第6章概率的进一步认识习题课件 2026-2027学年数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用树状图或表格求不放回型概率”，通过摸棋子、演讲比赛抽签等生活实例导入，对比放回型概率，构建知识支架，帮助学生衔接前后概率计算方法。 其亮点在于题目设计生活化（如军事武器卡片抽奖）、改编教材习题且分层训练（基础到拓展），通过树状图与表格培养推理能力和模型意识，如第8题用列表法解决两类卡片抽取问题，提升学生应用意识，教师使用可兼顾不同层次学生，提高教学效率。

第六章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第3课时　用树状图或表格求概率（配色问题） 　 1 A. 基础夯实 1. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转 动转盘两次，当转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至 转到其中一区域）所指颜色相同的概率为（　D　）. A. B. C. D. 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 2. 小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计 了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色） 的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ⁠. 第2题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标 有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是 （　B　）. A. B. C. D. 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. 用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已 知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜 色可以配成紫色的概率为（　B　）. A. B. C. D. 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. 课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏， 转盘A被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区 域所在扇形的面积之比为1∶3；转盘B被分成三个面积相等的扇形，分别为 红色区域、黄色区域、蓝色区域.游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘 的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域 分界线则重新转动转盘）.则游戏者获胜的概率是 ⁠. ​ 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. 自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例 混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”.在一次数学课上，老 师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏（红色和蓝色配在一起为紫 色），如图，甲转盘被均匀地分成3个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜 色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是120°.同时转动两 个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色（若指针指在 分割线上，需重新转动，直到指针指向某扇形为止）. （1）转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为 ⁠； ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所 指的颜色可配成紫色的概率. 解：列表如下： 红 绿 蓝 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （绿，蓝） （蓝，蓝） 由表格可知转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 7. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时 转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那 么他就赢了.根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（　D　）. A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 8. （教材第171页习题6.1第5题）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游 戏，配得紫色的概率是多少？ 解：根据两个转盘的形状，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色 的结果有5种， ∴配得紫色的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 9. 如图所示的一个转盘，黄色和蓝色所在扇形的圆心角都为90°. （1）转动转盘，指针指向红色区域的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）小华认为转盘上共有三种不同的颜色，所以自由转动这个转盘两次， 能配成紫色（红色和蓝色可配成紫色）的概率为 ，你认为小华说得正确 吗？为什么？（利用画树状图法或列表法说明） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 解：列表如下： 黄 蓝 红 红 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） （红，黄） 蓝 （黄，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝）（紫） （红，蓝）（紫） 红 （黄，红） （蓝，红）（紫） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （蓝，红）（紫） （红，红） （红，红） 由表知，所有等可能结果有16种，其中能配成紫色的结果有4种，则能配成 紫色的概率为 ＝ ，所以小华说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 10. （教材第171页习题6.1第9题）设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配 得紫色的概率是 . 解：如图，两个转盘，其中一个转盘被分成面 积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面 积相等的红、蓝、白三部分，同时转动两个转 盘，把转盘停止时指针所指的两种颜色进行配 色，求配得紫色的概率. 如图，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中配得紫色的结果 有2种，所以配得紫色的概率＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1. D 2. 3. B 4. B 5. 6. 解：（1） （2）列表如下： 红 绿 蓝 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （绿，蓝） （蓝，蓝） 由表格可知转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为 ＝ . 　 7. D 8. 解：根据两个转盘的形状，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，∴配得紫色的概 率为 . 　 9. 解：（1） （2）列表如下： 黄 蓝 红 红 黄 （黄，黄） （蓝，黄） （红，黄） （红，黄） 蓝 （黄，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝）（紫） （红，蓝）（紫） 红 （黄，红） （蓝，红）（紫） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （蓝，红）（紫） （红，红） （红，红） 由表知，所有等可能结果有16种，其中能配成紫色的结果有4种，则能配成 紫色的概率为 ＝ ，所以小华说法错误. 　 10. 解：如图，两个转盘，其中一个转盘被分成面积相等的红、蓝两部分， 另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，同时转动两个转盘，把转 盘停止时指针所指的两种颜色进行配色，求配得紫色的概率. 如图，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中配得紫色的结果有2种，所以配得紫色的概率 ＝ ＝ . 　 $第六章　概率的进一步认识 章末复习 　 1 A. 基础夯实 1. （2025·福田区校级开学）行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和 行人遮荫并构成街景的树种.国槐是我市常见的行道树品种.如图是一批国槐 树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为 （　B　）. A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 2. （2025春·宝安区期末）数学学习小组在课外时间继续开展“掷骰子”的 数学试验，记录了“点数为6”的出现次数，如表所示： 试验次数 100 200 500 1 000 2 000 点数为6的次数 18 32 95 170 334 根据以上数据，下列说法错误的是（　C　）. A. 随着试验次数增加，“点数为6”出现的频率会在一个常数附近摆动 B. 当试验次数为500时，“点数为6”出现的频数为95 C. 若再进行1 000次的试验，“点数为6”出现的频率一定是0.17 D. 估计“点数为6”出现的概率为16.7％ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之 宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可 从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位 同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　A　）. A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就. 正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们 除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这 两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　B　）. A. B. C. D. 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. （2025·龙岗区校级开学）某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规 定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖 （若指向分界线，则重转）.通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那 么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　C　）. A. 72° B. 90° C. 108° D. 126° 第5题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. （2025秋·宝安区期中）在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的 30个白球和若干个红球.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳 定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为 ⁠. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 7. 在一次试验中，每个电子元件 有通电或断电两种状态，并且这两种状 态的可能性相等.如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概 率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 8. 为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体 操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项.为了解学生 的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的 两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图； 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 解析：本次调查共抽取了32÷ ＝80（名）学 生.故答案为80. 选择C项目的人数为80－32－28－4＝16. 补全条形统计图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）在扇形统计图中，求项目C对应扇形的圆心角度数； 解：项目C对应扇形的圆心角度数为360°× ＝72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随 机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学 生的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中抽到两名性别相同的学生的结果有4种， ∴抽到两名性别相同的学生的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 9. 合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生 B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位且学生C坐在3 号座位的概率是 ⁠. ​ 解析：画树状图如图： 共有6种等可能的结果，其中学生B坐在2号 座位且学生C坐在3号座位的结果数为1， 所以学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座 位的概率是 .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 10. 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000 发芽的粒数m 65 111 136 345 552 690 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b （1）a＝ ，b＝ ⁠. （2）估计这种油菜籽发芽的概率是 .（精确到0.01） 0.69 0.69 0.69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90％，则在相同条件下用10 000粒该 种油菜籽可得到油菜秧苗大约多少棵？ 解：10 000×0.69×90％＝6 210（棵） 答：在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗大约6 210棵. 每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000 发芽的粒数m 65 111 136 345 552 690 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1. B 2.C 3. A 4. B 5. C 6.20 7. 8. 解：（1）80 解析：本次调查共抽取了32÷ ＝80（名）学生.故答案为80. 选择C项目的人数为80－32－28－4＝16. 补全条形统计图如图所示. 　 （2）项目C对应扇形的圆心角度数为360°× ＝72°. （3）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中抽到两名性别相同的学生的结果有4种， ∴抽到两名性别相同的学生的概率为 ＝ . 　 9. 解析：画树状图如图： 共有6种等可能的结果，其中学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座位的结果 数为1， 所以学生B坐在2号座位且学生C坐在3号座位的概率是 .故答案为 . 　 10. 解：（1）0.69 0.69 （2）0.69 （3）10 000×0.69×90％＝6 210（棵） 答：在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗大约6 210棵. 　 $第六章　概率的进一步认识 2　用频率估计概率 　 1 A. 基础夯实 1. 下列说法错误的是（　D　）. A. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 B. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算 C. 必然事件发生的概率是1 D. 概率很小的事件不可能发生 2. 小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（　D　）. A. 80 B. 64 C. 1.2 D. 0.8 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. （2025秋·龙华区期末）为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催 化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1 200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1 093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（　C　）. A. 0.87 B. 0.90 C. 0.91 D. 0.93 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. （2025秋·深圳校级月考）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数 学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在 边长为2 cm的正方形内部.通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记 录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据.据此估计点落在不规则图 案上的概率约为（　C　）. A. 0.34 B. 0.27 C. 0.30 D. 0.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. （2025秋·宝安区期末）石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称.现跟踪调查 石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植棵数 40 100 200 500 1 000 成活棵数 34 93 176 451 900 成活率 85％ 93％ 88％ 90.2％ 90％ 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到1％）为 ⁠. 90％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. 某班50名学生在期末考试中，数学成绩在80～90分这个分数段的频率为 0.3，则该班在这个分数段的学生有 人. 7. （2025秋·深圳期末）不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和n个蓝球， 这些球除颜色外其余均相同.课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再 放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，则n的值最可能 是 ⁠. 15 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 8. （2025秋·盐田区期末）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球 （除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，m个红球，还有n个黄球.每次 摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则m 的值最可能是 ⁠. 12 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 9. （2025秋·深圳月考）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地 的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向 草地方向掷石子，石子落点记录如下表： 第9题图 项目名称组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 59 63 61 57 石子落在阴影内的次数 19 20 19 22 请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 平方米. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 解析：∵学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形， ∴矩形的面积为5×4＝20（平方米）， 石子落在草地内的概率为 ＝ ＝ ， ∴草地的面积大约是20× ＝15（平方米）.故答案为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 10. （2024秋·福田区校级期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动， 设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一 次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖 品.如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1 000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （1）完成上述表格，其中a＝ ，b＝ ⁠； （2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一 次，你获得“可乐”的概率约是 ；（本小问结果全部精确到0.1） （3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是 ⁠； 472 0.59 0.6 0.6 144° 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1 000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604 落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （4）在这次购物中，甲、乙两人随机从A，B，C三种支付方式中各选一种 方式进行支付.请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一 种支付方式的概率. 解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同 一种支付方式的结果有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1.D　2.D　3.C　4.C　5.90％　6.15　7.5　8.12 9.15　解析：∵学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形， ∴矩形的面积为5×4＝20（平方米）， 石子落在草地内的概率为 ＝ ＝ ， ∴草地的面积大约是20× ＝15（平方米）.故答案为15. 　 10. 解：（1）472 0.59 （2）0.6 0.6 （3）144° （4）画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ＝ . 　 $第六章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第1课时　用树状图或表格求概率（放回型） 　 1 A. 基础夯实 1. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“0”“1”，除数字外两个 小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从 中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之积为0的概率是 （　B　）. A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. （2024秋·南山区校级期中）某公园有A，B，C，D四个入口，每个游客 都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公 园的概率是（　B　）. A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好是一正一反的概率是 ⁠. 第3题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. （2024秋·龙岗区校级期中）如图，一段长管中放置着三根同样的绳子， 小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子 的概率是 ⁠. 第4题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. （2025·深圳一模）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表.深圳市非 物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼 灯舞等.小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”“大船坑舞麒麟”“潮俗 皮影戏”“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用来宣传深圳的非物质 文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. （2024秋·南山区期中）一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球， 这些球除颜色外其余均相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀 后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 7. （根据教材第166页例1改编）有三张大小一样而画面不同的画片，先将每 一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一 个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每个盒子中各 随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率. 解：设这三张画片的上半部分分别记为a，b， c，对应的下半部分分别记为A，B，C，画树状 图如下： 共有9种等可能的结果，其中这两张恰好能拼成原 来的一幅画的结果有aA，bB，cC，共3种， ∴这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. （教材第171页习题6.1第3题）经过某路口的行人，可能直行，也可 能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，求下列事 件的概率： （1）“两人都左拐”的概率是 ；恰好有一人直行，另一人左拐的概率 是 ⁠； 解：画树状图为： ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解析：由树状图可知共有9种等可能的结果，其中“两人都左拐”的结果数 为1，所以“两人都左拐”的概率是 ；恰好有一人直行，另一人左拐的结果 数为2，所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率是 .故答案为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）利用列表法或画树状图法求出“至少有一人直行”的概率. 解：由树状图可知“至少有一人直行”的结果数为5，所以“至少有一人直 行”的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一 个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘 记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. （根据教材第172页第10题改编）【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼 皮两种性状，这是由对应的基因决定的.研究表明：决定眼皮单双性状的基 因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个 人控制性状的等位基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），在成对的基 因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的.只 要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因BB，bB，Bb均为 双眼皮. 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，若不考虑其他因素， 则他们的孩子是双眼皮的概率是 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. （教材第171页习题6.1第4题）掷两个质地均匀的骰子，求下列事件 的概率： （1）至少有一个骰子的点数为1； 解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况. 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 满足至少有一个骰子的点数为1（记为事件A）的结果有11种，所以P（A） ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）两个骰子的点数和为奇数； 解：将两个骰子的点数和为奇数记为事件B， 则满足该事件的结果有18种，所以P（B）＝ ＝ . （3）两个骰子的点数和大于9； 解：将两个骰子的点数和大于9记为事件C，则满足该事件的结果共有6种， 所以P（C）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （4）第二个骰子的点数整除第一个骰子的点数. 解：将第二个骰子的点数整除第一个骰子的点数记为事件D，则满足该事件 的结果共有14种，所以P（D）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. （教材第178页复习题第9题）小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如 下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的 骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的 数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你 是游戏者，你会选择哪个数？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：选择7，理由如下.列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能的情况，其中点数之和为7的情况有6种，是最 多的， ∴P（点数之和为7）＝ ＝ ， ∴游戏者事先选择数字7获胜的可能性最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1. B 2.B 3. 4. 5. 6. 7. 解：设这三张画片的上半部分分别记为a，b，c，对应的下半部分分别 记为A，B，C，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中这两张恰好能拼成原来的一幅画的结果有aA， bB，cC，共3种，∴这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率为 ＝ . 　 8. 解：画树状图为： （1） 　 解析：由树状图可知共有9种等可能的结果，其中“两人都左拐”的结果数 为1，所以“两人都左拐”的概率是 ；恰好有一人直行，另一人左拐的结果 数为2，所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率是 .故答案为 ， . （2）由树状图可知“至少有一人直行”的结果数为5，所以“至少有一人直 行”的概率为 . 　 9. 10. 11. 解：同时掷两个质地均匀的骰子共有36种情况. 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 　 （1）满足至少有一个骰子的点数为1（记为事件A）的结果有11种，所以P （A）＝ . （2）将两个骰子的点数和为奇数记为事件B， 则满足该事件的结果有18种，所以P（B）＝ ＝ . （3）将两个骰子的点数和大于9记为事件C，则满足该事件的结果共有6种， 所以P（C）＝ ＝ . （4）将第二个骰子的点数整除第一个骰子的点数记为事件D，则满足该事 件的结果共有14种，所以P（D）＝ ＝ . 　 12. 解：选择7，理由如下.列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能的情况，其中点数之和为7的情况有6种，是最 多的，∴P（点数之和为7）＝ ＝ ， ∴游戏者事先选择数字7获胜的可能性最大. 　 $第六章　概率的进一步认识 1　用树状图或表格求概率 第2课时　用树状图或表格求概率（不放回型） 　 1 A. 基础夯实 1. 某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴 获得前两名的概率是（　D　）. A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. 盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从 中随机摸出两枚棋子，那么摸出两枚棋子的颜色不同的概率是（　A　）. A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. 从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率 为 ⁠. 4. 某校有3名女生和1名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的 方式决定出场顺序.前两个出场都是女生的概率为 ⁠. ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. （根据教材第166页材料改编）小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布” 游戏.游戏规则如下：由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两 人的手势相同，那么小亮获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪 刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者.此游戏中， 获胜概率最大的是（　D　）. A. 小聪 B. 小明 C. 小亮 D. 一样大 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. （教材第171页习题6.1第7题）有两组卡片，第一组卡片上写有A，B， B，第二组卡片上写有A，B，B，C，C. 分别利用画树状图和列表的方 法，若从每组卡片中各抽出一张，都抽到B的概率是 ⁠. 7. （教材第177页复习题第4题）两人做游戏：每人都在纸上随机写一个－2 到2之间的整数（包括－2和2）.将两人所写整数相加，那么和的绝对值是1 的概率是 ⁠. ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. （2025秋·宝安区期末）某学校开展“阅兵精神进校园”主题活动，设置 了军事武器卡片有奖抽取环节.甲类为“蓝天卫士”卡片，有“歼－20” “歼－35A”2张，这2张卡片分别用字母A，B表示；乙类为“国之重 器”卡片，有“巨浪－3”1张，这张卡片用字母C表示. （1）小颖在这三张卡片中随机抽取一张，恰好是甲类的概率是 ⁠； ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）小颖从这三张卡片里随机抽取两张卡片，若恰好抽到两类卡片各一 张，便可领取一枚纪念徽章.请用列表或画树状图的方法，求小颖领到纪念 徽章的概率. 解：列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 由表知，共有6种等可能的结果，其中小颖领到纪念徽章的结果有4种，所以 小颖领到纪念徽章的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. 从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元 二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为 ⁠. 解析：画树状图为： 共有6种等可能的结果，∵b2－4a≥0，即能使该一元 二次方程有实数根的结果有3种， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概 率为 ＝ ，故答案为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. 水是生命之源.水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H 和1个氧原子O组成.现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O 图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，求这三张卡片对应的元素符 号恰能组成水分子化学式的概率. 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有24种等可 能的结果，其中这三张卡片 对应的元素符号恰能组成水 分子化学式的可能性有12 种， ∴这三张卡片对应的元素符 号恰能组成水分子化学式的 概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支 队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的 道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明 的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标 数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标 的数字作为该队的道次. （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小 球的概率为 ⁠； ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇 匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法，求 甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率. 解：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有（1， 2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种， ∴甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. （根据教材第175页习题6.2第3题改编）三位同学在参加军训射击比赛 中，均取得好成绩.由于只有一份奖品，他们决定采取抽签的方式来决定谁 获得这份奖品，即准备3张相同的纸条，在其中1张纸条上画上记号，并把它 们折叠好放在一个盒子中搅匀，然后让三位同学先后去抽签. 抽签有先有后，先抽的人与后抽的人中签的概率一样大吗？请用画树状图法 列出所有中签的可能结果，并分析这几位同学的看法是否有道理.（提示： 假设这三位同学抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三，3张纸条 中，画有记号的纸条记作A，其余2张纸条分别记作B和C） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 解：假设这三位同学抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三，3张纸 条中，画有记号的纸条记作A，其余2张纸条分别记作B和C. 根据题意画出树状图： 则所有可能出现的结果有ABC，ACB， BAC，BCA，CAB，CBA，共6种. 甲中签的结果有2种，P（甲中签）＝ ； 乙中签的结果有2种，P（乙中签）＝ ； 丙中签的结果有2种，P（丙中签）＝ . 因此先抽的人与后抽的人中签的概率相同. 所以第一个同学和第三个同学的看法是错误的， 第二个同学的看法是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1. D 2.A 3. 4. 5. D 6. 7. 8. 解：（1） （2）列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 由表知，共有6种等可能的结果，其中小颖领到纪念徽章的结果有4种，所以 小颖领到纪念徽章的概率为 ＝ . 　 9. 解析：画树状图为： 共有6种等可能的结果，∵b2－4a≥0，即能使该一元 二次方程有实数根的结果有3种， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概 率为 ＝ ，故答案为 . 　 10. 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有24种等可能的结果，其中这三张卡片对应的元素符号恰能 组成水分子化学式的可能性有12种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为 ＝ . 　 （2）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有（1， 2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种， 11. 解：（1） ∴甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率为 ＝ . 　 12. 解：假设这三位同学抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三，3张 纸条中，画有记号的纸条记作A，其余2张纸条分别记作B和C. 根据题意画出树状图： 则所有可能出现的结果有ABC，ACB， BAC，BCA，CAB，CBA，共6种. 甲中签的结果有2种，P（甲中签）＝ ； 乙中签的结果有2种，P（乙中签）＝ ； 丙中签的结果有2种，P（丙中签）＝ . 因此先抽的人与后抽的人中签的概率相同. 所以第一个同学和第三个同学的看法是错误的， 第二个同学的看法是正确的. 　 $