如图3，延长、交于点，过作，、分别是线段、线段上的动点，若，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）过点A作于点，则，，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及三角形的面积公式，即可求解； （2）延长、相交于点，过A作于，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得出，则是等腰直角三角形，进而证明，得出，，过点作，证明，得出，进而即可得出结论； （3）过点作，，证明得出，，当在上时，取得最小值，由①可得，则是等腰直角三角形，进而得出，则是的角平分线，则，过点作于点，设，则，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点，则， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：延长、相交于点，过A作于， ∵，， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵，的中点为， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作，， ∵，， ∴ ， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴当在上时，取得最小值， 此时如图， ∵，由①可得，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，， ∴， 过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，角平分线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下期期末抽测 八年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 一次函数一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线一定相等 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 7. 如图，在中，，，，为斜边上的高，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为正方形，点、分别为、的中点，连接，相交于点，取中点，连接并延长，交于点．连接．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当时，，例如：．则下列说法正确的有（ ）个 ①． ②． ③若是关于的函数，则当时，有最小值为． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. ______． 12. 若点，在一次函数的图象上，则______．（填“>”，“<”或“=”） 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是______． 14. 若关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 15. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点、点，连接，过点作的垂线，交延长线于点，连接．若，，则______，的面积为______． 16. 对于一个三位正整数，如果的各个数位的数字均不相等且都不为零，满足，那么称这个数为“四方数”．例如：对于286，，是“四方数”；对于不是“四方数”．那么最大的“四方数”为______．若都是“四方数”，的百位数字是的个位数字是5，M、N各自去掉个位数字后得到的两位数之和能被13整除，规定，则的最大值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其它每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中． 18. 如图，在矩形中． （1）利用直尺和圆规完成以下基本作图：作的平分线，交于点E，过点E作交于点F；（保留作图痕迹，不写作法、结论） （2）在（1）所作的图中，证明：四边形是正方形（请补全下面的证明过程，不写依据）． 证明：∵， ∴______________ ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴四边形为______________ ∵四边形为矩形， ∴______________ ∴． 又∵平分， ∴______________ ∴． ∴______________ ∴四边形为正方形． 19. 某初中有甲，乙两个学生食堂，为了了解哪个食堂更受学生欢迎，学校开展了为期20天的数据收集工作，统计初三年级每天中午分别到甲，乙食堂就餐的人数，现对收集到的数据进行整理、描述和分析（人数用（人）表示，共分成四个等级．；；；），下面给出了部分信息： 甲、乙食堂的人数统计表： 食堂 甲 乙 平均数 211 196 中位数 224 众数 173 乙食堂就餐人数扇形统计图： 甲食堂20天的所有人数数据为：112，125，138，146，168，177，177，177，185，218，230，234，241，246，249，260，260，279，298，300 乙食堂20天的人数数据中，共有8天为B等级，具体数据为210，220，223，225，230，234，241，245 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空： ， ， ． （2）根据以上数据，请判断哪个食堂的更受同学们欢迎，并说明理由（一条即可）． （3）已知该校初三年级共有学生400人，全校共有学生1600人，请估计甲食堂每天中午大约准备多少名同学的午餐？ 20. 如图，四边形中，，为的中点，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 某生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知1个种工人的月工资是1个种工人月工资的1.2倍，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．设该车间再招聘A工种工人人，每月付给这60名工人的工资总额为，若车间想使每月付给这60个工人工资总额最少，那么应当两个工种工人应如何招聘？应付工资总额是多少？请用一次函数增减性的知识解决问题． 22. 如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒（），记为． （1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 23. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数经过线段中点，且与轴交于，与轴交于点． （1）用待定系数法求一次函数的解析式； （2）点是一次函数的图象上一点，若，求点的坐标； （3）是直线上一点，试问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 24. 已知，与交于点，连接． （1）如图1，若时，求的面积； （2）已知： ①如图2，取中点为，过作交于点，过点作延长线于点，证明：； ②如图3，延长、交于点，过作，、分别是线段、线段上的动点，若，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $