第一章　特殊平行四边形 习题课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦特殊平行四边形，系统涵盖菱形、矩形、正方形的概念、性质及应用。通过从平行四边形引入特殊类型，搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于采用分层设计，基础题巩固概念，能力题强化推理，思维拓展题提升空间观念。结合几何图形与证明题，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），如矩形全等证明、正方形综合题。学生能提升数学思维，教师可实现分层教学。

第一章　特殊平行四边形 ☆问题解决活动： 作内嵌于正方形的正八边形 类型1　利用尺规作内嵌于矩形的正方形 1.已知：如图，四边形ABCD是矩形。 求作：正方形ABEF，点E在BC上，点F在AD上。(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 1 2 3 4 解：如图，四边形ABEF即为所求。 返回首页 类型2　利用尺规作内嵌于矩形的菱形 2.定义：如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合)，那么称这个菱形是该矩形的内接菱形。 1 2 3 4 返回首页 (1)如图1，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。 解：证明：如图1，连接AC，BD交于点O。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD。 ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴GH＝AC，EF＝AC，HE＝BD，FG＝BD。 ∴EF＝FG＝GH＝HE。 ∴四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。 1 2 3 4 返回首页 深入思考： (2)如图2，在矩形ABCD中，E是边AB上一点。作矩形ABCD的内接菱形EFGH，使点F，G，H分别在BC，CD，DA上。(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图2，菱形EFGH即为所求。 1 2 3 4 返回首页 类型3　利用尺规作内嵌于平行四边形的矩形 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，按照要求作图。(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (1)如图1，作菱形BEDF，使点E，F分别在AD，BC上； 解：如图1，菱形BEDF即为所求。 1 2 3 4 返回首页 (2)如图2，P是BC上一点，作矩形PFGH，使得点F，G，H分别在CD，AD，AB上。 解：如图2，矩形PFGH即为所求。 1 2 3 4 返回首页 类型4　利用尺规作内嵌于正方形的正八边形 4.(2025漳州期中)综合与实践 如图1，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。如图2，这是一个正方形。 1 2 3 4 返回首页 【观察判断】(1)图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是　　； A 1 2 3 4 返回首页 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图4所示。 1 2 3 4 返回首页 (2)请按照折纸的思路在图2中作内嵌正八边形并证明。(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图2，正八边形LGFIHKJE即为所求。 证明：设AO＝a，则AB＝BC＝CD＝AD＝a。 ∵AE＝AF＝BG＝BH＝CI＝CJ＝DK＝DL＝AO＝a， ∴AL＝AG＝BF＝BI＝CH＝CK＝DJ＝DE＝a－a， ∠ALG＝∠AGL＝∠BFI＝∠BIF＝∠CHK＝∠CKH＝∠DJE＝∠DEJ＝45°。 1 2 3 4 返回首页 ∴GL＝FI＝HK＝EJ＝2a－a， ∠GLE＝∠LGF＝∠GFI＝∠FIH＝∠IHK＝∠HKJ＝∠KJE＝∠JEL＝135°。 ∵LE＝AD－AL－DE＝a－(a－a)－(a－a)＝2a－a， ∴GF＝IH＝KJ＝2a－a。 ∴GF＝FI＝IH＝HK＝KJ＝JE＝EL＝LG。 ∴八边形LGFIHKJE是正八边形。 1 2 3 4 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 1　认识特殊的平行四边形 知识点1　菱形的概念、简单性质及其应用 1.根据图中所标出的数据，下列平行四边形中一定是菱形的是(　　) A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 返回首页 2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.菱形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 3.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD＝65°，则∠A＝　　°。 (第3题) 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 知识点2　矩形的概念、简单性质及其应用 4.(2026漳州漳浦月考)矩形具有而平行四边形不具有的性质是(　　) A.对角相等 B.对角互补 C.对边相等 D.对角线互相平分 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.在矩形ABCD中，∠D＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为(　　) A.3 B. C.4 D.5 B 返回首页 6.如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，∠B＝90°，BE＝CF，连接AE，DF。 求证：△ABE≌△DCF。 证明：∵矩形ABCD是特殊的平行四边形，∠B＝90°， ∴∠C＝∠B＝90°，AB＝CD。 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△DCF(SAS)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 知识点3　正方形的概念、简单性质及其应用 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD成为正方形的是(　　) A.AB＝BC，AB⊥BC B.AB＝BC，AC⊥BD C.OA＝OB，AB⊥BC D.AC＝BD，AB⊥BC (第7题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 8.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积为(　　)  A.1 B. C. D. (第8题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 9.如图，在正方形ABCD中，∠D＝90°，AB＝BC，CD＝2 cm，则AC的长为　　　cm。 2 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 10.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用如图所示的关系图表示，则②处所填图形的名称应为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 (第10题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 11.如图，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，P为对角线AC上一点，连接BP，若∠BPC＝55°，则∠PBC的度数为(　　) A.80° B.75° C.70° D.65° (第11题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 12.如图，在菱形ABCD中，AB＝BC，连接AC，AE平分∠CAB，交BC于点E，若∠CAE＝32°，则∠CAD的度数为　　°。 64 (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 13.如图，四边形ABCD是正方形，∠D＝90°，AD＝DC，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是　　°。 105 (第13题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 14.(2025厦门模拟)如图，四边形ABCD是正方形，∠D＝90°，AB＝AD，点E在CD上，点F在CB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF。求证：AE⊥AF。 证明：∵正方形ABCD是特殊的平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD。 ∵∠D＝90°， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°。 ∵点F在CB的延长线上， ∴∠ABF＝90°。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 ∴∠ABF＝∠D。 ∵BF＝DE， ∴△ABF≌△ADE(SAS)。 ∴∠BAF＝∠DAE。 ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°。 ∴∠BAE＋∠BAF＝90°，即∠FAE＝90°。 ∴AE⊥AF。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 15.(2026三明沙县期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8，点F在矩形ABCD内部，连接BF，BC＝BF＝12，∠ABC＝90°，E为BF的中点，连接DF，CF，CE，则DF＋CE的最小值为　　。(提示：取BC的中点M，连接FM) (第15题) 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 知识点1　一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.如图，若使▱ABCD成为菱形，则需添加的条件是(　　) A.AB＝BC B.AO＝BO C.∠1＝∠2 D.AC＝BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (第1题) A 返回首页 2.如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE。若四边形ECDF为菱形，则a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF。求证：▱ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C。 ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠CFD＝90°。 又∵DE＝DF， ∴△ADE≌△CDF(AAS)。 ∴AD＝CD。 ∴四边形ABCD是菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点2　四边相等的四边形是菱形 4.用两块边长为a的等边三角形纸片(确保仅有一边重合)能拼成的四边形的是(　　) A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 5.如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，得到四边形ABCD。连接BD，交AC于点O。 (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由； 解：四边形ABCD是菱形。理由如下： 由题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)求BD的长。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC＝4， OB＝OD，AC⊥BD。 ∴在Rt△AOB中， OB＝ ＝＝3。 ∴BD＝2OB＝6。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点3　对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6.如图，在▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是(　　) A.AB＝CD B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 返回首页 7.(2025厦门内厝中学月考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10，求证：▱ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝24，BD＝10， ∴AO＝AC＝12，BO＝BD＝5。 又∵AB＝13， ∴AO2＋BO2＝122＋52＝144＋25＝169，AB2＝132＝169。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴AO2＋BO2＝AB2。 ∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD。 ∴▱ABCD是菱形。 返回首页 8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是(　　) A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2＋OD2＝AD2 D.AD2＋OA2＝OD2 D (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9.如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　 　cm。 8 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10.(2025莆田南门中学期中)如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF。 (1)求证：四边形ACFD是菱形； 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB，AD＝BC。 ∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC， ∴AD∥CF，AD＝CF。 ∴四边形ACFD是平行四边形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E， ∴∠CEF＝∠BAF＝90°。 ∴FA⊥CD。 ∴四边形ACFD是菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)若AB＝5，BC＝，求四边形ACFD的面积。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5。 ∵CF＝BC＝， ∴BF＝CF＋BC＝13。 在Rt△BAF中， AF＝＝＝12。 ∴S四边形ACFD＝AF·CD＝×12×5＝30。 ∴四边形ACFD的面积为30。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 11.如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F。若点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，求PG的最小值。 解：∵DF∥AC，CF∥BD， ∴四边形OCFD是平行四边形。 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝AC，OD＝BD。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∵AC＝BD， ∴OC＝OD。 ∴平行四边形OCFD为菱形。 ∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点， ∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值。 如图，过点D作DM⊥AC于点M，当点P为CM的中点时，连接GP。 ∴GP为△DMC的中位线。 ∴GP＝DM。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∵▱ABCD的面积为12，OC＝AC， ∴S△COD＝S▱ABCD＝3，OC＝3。 ∴OC·DM＝3，即×3DM＝3。 解得DM＝2。 ∴PG＝DM＝1，即PG的最小值为1。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 2　菱形的性质与判定 第1课时　菱形及其性质 知识点1　菱形的边的性质 1.我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气。如图，该菱形窗户边框AB的长为1 m，则该菱形窗户的周长为(　　) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D (第1题) 返回首页 2.(2023福建)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为　　。 10 (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 3.(2024福建)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD。求证：BE＝DF。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D。 ∵∠AEB＝∠AFD， ∴△ABE≌△ADF(AAS)。 ∴BE＝DF。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点2　菱形的对角线的性质 4.关于菱形的性质，下列说法不正确的是(　　) A.四条边相等 　 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 5.如图，已知BD是菱形ABCD的一条对角线，E在BC的延长线上。若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为　　°。 64 (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝3 cm，AC＝6 cm，则BD的长为　　cm。 12 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点3　菱形的面积 7.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O。若AC＝6，BD＝4，则该菱形ABCD的面积是(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 B (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 8.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠A＝30°，则菱形ABCD的面积为　　。 8 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 9.(2026漳州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，过点A作AE⊥BC于点E，则AE的值为(　　) A.4.8 B.9.6 C.5 D.2.4 A (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 10.如图，菱形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为(－6，1)，点C的坐标为(0，1)，则点D的坐标为　 　。 (－3，2) (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 11.(1)求证：菱形的每条对角线平分一组对角。 证明：如答图，已知：四边形ABCD是菱形，连接AC，BD。 求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。 证明过程如下： ∵在菱形ABCD中， AD＝AB，AC⊥BD， ∴AC平分∠BAD。 同理，CA平分∠BCD， 直线BD平分∠ABC和∠ADC。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)利用(1)的结论解决问题：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE。求证：∠AFD＝∠CBE。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE。 又∵CE＝CE， ∴△BCE≌△DCE(SAS)。 ∴∠CBE＝∠CDE。 ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD＝∠CDE。 ∴∠AFD＝∠CBE。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 12.如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，求菱形DEFG的面积。 解：如图，过点E作EH⊥BC于点H。 设DE＝EF＝x，则EC＝12－x。 ∵∠C＝∠A＝30°， ∴EH＝EC＝(12－x)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 ∵EF≥EH， ∴x≥(12－x)。 ∴x≥4。 ∴菱形的边长最小是4。 当EF＝4时，如答图，过点F作FN⊥DC，则CF＝4。 ∴FN＝CF＝2。 ∴当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为DE·FN＝4×2＝8。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 章末复习　特殊平行四边形 考点1　菱形的性质与判定 1.(2025龙岩上杭期末)下列说法中，正确的是(　　) A.对角线相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线互相平分的四边形是菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 返回首页 2.(2025福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F。若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为　　。 (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 返回首页 3.(2025福州文博中学期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB。 (1)求证：四边形BDEF是菱形； 解：证明：如图，连接AE。 ∵BF∥DE，EF∥DB， ∴四边形BDEF是平行四边形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∵AB＝AC，E是BC的中点， ∴AE⊥BC，∠AEB＝90°。 ∵点D是AB的中点， ∴DE＝AB＝BD。 ∴四边形BDEF是菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)连接DF交BC于点M，连接CD，若BE＝4，AC＝2，求DM，CD的长。 解：∵四边形BDEF是菱形，BE＝4， ∴BE⊥DF，BM＝ME＝2。 ∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE＝AC＝。 ∴DM＝＝＝1。 又∵CE＝BE＝4， ∴MC＝6。 ∴CD＝＝＝。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 考点2　矩形的性质与判定 4.如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝4，则AC的长是(　　) A.2 B.2 C.4 D.8 D (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 5.如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点。若AC＝8，CD＝5，则DE＝　　。 3 (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD。求证：四边形OBEC是矩形。 证明：∵对角线AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD。 ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴∠BOC＝∠OCE＝∠OBE＝90°。 ∴四边形OBEC是矩形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 考点3　正方形的性质与判定 7.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.两组对边分别平行 D.两组对角分别相等 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 8.(2026漳州漳浦月考)如图，四边形ABCD是正方形，AB＝4，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F，若DE＝1，BF＝3，则AP的长为(　　) A. B. C. D.4 C (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF。若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是(　　) A.2 B.2＋ C.4－2 D. A (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10.如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。四边形EFGH是否为正方形？请写出你的证明过程。 解：四边形EFGH是正方形。证明过程如下： ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴EH，FG分别是△ABD，△BCD的中位线，EF，HG分别是△ABC，△ACD的中位线。 ∴EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG。 又∵AC＝BD， ∴EH＝FG＝EF＝HG。 ∴四边形EFGH是菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 如图，设AC与BD交于点O，EF与BD交于点M。 ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°。 ∵EF∥AC，EH∥BD， ∴∠OMF＝∠AOB＝90°。 ∴∠FEH＝∠OMF＝90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 11.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，点F在CE上，过点F作GH⊥CE，分别交AB，CD于点G，H。求证：DE＝CH－BG。 证明：如图，作GP⊥CD于点P，则∠GPC＝90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCP＝∠GBC＝90°，BC＝CD。 ∴四边形BCPG是矩形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴∠GPH＝∠CDE，GP＝BC。 ∴GP＝CD。 ∵GH⊥CE于点F， ∴∠CFH＝∠CFG＝90°。 ∵∠PGH＋∠CHG＝90°， ∠DCE＋∠CHG＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴∠PGH＝∠DCE。 ∴△PGH≌△DCE。 ∴PH＝DE，CE＝GH。 ∵PH＝CH－CP， ∴DE＝CH－BG。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第1课时　矩形及其性质 知识点1　矩形的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O。若OC＝2，则BD的长为(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D (第1题) 返回首页 2 2.如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为(　　) A.41° B.51° C.49° D.59° C (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 3.(2025甘孜州)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的长为　　。 8 (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 4.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE。求证：∠EAD＝∠EDA。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°。 ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE。 ∴△ABE≌△DCE(SAS)。 ∴AE＝DE。 ∴∠EAD＝∠EDA。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5.(2026宁德霞浦期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，若AB＝12，则CD＝(　　) A.5 B.4 C.8 D.6 (第5题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝62°，分别以点A，C 为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)相交 于E，F两点，连接EF，EF与AC交于点O，则∠ABO的大小为(　　) A.28° B.30° C.31° D.38° A (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 7.(2026宁德一中月考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，BE∥DC，BE＝DC，连接CE，求证：四边形BDCE为菱形。 证明：∵BE∥DC，BE＝DC， ∴四边形BDCE为平行四边形。 ∵∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线， ∴BD＝CD＝AC。 ∴四边形BDCE为菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD C (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，G是AB的中点，若OG＝2.5，BD＝8，则AC的长度是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (第9题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10.(2025泉州六中期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。 (1)求证：四边形OCED为菱形； 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形。 又∵在矩形ABCD中，OC＝OD， ∴四边形OCED为菱形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)若AB＝3，AC＝5，求菱形OCED的面积。 解：在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，∠ABC＝90°， ∴BC＝＝4。 由菱形和矩形的中心对称性可知S△OCD＝S△ECD＝S△AOB。 又∵OA＝OC， ∴S△AOB＝S△ABC＝××3×4＝3。 ∴菱形的面积是3＋3＝6。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 11.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别为A(－5，4)，B(－5，1)，C(－1，1)，D(－1，4)。若点P(a－1，b＋2)在第一象限，且点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍。 (1)用含a的式子表示b； 解：∵点P(a－1，b＋2)在第一象限， ∴a－1＞0，b＋2＞0。 ∵点P到x轴的距离是它到y轴距离的2倍， ∴b＋2＝2(a－1)。 ∴b＝2a－4。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)若将点P向左平移2个单位长度后，点P恰好落在矩形ABCD内(不含边界)，求a的取值范围。 解：∵将点P向左平移2个单位长度后，点P恰好落在矩形ABCD内(不含边界)， ∴－5＜a－1－2＜－1且1＜b＋2＜4。 ∴－5＜a－3＜－1且1＜2a－4＋2＜4。 ∴－2＜a＜2且1.5＜a＜3。 ∴1.5＜a＜2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 知识点1　根据定义进行正方形的判定 1.如图，在▱ABCD中，下列判断正确的是(　　) A.若∠A＝90°，则▱ABCD是正方形 B.若AB＝BC，则▱ABCD是正方形 C.若AB＝BC＝CD＝DA，则▱ABCD是正方形 D.若AB＝BC，∠A＝90°，则▱ABCD是正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D (第1题) 返回首页 2.有下列四个条件：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.如果一个四边形顺次添加条件①a→c→d，②b→d→c，③a→b→c，那么能得到正方形的是(　　) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点2　根据矩形进行正方形的判定 3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的点F处，折痕为BE，过点E，F再次折叠，得到折痕EF。若沿EF剪开，则四边形ABFE是一个正方形，其数学原理是(　　) A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 A (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(　　) A.AC⊥BD B.AC平分∠BAD C.AB＝BC D.△OCD是等边三角形 D (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点3　根据菱形进行正方形的判定 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 ，使得菱形ABCD为正方形。 ∠ABC＝90°(答案不唯一)　 (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA。求证：四边形AECF是正方形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD。 ∵BE＝DF， ∴OE＝OF。 ∴四边形AECF是菱形。 ∵OE＝OA， ∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC。 ∴四边形AECF是正方形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 7.(2026漳州漳浦月考)正方形四条边的中点构成的四边形的形状最准确的是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 8.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，需添加的条件是(　　) A.AB＝CD，AB⊥CD B.AB＝CD，AD＝BC C.AB＝CD，AC⊥BD D.AB＝CD，AD∥BC (第8题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9.如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为(　　) A.4 B.4 C.8 D.16 D (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10.如图，已知线段AB。 (1)求作：以AB为对角线的正方形ACBD，并证明你的作法是正确的；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，正方形ACBD即为所求。 证明：由作图可知直线l垂直平分AB，CO＝AO＝DO。 ∴AC＝BC，BD＝AD，∠AOC＝∠AOD＝90°。 在△AOC和△AOD中，CO＝DO，∠AOC＝∠AOD，AO＝AO， ∴△AOC≌△AOD(SAS)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴四边形ACBD是菱形。 又∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AB＝CD。 ∴菱形ACBD是正方形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴AC＝BC＝BD＝AD。 返回首页 (2)若AB＝6，求正方形ACBD的面积。 解：S正方形ACBD＝AB2＝×62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ＝18。 返回首页 11.如图，四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。 (1)求证：矩形DEFG是正方形。 解：证明：如图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N。 ∴∠MEN＝90°。 ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴EM＝EN。 ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM＝90°－∠FEN。 ∵∠DNE＝∠FME＝90°， ∴△DEN≌△FEM(ASA)。 ∴EF＝DE。 ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由。 解：CE⊥CG。理由如下： ∵四边形DEFG和四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝CD。 ∵∠ADE＋∠CDE＝∠CDG＋∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∴△ADE≌△CDG(SAS)。 ∴∠DAC＝∠DCG。 ∵∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝90°， ∴∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝∠ACD＋∠CAD＝90°。 ∴CE⊥CG。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ②CE＋CG的值为　　。 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 综合与实践　折纸问题 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，九年级(4)班数学兴趣小组的同学们在活动课上进行了折纸问题探究。 【方法提示】 数学折纸问题的解决通常要结合轴对称和全等的相关知识和性质，同时也要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系。 返回首页 【动手操作】 如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠(已知AD＞AB)，使点C落在AD边上，折痕为EF(点E在BC边上，点F在AD边上)，折叠后点C，D的对应点分别为点G，H。 返回首页 【问题探究】 (1)判断图中四边形CEGF的形状，并证明你的结论。 解：四边形CEGF为菱形。证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，GF∥EC。 ∴∠GFE＝∠FEC。 ∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线， ∴∠GEF＝∠FEC。 返回首页 ∴∠GFE＝∠GEF。 ∴GF＝GE。 ∵图形翻折后EC与GE完全重合， ∴GE＝EC。 ∴GF＝EC。 ∴四边形CEGF为平行四边形。 ∴▱CEGF为菱形。 返回首页 (2)随着点C落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中AB＝2，BC＝6，求线段BE长度的取值范围。 解：如备用图1，当点F与点D重合时，CE取最小值，BE取最大值。 由折叠的性质，得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°。 返回首页 ∵∠ECD＝90°， ∴∠DEC＝∠DEG＝∠CDE＝45°。 ∴CE＝CD＝DG＝GE。 ∵∠C＝90°， ∴四边形CEGD是正方形。 ∴CE＝CD＝AB＝2。 ∴BE＝BC－CE＝6－2＝4。 返回首页 如备用图2，当点G与点A重合时，CE取最大值，BE取最小值。 ∵在Rt△ABE中，∠B＝90°， ∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝22＋(6－CE)2。 ∴CE＝。 ∴BE＝BC－CE＝6－＝。 ∴线段BE长度的取值范围是≤BE≤4。 由折叠的性质，得AE＝CE。 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 综合与实践　裁剪问题 【情境】 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的。该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示。 (说明：纸片不折叠，拼接不重叠、无缝隙、无剩余) 返回首页 【操作】 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形。 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①②③三块，再按照图4所示进行拼接。根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： 返回首页 (1)求线段EF的长； 解：如图3，过点G'作G'K⊥FH'于点K，结合题意，得四边形FOG'K为矩形， ∴FO＝KG'。 由拼接，得HF＝FO＝KG'。 由正方形的性质，得∠A＝45°。 ∴△AHG，△H'G'D，△AFE均为等腰直角三角形(如图3)。 ∴△G'KH'为等腰直角三角形(如图3)。 返回首页 设H'K＝KG'＝x， ∴H'G'＝H'D＝x。 ∴AH＝HG＝x，HF＝FO＝x。 ∵正方形的边长为2， ∴对角线的长为2。 ∴OA＝，即x＋x＋x＝。 解得x＝－1。 ∴EF＝AF＝(＋1)x＝(＋1)×(－1)＝1。 返回首页 (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长。 解：与BE相等的线段有GE，AH，GH。 ∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1， ∴AE＝EF＝。 ∴BE＝AB－AE＝2－。 ∵GE＝H'G'＝x＝×(－1)＝2－，AH＝GH＝x＝2－， ∴BE＝GE＝AH＝GH。 返回首页 【探究】 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形。 返回首页 (3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规)，画出裁剪线(线段PQ)的位置，并直接写出BP的长。 解：如图5，以点B为圆心，BO的长为半径画弧，交BC于点P'，交AB于点Q'，则直线P'Q'为裁剪线， 此时BP'＝，P'Q'＝＝2，符合要求。 返回首页 或以点C圆心，CO的长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，则直线PQ为裁剪线， 此时CP＝CQ＝，PQ＝＝2，符合要求。 ∴BP＝2－。 综上所述，BP的长为或2－。 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 基础专题1　 特殊平行四边形的性质与判定的综合 类型1　菱形的性质与判定的综合 1.如图，在△ABC中，AB＝BC，若将△ABC沿AB方向平移线段AB的长得到△BDE，连接CD，CE。求证： (1)四边形BDEC是菱形； 1 2 3 4 5 6 证明：∵△ABC沿AB方向平移线段AB的长得到△BDE， ∴AB＝CE＝BD，BC＝DE。 ∵AB＝BC， ∴BD＝DE＝CE＝BC。 ∴四边形BDEC是菱形。 返回首页 (2)AC⊥CD。 证明：∵四边形BDEC是菱形， ∴BE⊥CD。 ∵△ABC沿AB方向平移线段AB的长得到△BDE， ∴AC∥BE。 ∴AC⊥CD。 1 2 3 4 5 6 返回首页 2.如图，已知矩形ABCD，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8。 (1)在图上作菱形BEDF，使得点E在边AD上，点F在边BC上；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，四边形BEDF即为所求。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)求菱形BEDF的边长。 解：∵四边形BEDF为菱形， ∴设BE＝DE＝x。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝8。 ∴AE＝AD－DE＝8－x。 ∵AB2＋AE2＝BE2， ∴62＋(8－x)2＝x2。 解得x＝。 ∴菱形BEDF的边长为。 1 2 3 4 5 6 返回首页 类型2　矩形的性质与判定的综合 3.如图，在▱ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE。求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥CD。 1 2 3 4 5 6 返回首页 又∵AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE(SSS)。 ∴∠B＝∠C。 ∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°。 ∴∠B＝∠C＝90°。 ∴四边形ABCD是矩形。 1 2 3 4 5 6 返回首页 4.(2025厦门湖里区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC。 (1)求作矩形ADCE，点D在BC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，矩形ADCE即为所求。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)在(1)的条件下，连接BE交AD于点F，求证：F为AD的中点。 证明：如图。 ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，AD⊥BC。 ∵四边形ADCE为矩形， ∴AE＝CD，∠FAE＝∠FDB＝90°。 ∴BD＝AE。 ∵∠BFD＝∠EFA， ∴△AEF≌△DBF(AAS)。 ∴FA＝FD。 ∴F为AD的中点。 1 2 3 4 5 6 返回首页 类型3　正方形的性质与判定的综合 5.(2025福州闽清月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6。 (1)求作正方形CDEF，使D，E，F分别在AC，AB，BC上。(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，四边形CDEF即为所求的正方形。 1 2 3 4 5 6 返回首页 (2)在(1)的条件下，求正方形CDEF的边长。 解：∵四边形CDEF是正方形， ∴∠CDE＝∠CFE＝90°，DE＝EF。 ∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2。 ∴AC＝＝8。 ∵S△ABC＝S△AEC＋S△BCE， ∴AC·BC＝AC·DE＋BC·EF。 ∴24＝4DE＋3DE。解得DE＝。 ∴正方形CDEF的边长为。 1 2 3 4 5 6 返回首页 6.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点(不与点C，D重合)，连接BE，BF平分∠ABE，交边AD于点F，求证：AF＋CE＝BE。 证明：如图，过点B作BG⊥BE，交DA的延长线于点G。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC。 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∴∠ABE＋∠CBE＝∠ABG＋∠ABE， 即∠ABG＝∠CBE。 在△CBE和△ABG中， ∵∠C＝∠BAG，BC＝AB，∠CBE＝∠ABG， ∴△CBE≌△ABG(ASA)。 ∴CE＝AG，BG＝BE。 ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF。 1 2 3 4 5 6 返回首页 ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠AFB。 ∴∠AFB＝∠GBF。 ∴BG＝GF＝BE。 ∴AF＋AG＝AF＋CE＝FG＝BE， 即AF＋CE＝BE。 1 2 3 4 5 6 ∴∠ABG＋∠ABF＝∠CBE＋∠EBF， 即∠GBF＝∠CBF。 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 3　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 知识点1　有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是(　　) A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (第1题) B 返回首页 2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC。求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB。 又∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△BOC(ASA)。 ∴DA＝CB。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴DA∥CB。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形。 ∵∠A＝∠B＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　有三个角是直角的四边形是矩形 3.依据所标数据，下列四边形一定为矩形的是(　　) A　　　 　 B　　　 　 C　　　 　 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4.如图，已知OA⊥OB，若∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则四边形OCPB的周长为　　。 12 (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。其中的道理是(　　) A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 B (第5题)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，当OB＝　　时，▱ABCD是矩形。 4 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB。 (1)求证：四边形ABCD是矩形； 证明：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴OA＝AC，OB＝BD。 ∵OA＝OB， ∴AC＝BD。 ∴四边形ABCD是矩形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若∠CAD＝30°，AB＝，求四边形ABCD的面积。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC。 ∵∠CAD＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°。 ∵AB＝， ∴AC＝2AB＝2。 ∴BC＝＝3。 ∴S四边形ABCD＝AB·BC＝3。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(　　) A.∠A＝90° B.∠B＝∠C C.AC＝BD D.AC⊥BD D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC。 (1)求证：四边形ADCE是矩形； 解：证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°。 ∵CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB＝90°。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°。 ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°。 ∴四边形ADCE是矩形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长。 解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4， ∴BD＝CD＝BC＝2。 由(1)，得四边形ADCE是矩形， ∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°。 ∵在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3， ∴AC＝＝。 ∵EF⊥AC， ∴S△AEC＝AC·EF＝AE·CE。 ∴EF＝＝＝。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.(2026三明尤溪期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，∠1＝∠2，AE与BD相交于点F。 求证：(1)四边形CODE是矩形； 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DOC＝90°，∠CDB＝∠2。 ∵∠1＝∠2， ∴∠CDB＝∠1。 ∴BD∥CE。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∵DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形。 ∵∠DOC＝90°， ∴四边形CODE是矩形。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)AF＝EF。 证明：如图，连接OE。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC。 ∵四边形CODE是矩形， ∴DE＝OC。 ∴DE＝OA。 ∵DE∥AO， ∴四边形AOED是平行四边形。 ∴AE与OD互相平分。 ∴AF＝EF。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第一章　特殊平行四边形 4　正方形的性质与判定 第1课时　正方形及其性质 知识点1　正方形的边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为(　　) A.10° B.15° C.20° D.12.5° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B (第1题) 返回首页 2.(2026三明列东中学期中)若正方形对角线的长为2，则该正方形的面积为(　　) A. B.2 C.2 D.4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接EB，EC，则图中阴影部分的面积是　　。 2 (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形。 (1)求证：AE＝CF； 证明：∵四边形BEDF为正方形， ∴EB＝DF。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC。 ∴AB－EB＝DC－DF。 ∴AE＝CF。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若▱ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长。 解：∵▱ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形， ∴5DE＝20，DE＝EB。 ∴DE＝EB＝4。 ∴AE＝AB－EB＝5－4＝1。 由(1)，得AE＝CF， ∴CF＝1。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　正方形的对角线的性质 5.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A.AC⊥BD B.∠DAC＝∠BAC C.DO＝CO D.AD＝AO D (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为边CD的中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长为　　。 2 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，四边形ABCD，AECF分别是菱形、正方形。若∠BAE＝25°，则∠ABC的度数为(　　) A.35° B.40° C.45° D.50° B (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点D是斜边BC的中点，连接AD，以AD为边作正方形ADEF。若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为(　　) A.4 B.12＋4 C.12 D.24 B (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9.如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE。 (1)求证：四边形AECF是菱形； 解：证明：如图，连接AC交BD于点O。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD。 ∵BF＝DE， ∴OB－BF＝OD－DE。 ∴OF＝OE。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴四边形AECF是平行四边形。 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形。 ∵OA＝OC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若AB＝2，BF＝1，求四边形AECF的面积。 解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AC＝BD＝＝＝2。 ∵BF＝DE＝1， ∴EF＝2－2。 ∴S菱形AECF＝AC·EF＝×2×(2－2)＝4－2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AE，P为点B关于直线AE的对称点。连接AP，作射线DP，交射线AE于点F。 (1)依题意补全图形。若∠BAE＝α，求∠ADP的大小。(用含α的式子表示) 解：补全图形如图所示。 ∵点P与点B关于直线AE对称， ∴AE垂直平分BP，AB＝AP，且∠PAE＝∠BAE＝α。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°。 ∴AP＝AD，∠PAD＝∠BAD－∠BAE－∠PAE＝90°－2α。 ∴∠ADP＝∠APD＝(180°－∠PAD)÷2＝45°＋α。 ∴∠ADP＝45°＋α。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)在(1)的条件下，用等式表示线段AF，PF和PD之间的数量关系，并证明。 AF＝2PF＋PD。证明如下： 如图，过点A作AG⊥DF于点G。 ∴∠AGF＝90°。 ∵AP＝AD， ∴PG＝PD。 ∵∠APD＝∠F＋∠PAF，由(1)，知∠APD＝45°＋α，∠PAF＝α， ∴∠F＝45°。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴∠GAF＝∠F＝45°。 ∴AG＝FG。 在Rt△AGF中，AF＝ ∴AF＝(PF＋PG)＝， 即AF＝2PF＋PD。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $