2025-2026高二下学期综合测试卷选择性必修二

**基本信息** 高二数学选择性必修二期末综合卷，涵盖集合、函数、数列、立体几何等模块，以巴黎奥运会乒乓球比赛、猜灯谜活动等真实情境设计问题，注重数学思维与应用意识，基础与创新题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、复数虚部、函数定义域等|基础概念辨析，如第4题结合不等式求最值| |多选题|3|函数零点、等比数列、圆锥侧面积|多选项设计考查逻辑推理，如第10题等比数列性质判断| |填空题|3|向量数量积、概率、旋转坐标|情境化问题，如第13题奥运会乒乓球比赛概率计算| |解答题|5|解三角形、概率统计、导数应用、椭圆证明|综合性强，如第16题猜灯谜活动多问概率，第19题椭圆定直线证明|

2025-2026高二数学选择性必修二综合测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 4．已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．设，则的值（    ） A． B． C．2 D． 6．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．下列结论正确的有（   ） A．函数的零点是 B．的图象过定点，则的值为 C．“，有”的否定是“，使” D．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象 10．已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（    ） A． B．是数列中的项 C． D．，，成等差数列 11．如图，圆锥的底面半径为4，高为，过靠近的四等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ）    A．挖去圆柱的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．剩下几何体的表面积为 D．圆锥母线与底面所成的角的余弦值为 三、填空题 12．在菱形ABCD中，，，E，F分别为AD，CD的中点，则_________. 13．在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球队取得了极其辉煌的成绩，成功包揽了乒乓球项目的冠军．甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定每回合比赛胜者得1分，负者得0分，哪一方率先获得11分，就可以赢得比赛．10平后，先多得2分的一方为胜方，比赛一直进行到一方比另一方多2分方可分出胜负．已知 每回合比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每回合比赛结果相互独立．已知比赛已经进行到，则两个回合后本局比赛分出胜负的概率为_______，假设比赛不限制回合数，则甲赢得本局比赛的概率为_______． 14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点坐标为______. 四、解答题 15．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 16．在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 17．如图所示，在四棱锥中，，，点在棱上，且． (1)证明： (2)证明：平面 (3)若，求与平面所成角的正弦值 18．已知函数，在处切线的斜率为. (1)求的值； (2)求的极小值； (3)讨论方程的实数解的个数. 19．已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为. （1）求的标准方程; （2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 26春庐山外国语学校高二数学暑假作业（三）参考答案 1．A【详解】由，得到，又，所以，又，所以， 故选：A． 2．C【详解】，所以虚部为．故选：C． 3．D【详解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D. 4．A【详解】因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 5．B【详解】 . 故选：B. 6．C【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误；对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确；对于：因为，所以，故错误.故选：. 7．C【详解】，设，，因为是减函数，所以在上也是减函数，则，即.故选：C 8．A【详解】由于，当时，，即，当时，， 又，以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故选：A 9．BD【详解】对于A选项，由可得，故函数的零点为，A错；对于B选项，对于函数，由可得，所以，故，B对；对于C选项，“，有”为全称量词命题，该命题的否定为“，使”，C错；对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，D对.故选：BD. 10．ABD【详解】正项等比数列的公比为，，且，则，即，即或舍，A正确；因为，则，，令，则，是数列的第项，B正确；，C错误；因为，，则，所以，，成等差数列，D正确． 11．BCD【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，    对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确； 对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长， 则，故D正确. 故选：BCD. 12．6【详解】解：如图：由题意，得,, ， 故答案为：6. 13． /【详解】记在一个回合比赛中，甲获胜为事件A，乙获胜为事件 后前两回合比赛结果可能有．两个回合后本局比赛分出胜负的概率为． 当甲、乙两人得分总数相同时，甲赢得比赛的概率与比赛进行到时甲赢得比赛的概率相同，记“甲赢得比赛”为事件M，所以， 可得：即.故答案为：；. 14．【详解】由题，可得，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 即等同于点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， ， 又，解得. 故答案为：. 15．(1)(2)，面积【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：.又，故 （2），由正弦定理，代入，，：所以.因为，所以. 16．(1) (2) (3)【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 17．(1)详见解析； (2)详见解析； (3)【详解】（1）如图所示：取DC的中点F，连接PF，BF， 因为，所以，又因为， 所以四边形ABFD是正方形，所以，又平面PBF，所以平面PBF，又平面PBF， 所以； （2）连接AC，有，因为，所以，又，则， 所以，又平面，平面，所以平面； （3）因为，，所以，则，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以， 设平面DBE的一个法向量为：，则，即，令，则，所以，设与平面所成的角为，所以.与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1），因为在处切线的斜率为，所以，则. （2），令，解得或，当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 19．（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知，再根据轴时，的面积为 ，由面积公式可知，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，由韦达定理，可知 ，将直线的方程与直线 的方程联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】解:（1）由题意知，所以，又， 所以 当轴时，的面积为， 所以 解得 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为 ， 与椭圆联立，得 . 显然恒成立. 设， 所以有 直线的方程为，直线 的方程为， 联立两方程可得，所以 由式可得， 代入上式可得， 解得 故点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二数学选择性必修二综合测试卷参考答案 1．A【详解】由，得到，又，所以，又，所以， 故选：A． 2．C【详解】，所以虚部为．故选：C． 3．D【详解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D. 4．A【详解】因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 5．B【详解】 . 故选：B. 6．C【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误；对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确；对于：因为，所以，故错误.故选：. 7．C【详解】，设，，因为是减函数，所以在上也是减函数，则，即.故选：C 8．A【详解】由于，当时，，即，当时，， 又，以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故选：A 9．BD【详解】对于A选项，由可得，故函数的零点为，A错；对于B选项，对于函数，由可得，所以，故，B对；对于C选项，“，有”为全称量词命题，该命题的否定为“，使”，C错；对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，D对.故选：BD. 10．ABD【详解】正项等比数列的公比为，，且，则，即，即或舍，A正确；因为，则，，令，则，是数列的第项，B正确；，C错误；因为，，则，所以，，成等差数列，D正确． 11．BCD【详解】如图所示，因为为的四等分点，所以，，    对于A，挖去的圆柱的体积，故A错误； 对于B，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积 ，故B正确； 对于C，圆柱的侧面积，剩下几何体的表面积 ，故C正确； 对于D，因为圆锥的底面半径为4，母线长， 则，故D正确. 故选：BCD. 12．6【详解】解：如图：由题意，得,, ， 故答案为：6. 13． /【详解】记在一个回合比赛中，甲获胜为事件A，乙获胜为事件 后前两回合比赛结果可能有．两个回合后本局比赛分出胜负的概率为． 当甲、乙两人得分总数相同时，甲赢得比赛的概率与比赛进行到时甲赢得比赛的概率相同，记“甲赢得比赛”为事件M，所以， 可得：即.故答案为：；. 14．【详解】由题，可得，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 即等同于点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， ， 又，解得. 故答案为：. 15．(1)(2)，面积【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：.又，故 （2），由正弦定理，代入，，：所以.因为，所以. 16．(1) (2) (3)【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 17．(1)详见解析； (2)详见解析； (3)【详解】（1）如图所示：取DC的中点F，连接PF，BF， 因为，所以，又因为， 所以四边形ABFD是正方形，所以，又平面PBF，所以平面PBF，又平面PBF， 所以； （2）连接AC，有，因为，所以，又，则， 所以，又平面，平面，所以平面； （3）因为，，所以，则，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以， 设平面DBE的一个法向量为：，则，即，令，则，所以，设与平面所成的角为，所以.与平面所成角的正弦值为. 18．(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1），因为在处切线的斜率为，所以，则. （2），令，解得或，当变化时，，变化情况如下： 1 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 故的极小值为. （3）由（2）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 当时，；当时，， 图象如下图所示，数形结合可得： 当或时，方程有1个实数解； 当或时，方程有2个实数解 当时，方程有3个实数解. 19．（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知，再根据轴时，的面积为 ，由面积公式可知，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，由韦达定理，可知 ，将直线的方程与直线 的方程联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】解:（1）由题意知，所以，又， 所以 当轴时，的面积为， 所以 解得 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为 ， 与椭圆联立，得 . 显然恒成立. 设， 所以有 直线的方程为，直线 的方程为， 联立两方程可得，所以 由式可得， 代入上式可得， 解得 故点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $