第1章　特殊平行四边形 习题课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“特殊平行四边形”核心内容，涵盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过梳理平行四边形与特殊平行四边形的关系框架，搭建从概念认知到性质应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层设计练习，基础题巩固性质（如矩形面积计算），提升题结合几何直观（如菱形高的求解），拓展题通过旋转构造全等（如正方形中CF长度计算），培养推理能力与创新意识。学生能提升逻辑思维与解题能力，教师可借助分层题目实现差异化教学，优化教学效果。

第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 　 1 A. 基础夯实 1. （2025秋·龙岗区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，若AO＝3，则BD的长为 ⁠. 第1题图 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 2. （2025秋·宝安区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则∠CDE的度数为 ⁠. 第2题图 25° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 3. （2025·深圳校级模拟）若矩形的周长为20 cm，两邻边的比为3∶2，则它 的对角线长为 cm. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 4. （2025秋·龙岗区校级月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于 点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长 是 ⁠. 第4题图 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 5. （2025秋·深圳校级期中）如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的 中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M，C两点间的距离为 （　B　）. A. 2千米 B. 1千米 C. 0.5千米 D. 千米 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 6. （2025·福田区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是 （　D　）. A. AB＝BE B. OB＝ CE C. △ACE是等腰三角形 D. BC＝ AE 第6题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 7. （2024秋·龙华区校级期中）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的 是（　A　）. A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 邻边相等 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 8. （2025秋·龙岗区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOC＝ 120°，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OB＝OC. ∵∠BOC＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC＝2， 由勾股定理可知BC＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 B. 能力提升 9. （2025秋·龙华区校级期中）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的 墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑 行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（　B　）. A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 10. （2025秋·龙岗区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝ 8 cm，E，F分别是AD，BC上两点，并且EF垂直平分AC，垂足为O. （1）连接AF，CE. 求证：四边形AFCE为菱形； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACF. ∵EF垂直平分AC， ∴EF⊥AC，AO＝OC. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）求AF的长. 解：设AF＝FC＝x cm，则BF＝（8－x）cm. 在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2， 即42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5， ∴AF的长为5 cm. 10. （2025秋·龙岗区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝ 8 cm，E，F分别是AD，BC上两点，并且EF垂直平分AC，垂足为O. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 11. （2024秋·福田区校级期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边 上，点F在DC的延长线上，AE∥BF. 下列条件：①点E是CD的中点；②BE平分∠ABF；③点A与点F关于直 线BE对称.请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出完整 的证明过程. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∵AE∥BF，AB∥CD， ∴四边形ABFE是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 选择条件②：∵BE平分∠ABF， ∴∠EBF＝∠ABE. ∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠ABE， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF. ∴平行四边形ABFE是菱形. 选择条件③： ∵点A与点F关于直线BE对称， ∴AB＝BF. ∴平行四边形ABFE是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 C. 拓展思维 12. （2025秋·福田区校级月考）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点 D重合，点A落在点P处，折痕为EF. （1）求证：△PDE≌△CDF； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°， ∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD. ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF. 在△PDE和△CDF中， ∴△PDE≌△CDF（ASA）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 （2）若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长. 解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4 cm， 在Rt△EGF中，由勾股定理得FG＝ ＝3（cm）. 设CF＝x cm，由（1）知PE＝AE＝BG＝x cm， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得∠BFE＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝BF＝（x＋3）cm. 在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CD2＋CF2， ∴x2＋42＝（x＋3）2， ∴x＝ ， ∴BC＝2x＋3＝ ＋3＝ （cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　 参考答案 1.6　2.25°　3.2 　4.10　5.B　6.D　7.A 8. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OB＝OC. ∵∠BOC＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝ AC＝2， 由勾股定理可知BC＝2 . 9. B 　 10. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACF. ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，AO＝OC. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形. 　 （2）解：设AF＝FC＝x cm，则BF＝（8－x）cm. 在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2， 即42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5， ∴AF的长为5 cm. 　 11. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∵AE∥BF，AB∥CD， ∴四边形ABFE是平行四边形. 选择条件②：∵BE平分∠ABF， ∴∠EBF＝∠ABE. ∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠ABE， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF. ∴平行四边形ABFE是菱形. 选择条件③： ∵点A与点F关于直线BE对称， ∴AB＝BF. ∴平行四边形ABFE是菱形. 　 12. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°， ∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD. ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF. 在△PDE和△CDF中， ∴△PDE≌△CDF（ASA）. 　 （2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4 cm， 在Rt△EGF中，由勾股定理得FG＝ ＝3（cm）. 设CF＝x cm，由（1）知PE＝AE＝BG＝x cm， ∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝BF＝（x＋3）cm. 在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2＝CD2＋CF2， ∴x2＋42＝（x＋3）2，∴x＝ ， ∴BC＝2x＋3＝ ＋3＝ （cm）. 　 $第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第1课时　菱形的性质 1 A. 基础夯实 1. （2025秋·龙岗区校级月考）如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O， E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是（　D　）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE ＝ ⁠. 第2题图 70° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. （2025秋·深圳月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的边长为（　A　）. A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 第3题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. （2025秋·龙华区月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点 O，AB＝BD＝4，则菱形ABCD的面积是（　D　）. A. 8 B. 16 C. 4 D. 8 第4题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证：BE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，∠A＝∠C. ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B. 能力提升 6. （2025·深圳模拟）如图，某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱 形有25个，每个菱形的边长为30 cm.校门关闭时，每个菱形的钝角度数为 120°.校门部分打开时，每个菱形原120°的角缩小为60°，则校门打开了 （　C　）. A. （30 －30）cm B. （30 ＋30）cm C. （750 －750）cm D. （750 ＋750）cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：校门关闭时，如图1，连接AC，BD，设AC与BD的交点为O， 校门打开时，如图2，连接B＇D＇， ∵校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°， ∴BD＝ AB＝30 cm， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为750 cm. ∵校门部分打开时，每个菱形原120°的角缩小为60°， ∴B＇D＇＝A＇B＇＝30 cm， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为750 cm， ∴校门打开了（750 －750）cm.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2025秋·福田区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一 点，连接DE，CE，DE＝AD，若∠A＝72°，则∠DEC的度数为 （　A　）. A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，CD∥AB. ∵DE＝AD，∠A＝72°， ∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝72°. ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝72°. ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝ ×（180°－72°）＝54°，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2025秋·龙岗区校级月考）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B 在射线AE上. （1）请用尺规把这个菱形补充完整；（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若AC＝6 ，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积. 解：设BD，AC交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3 . ∵∠CAB＝30°， ∴BO＝ AO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∴菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×6 ×6＝18 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C. 拓展思维 9. （2025秋·深圳月考）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边DC，AB上 的两个动点，若线段PQ长的最大值为4 ，最小值为4，则菱形ABCD的边 长为 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由条件可知AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， 如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E， 当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值， 最大值为AC＝4 ， 当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4， ∴AE＝ ＝ ＝4 . 设AB＝BC＝x，则BE＝AE－AB＝4 －x， 在Rt△BCE中，x2＝ ＋42， 解得x＝3 ， ∴AB＝3 ， 即菱形ABCD的边长为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 参考答案 1. D　2.70°　3.A　4.D 5. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠A＝∠C. ∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF. 解析：校门关闭时，如图1，连接AC，BD，设AC与BD的交点为O， 校门打开时，如图2，连接B＇D＇， ∵校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°， ∴BD＝ AB＝30 cm， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为750 cm. ∵校门部分打开时，每个菱形原120°的角缩小为60°， ∴B＇D＇＝A＇B＇＝30 cm， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为750 cm， ∴校门打开了（750 －750）cm.故选C. 6. C 7. A 解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，CD∥AB. ∵DE＝AD，∠A＝72°， ∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝72°. ∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°. ∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝ ×（180°－72°）＝54°，故选A. 8. 解：（1）如图所示. （2）设BD，AC交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3 . ∵∠CAB＝30°， ∴BO＝ AO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∴菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×6 ×6＝18 . 9.3 解析：由条件可知AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， 如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E， 当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值，最大值为AC＝ 4 ， 当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4， ∴AE＝ ＝ ＝4 . 设AB＝BC＝x，则BE＝AE－AB＝4 －x， 在Rt△BCE中，x2＝ ＋42， 解得x＝3 ，∴AB＝3 ， 即菱形ABCD的边长为3 . $第一章　特殊平行四边形 ☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 　 1 A. 基础夯实 1. 如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，连接AO，BO，则∠AOB的 度数为 ⁠. 第1题图 45° 1 2 3 4 5 6 7 　 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，内接五边形DEFGH是正五边形，则 ∠ABC的度数是 ⁠. 第2题图 72° 1 2 3 4 5 6 7 　 3. 如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形， 则菱形的内角度数为 ⁠. 第3题图 45°，135°，45°，135° 1 2 3 4 5 6 7 　 4. 定义：如果一个等腰直角三角形的一个顶点为矩形的顶点，另两个顶点分 别在矩形的边上，且任何两个顶点都不在矩形的同一边上，我们称这样的等 腰直角三角形为矩形的“内接优三角形”.如图，矩形ABCD中，点E，F分 别在边CD，BC上，∠AEF＝90°，AE＝EF，△AEF为矩形ABCD的 “内接优三角形”.已知△AEF为矩形ABCD的“内接优三角形”. （1）若AD＝4，AB＝7，求AF的长； 1 2 3 4 5 6 7 　 解：∵△AEF为矩形ABCD的“内接优三角形”， ∴∠C＝∠D＝∠AEF＝90°，AE＝EF， ∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°， ∴∠CEF＝∠DAE. 在△ADE与△ECF中， ∴△ADE≌△ECF， ∴AD＝CE＝4. ∵AB＝CD＝7， ∴DE＝CF＝3， ∴BF＝1， ∴AF＝ ＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）设AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），问是否存在斜边长为 b的“内 接优三角形”？若存在，请求出 的值； 若不存在，请说明理由. 解：假设存在.由（1）得6b2＝a2＋（2b－a）2， 可设 ＝k，则a＝bk，代入上式化简得k2－2k－1＝0， 解得k＝1± ， ∵a＞b＞0， ∴k＝1＋ . ∵a－b＜b， ∴a＜2b. ∴ ＜2， ∴不存在. 1 2 3 4 5 6 7 　 B. 能力提升 5. 如图，AD是半径为4的正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则AD2 ＝ ⁠. 32＋16 1 2 3 4 5 6 7 　 解析：如图，AD是半径为4的正八边形ABCDEFGH的一条对角线，设正八边形ABCDEFGH的中心为O，连接OE，OD，OA，OB，OC， ∴∠DOE＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ＝45°， ∴∠AOE＝45°＋45°＋45°＋45°＝180°， ∴A，O，E三点在同一直线上， ∴AE为直径，且AE＝OA＋OE＝4＋4＝8， ∴∠ADE＝90°.过D作DH⊥OE于点H， ∵∠DOE＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 　 ∴OH＝DH＝ OD＝2 ，∴HE＝4－2 . 在直角三角形DEH中，由勾股定理得DE2＝DH2＋EH2＝ ＋ ＝8＋16－16 ＋8＝32－ 16 ， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得AD2＝AE2－DE2 ＝82－（32－16 ）＝64－32＋16 ＝32＋16 ， 故答案为32＋16 . 1 2 3 4 5 6 7 　 6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，若M，N，P，Q四点分别 在AD，AB，BC，CD边上（含端点），且MN＝PN＝PQ＝MQ，则称 菱形MNPQ为矩形ABCD的内接菱形，若内接菱形MNPQ的面积为S，求S 的取值范围. 解：如图1所示，当点M，N，P，Q为 矩形ABCD各边中点时，连接AC，BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， 1 2 3 4 5 6 7 　 根据中位线的性质可得，MQ∥AC，MQ＝ AC， NP∥AC，NP＝ AC，MN∥BD，MN＝ BD， PQ∥BD，PQ＝ BD， ∴四边形MNPQ是菱形，即MN＝NP＝PQ＝QM. ∵点M，N，P，Q是中点， ∴连接MP，NQ可得，四边形ANQD，ABPM均为矩形， ∴MP＝AB＝4，NQ＝AD＝8， ∴菱形MNPQ的面积S＝ MP·NQ＝ ×4×8＝16. 1 2 3 4 5 6 7 　 如图2所示，当点N与点A或点B重合时，过点 M作MF⊥BC于点F，则MF＝AB＝4， ∵四边形MNPQ为菱形， ∴MN＝NP＝PQ＝QM. 设MN＝MQ＝x，则AM＝8－x， 在Rt△AMN中，AN2＋AM2＝MN2， 即42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5， ∴MN＝NP＝PQ＝QM＝5， ∴菱形MNPQ的面积S＝NP·MF＝5×4＝20. ∴S的取值范围为16≤S≤20. 1 2 3 4 5 6 7 　 C. 拓展思维 7. 如图1，在四边形的四条边上分别取E，F，G，H四点，顺次连接EF，FG，GH，HE所得四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形. （1）如图2，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在线段AB上且EB＝3，四边 形EFGH是矩形ABCD的内接平行四边形，求GC的长度； 1 2 3 4 5 6 7 　 解：如图1，连接HF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝9， ∴∠DHF＝∠HFB. ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴GH＝EF，GH∥EF， ∴∠GHF＝∠HFE， ∴∠DHF－∠GHF＝∠BFH－∠HFE， 即∠DHG＝∠BFE， ∴△DHG≌△BFE（AAS）， ∴DG＝BE＝3， ∴CG＝CD－DG＝9－3＝6. 1 2 3 4 5 6 7 　 （2）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在线段AB上，请你在图中画出 平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；（尺规作图，保留 痕迹） 解：如图2，由（1）知△DHG≌△BFE， ∴DG＝BE. 作法：作DG＝BE，连接EG， 再作EG的垂直平分线，交AD，BC于H，F， 连接EF，FG，GH，HE， 则四边形EFGH即为所求作的内接菱形EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 　 （3）在上一问的图形中，若已知AE＝4，∠B＝45°，EB＝ ，请求出 当BF最短时BC的长. 解：如图3，当F与C重合，则H与A重合， 此时BF的长最小，过E作EP⊥BC于点P， 在Rt△BEP中，∵∠B＝45°，BE＝ ， ∴BP＝EP＝1. ∵四边形EFGH是菱形， ∴AE＝EC＝4， ∴PF＝ ＝ ， ∴BF＝BC＝BP＋PF＝1＋ ， 即当BF最短时，BC的长为1＋ . 图3 1 2 3 4 5 6 7 　 参考答案 1.45° 2.72° 3.45°，135°，45°，135° 　 4. 解：（1）∵△AEF为矩形ABCD的“内接优三角形”， ∴∠C＝∠D＝∠AEF＝90°，AE＝EF， ∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°， ∴∠CEF＝∠DAE. 在△ADE与△ECF中， ∴△ADE≌△ECF，∴AD＝CE＝4. ∵AB＝CD＝7，∴DE＝CF＝3， ∴BF＝1，∴AF＝ ＝5 . 　 （2）假设存在.由（1）得6b2＝a2＋（2b－a）2， 可设 ＝k，则a＝bk，代入上式化简得k2－2k－1＝0， 解得k＝1± ，∵a＞b＞0， ∴k＝1＋ . ∵a－b＜b， ∴a＜2b. ∴ ＜2， ∴不存在. 　 解析：如图，AD是半径为4的正八边形ABCDEFGH的一条对角线，设正八 边形ABCDEFGH的中心为O，连接OE，OD，OA，OB，OC， ∴∠DOE＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ＝45°， ∴∠AOE＝45°＋45°＋45°＋45°＝180°， ∴A，O，E三点在同一直线上， ∴AE为直径，且AE＝OA＋OE＝4＋4＝8， ∴∠ADE＝90°.过D作DH⊥OE于点H， ∵∠DOE＝45°， 5.32＋16 　 ∴OH＝DH＝ OD＝2 ， ∴HE＝4－2 . 在直角三角形DEH中，由勾股定理得DE2＝DH2＋EH2 ＝ ＋ ＝8＋16－16 ＋8＝32－16 ， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得AD2＝AE2－DE2 ＝82－（32－16 ）＝64－32＋16 ＝32＋16 ， 故答案为32＋16 . 　 6. 解：如图1所示，当点M，N，P，Q为矩形ABCD各 边中点时，连接AC，BD， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD， 根据中位线的性质可得，MQ∥AC，MQ＝ AC，NP∥AC，NP＝ AC，MN∥BD，MN＝ BD，PQ∥BD，PQ＝ BD， ∴四边形MNPQ是菱形，即MN＝NP＝PQ＝QM. ∵点M，N，P，Q是中点， ∴连接MP，NQ可得，四边形ANQD，ABPM均为矩形， ∴MP＝AB＝4，NQ＝AD＝8， ∴菱形MNPQ的面积S＝ MP·NQ＝ ×4×8＝16. 　 如图2所示，当点N与点A或点B重合时，过点M作MF⊥BC于点F，则 MF＝AB＝4， ∵四边形MNPQ为菱形，∴MN＝NP＝PQ＝QM. 设MN＝MQ＝x，则AM＝8－x， 在Rt△AMN中，AN2＋AM2＝MN2， 即42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5， ∴MN＝NP＝PQ＝QM＝5， ∴菱形MNPQ的面积 S＝NP·MF＝5×4＝20. ∴S的取值范围为16≤S≤20. 　 7. 解：（1）如图1，连接HF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝9， ∴∠DHF＝∠HFB. ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴GH＝EF，GH∥EF， ∴∠GHF＝∠HFE， ∴∠DHF－∠GHF＝∠BFH－∠HFE， 即∠DHG＝∠BFE， ∴△DHG≌△BFE（AAS）， ∴DG＝BE＝3， ∴CG＝CD－DG＝9－3＝6. 　 （2）如图2，由（1）知△DHG≌△BFE， ∴DG＝BE. 作法：作DG＝BE，连接EG，再作EG的垂直平分线，交AD，BC于H， F，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH即为所求作的内接菱形 EFGH. 　 （3）如图3，当F与C重合，则H与A重合，此时BF的长最小，过E作 EP⊥BC于点P， 在Rt△BEP中，∵∠B＝45°，BE＝ ， ∴BP＝EP＝1. ∵四边形EFGH是菱形， ∴AE＝EC＝4， ∴PF＝ ＝ ， ∴BF＝BC＝BP＋PF＝1＋ ， 即当BF最短时，BC的长为1＋ . 图3 　 $第一章　特殊平行四边形 1　认识特殊的平行四边形 　 1 A. 基础夯实 1. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则 矩形ABCD的面积为 ⁠. 第1题图 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 2. （2025秋·深圳校级期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，H为CD边的中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 ⁠. 第2题图 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 3. （根据教材第4页习题1.1第3题改编）如图，四边形ABCD是正方形，点 E在AB上，若EC＝3，EB＝1，则BD的长为 ⁠. 第3题图 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 4. （2025秋·深圳校级月考）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如 图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是 （　D　）. A. （1）处可填∠A＝90° B. （2）处可填AD＝AB C. （3）处可填DC＝CB D. （4）处可填∠B＝∠D 第4题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，E，F为BD上的两点，且BE＝ DF. 求证：AE＝AF. 证明：∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴∠ABD＝∠ADB. 又BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 6. 如图，点E在边长为13的正方形ABCD内，AE＝5，BE＝12，求出图中 阴影部分的面积. 解：∵AE＝5，BE＝12，AB＝13， ∴AE2＋BE2＝52＋122＝169＝132＝AB2， ∴∠AEB＝90°， ∴S阴影＝S正方形ABCD－S△ABE＝AB2－ AE·BE＝139. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 7. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE ＝DF. 求证：▱ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∵BE＝DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 B. 能力提升 8. （2025·罗湖区模拟）若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该 菱形的高为 cm. 解析：如图，过点C作CE⊥AD于点E， ∵周长为20 cm，∴CD＝5 cm. ∵BC∥AD，∠BCD＝45°， ∴∠CDE＝45°， ∴高CE＝ CD＝ cm，故答案为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 9. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD 上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H. 若AB＝4，AE＝1，则BH 的长为 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 10. （2025秋·光明区校级月考）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC 的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. （1）求证：四边形DFCG是矩形； 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC. ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°. ∴四边形DFCG是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求AC的长. 解：∵∠B＝45°，DF⊥BC， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3. ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8. 由（1）可知，四边形DFCG是矩形，DE是△ABC的中位线， ∴CG＝DF＝3，∠G＝90°，DE＝ BC＝4， ∴EG＝DG－DE＝5－4＝1， ∴CE＝ ＝ ＝ . 10. （2025秋·光明区校级月考）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC 的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 C. 拓展思维 11. （2025秋·深圳期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在 AB，AD上，若CE＝2 ，且∠ECF＝45°，求CF的长. 解：如图，把△FCD绕点C逆时针旋转90° 得△F＇CB，此时E，B，F＇三点共线，连接EF， 则△CBF＇≌△CDF， ∴CF＝CF＇. ∵∠FCF＇＝90°，∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECF＇＝45°. ∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEF＇（SAS）， ∴EF＝EF＇. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 在Rt△EBC中，BE＝ ＝ ＝ ＝2， ∴AE＝AB－BE＝2. 设DF＝x，则AF＝4－x. ∵DF＝BF＇， ∴EF＝EF＇＝BE＋BF＇＝2＋x. 在Rt△AEF中，EF2＝AE2＋AF2， ∴（2＋x）2＝22＋（4－x）2，解得x＝ . 在Rt△CDF中，DF＝ ，CD＝4， ∴CF2＝42＋（ ）2，解得CF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 参考答案 1.8　2.2　3.4　4.D 5. 证明：∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形， ∴∠ABD＝∠ADB. 又BE＝DF，∴△ABE≌△ADF， ∴AE＝AF. 　 6. 解：∵AE＝5，BE＝12，AB＝13， ∴AE2＋BE2＝52＋122＝169＝132＝AB2， ∴∠AEB＝90°， ∴S阴影＝S正方形ABCD－S△ABE＝AB2－ AE·BE＝139. 7. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD， ∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形. 　 8. 解析：如图，过点C作CE⊥AD于点E， ∵周长为20 cm，∴CD＝5 cm. ∵BC∥AD，∠BCD＝45°， ∴∠CDE＝45°， ∴高CE＝ CD＝ cm，故答案为 . 　 9.3 10. （1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC. ∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°. ∴四边形DFCG是矩形. 　 （2）解：∵∠B＝45°，DF⊥BC， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3. ∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8. 由（1）可知，四边形DFCG是矩形，DE是△ABC的中位线， ∴CG＝DF＝3，∠G＝90°，DE＝ BC＝4， ∴EG＝DG－DE＝5－4＝1， ∴CE＝ ＝ ＝ . ∵E为AC的中点，∴AC＝2CE＝2 . 　 11. 解：如图，把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F'CB， 此时E，B，F'三点共线，连接EF， 则△CBF'≌△CDF，∴CF＝CF'. ∵∠FCF'＝90°，∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECF'＝45°. ∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEF'（SAS）， ∴EF＝EF'. 　 在Rt△EBC中，BE＝ ＝ ＝ ＝2， ∴AE＝AB－BE＝2.设DF＝x，则AF＝4－x. ∵DF＝BF'，∴EF＝EF'＝BE＋BF'＝2＋x. 在Rt△AEF中，EF2＝AE2＋AF2， ∴（2＋x）2＝22＋（4－x）2，解得x＝ . 在Rt△CDF中，DF＝ ，CD＝4， ∴CF2＝42＋（ ）2，解得CF＝ . 　 $第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 　 1 A. 基础夯实 1. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 （　D　）. A. AB∥CD B. AB＝BC C. ∠B＝∠D D. AC＝BD 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 2. （2025秋·南山区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，下列条件能够使得▱ABCD是矩形的是（　B　）. A. AB＝AD B. ∠ABC＝∠BCD C. ∠ABD＝∠CBD D. AO⊥BO 第2题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 3. 如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝ BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是 （　A　）. A. AB＝BC B. ∠ABC＝90° C. ∠ABD＝∠ACD D. OB＝OC 第3题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判 定四边形ABCD是矩形的是（　D　）. A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 第4题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 5. （2025秋·宝安区校级期中）四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据 图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（　D　）. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 6. 木匠师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常 常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是 （　B　）. A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 7. （2024秋·光明区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线交于点O， BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F. （1）求证：四边形AOBE是矩形； 证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AOBE是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积. 解：∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝ ＝ ＝6. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96. 7. （2024秋·光明区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线交于点O， BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 B. 能力提升 8. 如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以小于AB的长 为半径作弧分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以 大于 MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E. 若BE＝1，则 矩形ABCD的面积等于 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：由题可知AP是∠BAC的平分线， ∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°. 又∵∠B＝90°，∴AE＝2BE＝2，∴AB＝ ， 易知∠AEB＝60°. 又∵∠AEB＝∠EAC＋∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝EC＝2， ∴BC＝3， ∴ ＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 9. （教材第29页第18题）已知：如图，▱ABCD各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC， ∴∠HAB＝ ∠DAB，∠HBA＝ ∠ABC， ∴∠HAB＋∠HBA＝ （∠DAB＋∠ABC）＝ ×180°＝90°， ∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 10. （2024秋·宝安区校级月考）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD 于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵AF＝CE， ∴FB＝ED， ∴四边形DFBE是平行四边形. ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形DFBE是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）若BD＝2 ，BE＝4，求BC的长. 解：在Rt△BDE中， DE＝ ＝ ＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， ∴CE＝CD－DE＝BC－2， 在Rt△BCE中，BC2＝CE2＋BE2， ∴BC2＝（BC－2）2＋42，解得BC＝5. 10. （2024秋·宝安区校级月考）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD 于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 C. 拓展思维 11. （根据教材第16页第11题改编）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝ 6 cm，BC＝8 cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合. （1）利用直尺和圆规在图中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； 解：如图，线段EF即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）求折痕的长. 解：∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AC＝ ＝ ＝10（cm）. ∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF，OC＝ AC＝ ×10＝5（cm）. ∵tan∠ACB＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解得OF＝ cm. ∵AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF＝ cm， ∴折痕EF＝ ＋ ＝ （cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 参考答案 1.D　2.B　3.A　4.D　5.D　6.B 7. （1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∴平行四边形AOBE是矩形. （2）解：∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝ ＝ ＝6. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96. 　 8.3 解析：由题可知AP是∠BAC的平分线， ∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°. 又∵∠B＝90°，∴AE＝2BE＝2，∴AB＝ ， 易知∠AEB＝60°. 又∵∠AEB＝∠EAC＋∠ECA， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴AE＝EC＝2，∴BC＝3，∴ ＝3 . 　 9. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC， ∴∠HAB＝ ∠DAB，∠HBA＝ ∠ABC， ∴∠HAB＋∠HBA＝ （∠DAB＋∠ABC）＝ ×180°＝90°， ∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形. 　 10. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∵AF＝CE，∴FB＝ED，∴四边形DFBE是平行四边形. ∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∴四边形DFBE是矩形. （2）解：在Rt△BDE中，DE＝ ＝ ＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD， ∴CE＝CD－DE＝BC－2， 在Rt△BCE中，BC2＝CE2＋BE2， ∴BC2＝（BC－2）2＋42，解得BC＝5. 　 11. 解：（1）如图，线段EF即为所求. （2）∵AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AC＝ ＝ ＝10（cm）. ∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF，OC＝ AC＝ ×10＝5（cm）. ∵tan∠ACB＝ ＝ ，∴ ＝ ， 　 解得OF＝ cm. ∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF＝ cm，∴折痕EF＝ ＋ ＝ （cm）. 　 $第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 　 1 A. 基础夯实 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加一个条 件 ，使菱形ABCD是正方形. 第1题图 AC＝BD（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 2. 如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加一个条件 ⁠ ，使矩形ABCD成为正方形.（填一个即可） 第2题图 AB＝BC（答案不 唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 3. 下列说法中错误的是（　B　）. A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 4. 如图，在▱ABCD中，AC＝BD，再添加一个条件，仍不能判定四边形 ABCD是正方形的是（　C　）. A. AB＝BC B. AC⊥BD C. AB＝AC D. ∠ABD＝∠CBD 第4题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 5. 数学活动课上，小彤用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具 （如图）.小彤想要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以 是（　A　）. A. ∠ABC＝90° B. AB＝BC C. AB∥CD D. ∠B＝∠D 第5题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 6. 如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形 ABCD是正方形的是（　A　）. A. AC＝BD，AC⊥BD B. AC＝BD，∠ABC＝90° C. BD平分∠ABC，AB＝BC D. AB＝BC，AC⊥BD 第6题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 7. 如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°.求证： 四边形ABCD是正方形. 证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝AD，BC＝CD， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 B. 能力提升 8. 若四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四 边形四边中点得到的四边形是（　D　）. A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：① AC⊥BD；②AB＝BC；③∠ACB＝45°；④OA＝OB. 其中能使矩形 ABCD是正方形的是（　B　）. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是 AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E. （1）求证：四边形ADCE是矩形； 证明：∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC. ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC. 在△OAE和△OCD中， ∴△OAE≌△OCD（AAS）， ∴AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）若∠AOE＝60°，AC＝4，求AE的长； 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是 AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E. 解：∵四边形ADCE是矩形， ∴AO＝OE＝ AC＝2. ∵∠AOE＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝OA＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （3）当△ABC满足条件 时，四边形ADCE是正方形. ∠BAC＝90° 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是 AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E. 解析：当∠BAC＝90°时， ∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝DC. 由（1）知四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形. 故答案为∠BAC＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 C. 拓展思维 11. （2025秋·南山区校级期中）已知四边形ABCD，∠ABC＝90°， ∠ACB＋∠BCD＝90°，AC＝CD，若AB＝1，BD＝5，则AD ＝ ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：如图，作CE⊥BC，DE⊥CE，交点为E，则 ∠E＝∠BCE＝90°. ∵∠BCA＋∠BCD＝90°，∠DCE＋∠BCD＝∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCA. 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴BC＝CE，DE＝AB＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 延长ED交BA的延长线于点F，则四边形BCEF是正方 形， ∴BF＝EF. 设BF＝EF＝a，则DF＝a－1， 在Rt△BDF中，a2＋（a－1）2＝52， 解得a＝4（负值已舍去）， ∴AF＝DF＝4－1＝3， ∴AD＝ ＝3 .故答案为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 参考答案 1. AC＝BD（答案不唯一） 2. AB＝BC（答案不唯一） 3. B 4. C 5. A 6. A 　 ∴AB＝AD，BC＝CD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形.∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形. 7. 证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°， 8. D 9. B 　 10. （1）证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC. ∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC. 在△OAE和△OCD中， ∴△OAE≌△OCD（AAS），∴AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形. 　 （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO＝OE＝ AC＝2. ∵∠AOE＝60°，∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝OA＝2. （3）∠BAC＝90° 解析：当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝DC. 由（1）知四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形. 故答案为∠BAC＝90°. 　 11.3 解析：如图，作CE⊥BC，DE⊥CE，交点为E，则∠E＝∠BCE＝90°. ∵∠BCA＋∠BCD＝90°，∠DCE＋∠BCD＝∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCA. 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（AAS），∴BC＝CE，DE＝AB＝1. 延长ED交BA的延长线于点F，则四边形BCEF是正方形， ∴BF＝EF. 设BF＝EF＝a，则DF＝a－1， 在Rt△BDF中，a2＋（a－1）2＝52，解得a＝4（负值已舍去）， ∴AF＝DF＝4－1＝3，∴AD＝ ＝3 .故答案为3 . 　 $第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 　 1 A. 基础夯实 1. （2025秋·宝安区校级月考）如图，添加下列条件不能判定平行四边形 ABCD是菱形的是（　C　）. A. AD＝AB B. AC平分∠BAD C. OA＝OC，OB＝OD D. AC⊥BD 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 2. （2025秋·龙岗区校级月考）依据所标识的数据，下列平行四边形一定为 菱形的是（　C　）. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为 ⁠. 第3题图 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. （2024春·福田区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形 ABCD是菱形的是（　B　）. A. AC＝BD B. ∠ADB＝∠CDB C. ∠ABC＝∠DCB D. AD＝BC 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. （教材第10页第7题）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证： 四边形EFGH是菱形. 证明：∵E，F分别为OA，OB的中点， ∴EF为△OAB的中位线， ∴EF＝ AB，同理可得FG＝ BC， GH＝ CD，HE＝ AD. 又∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE， DF. 若∠1＝∠2， 求证：（1）△DAE≌△DCF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C. 在△DAE和△DCF中， ∴△DAE≌△DCF（AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）▱ABCD为菱形. 证明：由（1）知△DAE≌△DCF， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形. 6. 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE， DF. 若∠1＝∠2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 7. （根据教材第8页随堂练习第2题改编）（2025秋·南山区校级期中）将宽 度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两张纸条重叠部分组成的四边形 ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为 ⁠. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 8. （根据教材第10页第10题改编）如图，在四边形纸片ABCD中， AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的 点C＇处，折痕DE交BC于点E，连接C＇E，则四边形CDC＇E是什么形 状？证明你的结论. 解：四边形CDC＇E是菱形. 证明：根据折叠的性质，可得CD＝C＇D， ∠C＇DE＝∠CDE，CE＝C＇E， ∵AD∥BC， ∴∠C＇DE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE， ∴CD＝C＇D＝C＇E＝CE， ∴四边形CDC＇E为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 9. （根据教材第9页第6题改编）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平 分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F. （1）求证：四边形AFCE是菱形； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形. ∵EF垂直平分AC， ∴平行四边形AFCE是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，求DE的长. 解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2， ∴∠ACB＝90°－∠B＝30°， ∴BC＝2AB＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4. 由（1）可知，四边形AFCE是菱形， ∴AE＝AF＝CF， ∴∠FAC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAF＝∠BAC－∠FAC ＝90°－30°＝60°， ∴∠B＝∠BAF＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AF＝AB＝2， ∴AE＝AF＝2， ∴DE＝AD－AE＝4－2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 10. （2025·南山区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D. （不要求写作法， 保留作图痕迹） 解：如图1，AD为所求作的∠BAC的平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，CE. 求证：四边形ABEC是 菱形. 证明：如图2， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. ∵AD＝DE， ∴四边形ABEC是平行四边形. 又∵AB＝AC， ∴四边形ABEC是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1. C　2.C　3.2　4. B 5. 证明：∵E，F分别为OA，OB的中点， ∴EF为△OAB的中位线， ∴EF＝ AB，同理可得FG＝ BC，GH＝ CD，HE＝ AD. 又∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形. 　 6. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C. 在△DAE和△DCF中， ∴△DAE≌△DCF（AAS）. （2）由（1）知△DAE≌△DCF，∴AD＝CD， ∴▱ABCD为菱形. 7.24 　 8. 解：四边形CDC'E是菱形. 证明：根据折叠的性质，可得CD＝C'D，∠C'DE＝∠CDE，CE＝C'E， ∵AD∥BC， ∴∠C'DE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE，∴CD＝C'D＝C'E＝CE， ∴四边形CDC'E为菱形. 　 9. （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO. ∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形. ∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形. 　 （2）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2， ∴∠ACB＝90°－∠B＝30°，∴BC＝2AB＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4. 由（1）可知，四边形AFCE是菱形，∴AE＝AF＝CF， ∴∠FAC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAF＝∠BAC－∠FAC＝90°－30°＝60°， ∴∠B＝∠BAF＝60°，∴△ABF是等边三角形， ∴AF＝AB＝2，∴AE＝AF＝2，∴DE＝AD－AE＝4－2＝2. 　 10. （1）解：如图1，AD为所求作的∠BAC的平分线. （2）证明：如图2，∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AD＝DE，∴四边形ABEC是平行四边形. 又∵AB＝AC，∴四边形ABEC是菱形. 　 $第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 　 1 A. 基础夯实 1. 对角线长为4 cm的正方形，边长为（　B　）. A. 2 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 4 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 2. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是 （　D　）. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 3. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连接 CE，则∠E的度数是（　C　）. A. 25° B. 45° C. 67.5° D. 75° 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 4. （2024秋·龙岗区校级月考）图1的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之 宝之一，方鼎的口呈正方形（如图2），正方形ABCD的对角线AC与BD相 交于点O，则下列说法不正确的是（　B　）. A. AC⊥BD B. AD＝AO C. DO＝CO D. ∠DAO＝∠BAC 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 5. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP ＝ ⁠. 第5题图 22.5° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 6. （2025秋·福田区校级月考）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在 AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P. （1）求证：△ABN≌△DAM； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°. ∵BM＝CN， ∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM. 在△ABN和△DAM中， ∴△ABN≌△DAM（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）求∠APM的大小. 解：由（1）知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP＝∠ADM， ∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°， ∴∠APM＝180°－（∠MAP＋∠AMP）＝90°. 6. （2025秋·福田区校级月考）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在 AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 B. 能力提升 7. 如图，直线l上有三个正方形A，B，C. 若正方形A，C的面积分别为4 和3，则正方形B的面积为（　C　）. A. 6 B. 23 C. 7 D. 120 第7题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 8. 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF. 若S正方形ADEF＝36，则BC的长为 ⁠. 第8题图 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 9. （2024秋·福田区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分 别延长BD，DB至点E，F，使BF＝DE＝ ，连接AE，AF，CE， CF. （1）求证：四边形AECF是菱形； 证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO. ∵BF＝DE， ∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）求四边形AECF的面积. 9. （2024秋·福田区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分 别延长BD，DB至点E，F，使BF＝DE＝ ，连接AE，AF，CE， CF. 解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形， BF＝DE＝ ， ∴AB＝AD＝1， ∴BD＝AC＝ ， ∴EF＝3 ， ∴四边形AECF的面积为 AC·EF＝ × ×3 ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 C. 拓展思维 10. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝ BF，连接AE，AF，CE，CF. （1）求证：△ADE≌△CBF； 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，BC∥AD， ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 （2）若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长. 10. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝ BF，连接AE，AF，CE，CF. 解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5， ∴AF＝CF，AE＝CE. 由（1）可知△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF， ∴AF＝CF＝AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形， ∴OF＝OE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 ∴EF＝2OF. ∵四边形AECF的周长为4AF＝4 ， ∴AF＝ ， 在Rt△AOF中，由勾股定理得 OF＝ ＝ ＝3， ∴EF＝2OF＝6，即EF的长为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　 参考答案 1. B 2.D 3. C 4. B 5. 22.5° 6. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°. ∵BM＝CN，∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM. 在△ABN和△DAM中， ∴△ABN≌△DAM（SAS）. 　 （2）解：由（1）知△ABN≌△DAM， ∴∠MAP＝∠ADM， ∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°， ∴∠APM＝180°－（∠MAP＋∠AMP）＝90°. 7. C 8.12 　 9. （1）证明：如图，连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO. ∵BF＝DE，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形. （2）解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，BF＝DE＝ ， ∴AB＝AD＝1，∴BD＝AC＝ ，∴EF＝3 ， ∴四边形AECF的面积为 AC·EF＝ × ×3 ＝3. 　 10. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，BC∥AD， ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. 　 （2）解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5， ∴AF＝CF，AE＝CE. 由（1）可知△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF， 　 ∴AF＝CF＝AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形， ∴OF＝OE， ∴EF＝2OF. ∵四边形AECF的周长为4AF＝4 ， ∴AF＝ ， 在Rt△AOF中，由勾股定理得 OF＝ ＝ ＝3， ∴EF＝2OF＝6，即EF的长为6. 　 $第一章　特殊平行四边形 章末复习 　 1 A. 基础夯实 1. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5.若∠ABD＝30°， 则AC的长是（　B　）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 第1题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 2. 一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩 形的面积是（　B　）. A. 25 B. 25 C. 25 D. 50 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 3. 如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个▱ABCD，若 ∠1＝70°，则∠2的度数是（　B　）. A. 20° B. 70° C. 80° D. 110° 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 小乐同学欲添加两个 条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；② AC＝BD；③∠ADC＝90°，则正确的组合是 （只需填一种 组合即可）. 第4题图 ①②或①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 5. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AO＝4，BO ＝3，DH⊥AB于点H，则DH的长为 ⁠. 第5题图 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 6. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别 相交于点E，F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和 为 ⁠. 第6题图 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 7. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝ ∠CDF. （1）求证：△ABE≌△DCF. 证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（ASA）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长. 解：由（1）知△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13. ∵AB＝12， ∴BE＝ ＝5. 7. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝ ∠CDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 B. 能力提升 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm.动点P从点A开始沿AB边以1 cm/s 的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2 cm/s的速度向点A运动， 动点Q从点C开始沿CD边以4 cm/s的速度向点D运动.点P，点H和点Q同 时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动时 间为t s，当QP＝QH时，t的值为（　D　）. A. B. 4 C. D. D 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：作QE⊥AB于点E，如图， ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形BCQE是矩形， ∴CQ＝BE，由题意得AP＝t， BH＝2t，CQ＝4t， ∴PH＝20－AP－BH＝20－3t. ∵QP＝QH，QE⊥AB，∴PE＝HE＝ PH＝10－ t. ∵CQ＝BE，∴4t＝10－ t＋2t， 解得t＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F分别是边AD，CD 上的动点，连接BE，EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接 GH，则GH的最大值是 ⁠. 第9题图 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：如图，连接BD，BF， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝ ＝10. ∵点G为BE的中点，点H为EF的中点， ∴BF＝2GH， ∴当BF有最大值时，GH有最大值. ∵点F是CD上的动点， ∴当点F与点D重合时，BF有最大值，为10， ∴GH的最大值为5，故答案为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，点 B、点D关于AC所在直线对称. （1）求证：四边形ABCD是菱形； 证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称， ∴BD⊥AC，BO＝DO. ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO. 在△ABO和△CDO中，​ ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD. 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 （2）过点D作BC的垂线交BC的延长线于点E. 若CE＝3，AD＝5，求线 段OC长. 解：由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝ AC，AD＝BC＝CD＝5， ∴BE＝BC＋CE＝5＋3＝8. ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， 在Rt△CED中，由勾股定理，得DE＝ ＝ ＝4， 在Rt△BED中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝4 . ∵S菱形ABCD＝DE·BC，S菱形ABCD＝ AC·BD＝OC·BD， ∴DE·BC＝OC·BD， ∴OC＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 C. 拓展思维 11. （2025秋·南山区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是 对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值 是 ⁠. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解析：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于点O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME. ∵MD＝MB， ∴MA＋MB＋MD＝2ME＋2DM＝2（ME＋DM）， ∴当M，D，E三点共线，且DE⊥AB时，DE取得最 小值，此时DE最短，即MA＋MB＋MD最小. ∵菱形ABCD的边长为6， ∴AE＝3，DE＝ ＝ ＝3 ， ∴2DE＝6 . ∴MA＋MB＋MD的最小值是6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 参考答案 1.B　2.B　3.B　4.①②或①③　5. 　6.1 7. （1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（ASA）. （2）解：由（1）知△ABE≌△DCF， ∴AE＝DF＝13. ∵AB＝12，∴BE＝ ＝5. 　 8. D 解析：作QE⊥AB于点E，如图， ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形BCQE是矩形， ∴CQ＝BE，由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t， ∴PH＝20－AP－BH＝20－3t. ∵QP＝QH，QE⊥AB，∴PE＝HE＝ PH＝10－ t. ∵CQ＝BE，∴4t＝10－ t＋2t， 解得t＝ ，故选D. 　 9.5 解析：如图，连接BD，BF， ∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝ ＝10. ∵点G为BE的中点，点H为EF的中点， ∴BF＝2GH，∴当BF有最大值时，GH有最大值. ∵点F是CD上的动点，∴当点F与点D重合时，BF有最大值，为10， ∴GH的最大值为5，故答案为5. 　 10. （1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称， ∴BD⊥AC，BO＝DO. ∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO. 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD. 又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形. 　 （2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝ AC，AD＝BC＝CD＝5， ∴BE＝BC＋CE＝5＋3＝8. ∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°， 在Rt△CED中，由勾股定理，得DE＝ ＝ ＝4， 在Rt△BED中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝4 . ∵S菱形ABCD＝DE·BC，S菱形ABCD＝ AC·BD＝OC·BD， ∴DE·BC＝OC·BD，∴OC＝ ＝ ＝ . 　 11.6 解析：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于点O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME. 　 ∵MD＝MB， ∴MA＋MB＋MD＝2ME＋2DM＝2（ME＋DM）， ∴当M，D，E三点共线，且DE⊥AB时，DE取得最小值，此时DE最 短，即MA＋MB＋MD最小. ∵菱形ABCD的边长为6， ∴AE＝3，DE＝ ＝ ＝3 ， ∴2DE＝6 . ∴MA＋MB＋MD的最小值是6 . 　 $