选择性必修第三册 期末复习检测-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以计数原理、概率统计为核心，通过分层题型系统整合知识，提炼通性通法，强化数学思维与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|单选1-2、填空12、解答16|分类加法与分步乘法原理、排列组合捆绑法|从基础计数到复杂情境应用，构建逻辑推理链条| |概率|单选3-5、多选10、解答17|全概率公式、分布列与期望方差计算|结合实际问题，发展运算能力与随机观念| |统计|单选6-8、多选11、填空14、解答19|线性回归方程、独立性检验|通过数据处理，培养数据观念与模型意识| |二项式定理|多选9、解答15|展开式通项、系数最值分析|从概念推导到综合应用，强化数学抽象能力|

选择性必修第三册 期末复习检测 一、单选题 1．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（     ） A．11 B．14 C．30 D．48 2．某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（    ）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序） A．72 B．108 C．156 D．196 3．不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量的概率分布如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量满足，，则（    ） A． B． C．8 D．24 6．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 附表： 根据表中数据，得到的结论是（    ） A．有 95% 的把握认为选科意向与性别无关 B．有 95% 的把握认为选科意向与性别有关 C．有 99% 的把握认为选科意向与性别无关 D．有 99% 的把握认为选科意向与性别有关 二、多选题 9．已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 10．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 11．某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（    ） A．变量，正相关 B． C．可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D．当时，实际用户数量高于预测值 三、填空题 12．将编号为 1， 2， 3， 4， 5 的5个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 个盒子中，每个盒子放入 1 个小球，则恰好有 2 个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ____ 种. 13．若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 14．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有_______________只. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 四、解答题 15．在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．学考过后，学校对课表进行了调整.一天的课表有7节课，其中上午5节，下午2节，要排语文，数学，外语，体育，化学，生物，物理7节课.（本题结果均用数字作答） (1)数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ (2)体育课不排在第1节课，数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ (3)数学课与体育课必须相邻，共有多少种不同的排课方法？ 17．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和． (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 18．设集合，，．从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，．定义随机变量： (1)若，求的分布列； (2)求； (3)若随机变量，证明：． 19．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C C A A D BC BCD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算求解. 【详解】第一类：甲先到乙地再到丁地，此时共有种不同的走法； 第二类：甲先到丙地再到丁地，此时共有种不同的走法； 所以甲地到丁地不同的走法总数为. 2．A 【详解】同学，已是同桌，，已是同桌，故只需为剩下4位同学安排同桌， 从4个人中选2个人做同桌，剩下2个人也做同桌，然后安排组当中的前后顺序， 故排座位的方法数共有：种，故选A. 3．B 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 4．C 【分析】先利用离散型随机变量所有概率和为1求出，再结合期望公式求出，最后代入方差公式计算结果. 【详解】由题意可得，解得， 又，所以，即，即，得， 所以. 5．C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出参数，计算的方差，最后根据方差的运算性质计算即可. 【详解】已知随机变量，则，解得. 所以. 根据方差的性质，. 6．A 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 7．A 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 8．D 【分析】计算卡方，根据独立性检验即可求解. 【详解】零假设为选科意向与性别无关， ， 故有把握选科意向与性别有关. 9．BC 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 10．BCD 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 11．AC 【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误． 【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 12． 【详解】第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：； 第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），有2种放法； 由分步乘法，总数为. 13． 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 14．36 【分析】设没接种只数为，列出2×2列联表后计算，可得，即可得的最小值. 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 发病 没发病 合计 接种 没接种 合计 则的观测值为：， 因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论， 于是，即， 即， ∴，即被抽查的没接种动物至少有36只． 15．(1)，常数项为 (2) 【分析】(1)推导二项展开式的通项公式，根据第4项与第5项的系数比值建立方程求解，令的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项. (2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到的整数值，代入通项得到系数最大的项. 【详解】（1）二项展开式的通项为，其中. 第4项对应，系数为；第5项对应，系数为. 由题意得，化简得，即，解得. 令，解得，故常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足， 即， 化简第一个不等式得，解得； 化简第二个不等式得，解得. 由且，得，对应系数最大的项为. 16．(1)4320 (2)3720 (3)1440 【分析】（1）先排数学课，然后其他课全排即可； （2）分体育课排在第7节课和排在中间5节课两种情况，结合排列数求解； （3）先对数学课与体育课进行捆绑，再将此整体和其他课全排即可． 【详解】（1）先排数学课，然后其他课全排，共有种； （2）当体育课排在第7节课时有种排法， 当体育课排在中间5节课时，有5种排法，数学课也有5种排法， 其余五节课全排列，有种排法， 之后应用分类加法计数原理，有种. （3）数学课与体育课进行捆绑，有种， 再将此整体和其他5个科目全排，共有种． 17．(1)， (2) 【分析】（1）使用二项分布的期望公式与方差公式求解； （2）使用互斥事件概率公式和独立事件概率公式求解. 【详解】（1）因为甲每道题答对的概率均为，则， 所以，． （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为． 18．(1) 的分布列为： (2) (3) 由于随机变量，所以，， 因此， 由（2）可知，由于，所以， 要证明，即证明，即需证， ①先证明： 令， 当时，；当时，， 令函数，则，当时，，所以在时单调递增且， 所以随着的增大，也逐渐增大， 因此对于，有，即； ②再证明： 由于，且，对任意都成立， 所以； 综上所述，，即． 【分析】（1）根据题意，先计算总取法数，再依次统计符合，，的取法数即可求解； （2）根据题意，先计算总取法数，再依次计算符合，，的取法数即可求解； （3）根据题意，分别得出，，两式相减得出，再分别证明和即可求解. 【详解】（1）当时，集合，从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，， 总的取法数为， 分别是，，，，，，，，，， 由于随机变量 当时，即且，满足的组合只有，所以； 当时，即且，满足的组合只有，，，所以； 当时，； 所以，当时，随机变量的分布列为： （2）对于一般的，从集合中一次取出个不同的数， 总取法数为， 当时，即且，所以且， 令，由于，且，则, 从个数选出个不同的数的方法数为，因此满足条件的组合数为， 所以； 当时，即且，所以是三个连续的整数，即， 可以取，共种选择，所以； 当时，； 因此，. （3）略. 19．(1)，，有效，理由见解析 (2)有的把握认为药物对预防疾病有效． 【分析】（1）根据条件概率的概念，计算事件的概率，进而判定药物X对预防疾病Y是否有效． （2）根据独立性检验方法，计算，进而判断药物是否有效. 【详解】（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得， 在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得 ， 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异． 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效． （2）零假设：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 所以有的把握认为药物对预防疾病有效． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $