2.2.1 有理数的乘法 教学设计-2025-2026学年人教版数学七年级上册

《2.2.1 有理数的乘法》教学设计 一、课标要求 表1 课程标准内容要求与解读分析 内容要求 依据《义务教育数学课程标准》对初中数学 “数与代数” 领域的要求，本节课需达成以下核心目标： 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，能熟练进行有理数的乘法运算（包括异号两数相乘、同号两数相乘及零乘任何数的情况）。 经历有理数乘法法则的探究过程，通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，发展合情推理与演绎推理能力，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。 能运用有理数乘法解决简单的实际问题，感受数学与生活的联系，培养应用意识和运算能力。 在探究与运算过程中，培养严谨的数学思维习惯，感受数学的逻辑性和系统性，增强学习数学的自信心。 二、设计理念 本节课遵循 “以学生发展为本” 的核心理念，立足七年级学生的认知特点（处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对直观、具象的内容接受度更高），采用 “情境导入 — 探究新知 — 巩固应用 — 总结提升” 的教学模式，具体设计思路如下： 生活化情境驱动：从学生熟悉的实际问题（如温度变化、路程计算）入手，创设具有启发性的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望，让学生在解决实际问题的过程中感受有理数乘法的必要性。 探究性学习为主：给予学生充足的自主探究、合作交流时间，引导学生通过观察具体实例、分析数量关系、猜想运算规律、验证归纳法则，主动建构有理数乘法的知识体系，避免被动接受式学习。 注重知识衔接与迁移：以小学阶段学过的正数乘法为基础，通过对比、延伸，突破 “负负得正” 这一难点，帮助学生建立新旧知识之间的联系，形成完整的知识网络。 三、教材分析 本节课选自人教版七年级上册第二章 “有理数的运算” 第二节 “有理数的乘法” 第一课时，是在学生已经学习了有理数的概念、数轴、相反数、绝对值以及有理数的加法和减法运算之后的重要内容。有理数的乘法是有理数运算体系的核心环节，它不仅是对正数乘法的延伸和拓展，更是后续学习有理数除法、乘方运算的基础，同时也为八年级学习整式乘法、分式运算等知识奠定了重要的运算基础。从数学思想层面来看，本节课通过对正数与正数、正数与负数、负数与负数相乘的分类探究，培养学生的分类讨论思想；通过数轴与实际情境的结合，渗透数形结合思想，对学生数学思维的发展具有重要意义。 四、教学目标与教学重难点 （1）理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则的内容，明确有理数乘法的符号法则和绝对值法则。 （2）能熟练进行有理数的乘法运算，包括两个有理数相乘、多个有理数相乘（初步接触），能准确确定积的符号和绝对值。 （3）能运用有理数乘法解决简单的实际问题，如路程计算、温度变化分析等，提高运算能力和应用意识。 教学重点：有理数乘法法则的理解和熟练运用，能准确进行有理数乘法运算（确定积的符号和绝对值）。 教学难点：“负负得正” 法则的推导过程和意义理解；运用有理数乘法解决实际问题时，准确建立数学模型。 五、教学过程 （一）情境导入，激发兴趣（5 分钟） 1. 回顾旧知，铺垫基础 同学们，我们之前已经学习了有理数的加法和减法运算，谁能回忆一下有理数加法的法则是什么？（提问 1-2 名学生） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 非常好！那我们再来看一个小学阶段学过的乘法问题：小明每天跑步 5 千米，3 天一共跑了多少千米？怎么计算？ 5×3=15（千米），表示 3 个 5 相加的和。 对，正数乘法的意义是求几个相同加数的和的简便运算。那如果我们把这个问题中的正数换成负数，该怎么计算呢？比如小明每天跑步 - 5 千米（表示反向跑步 5 千米），3 天一共跑了多少千米？这就涉及到我们今天要学习的内容 —— 有理数的乘法。（板书课题：有理数的乘法） 2. 创设情境，引入新知 我们再来看一个生活中的例子：温度计的读数变化。一只温度计，每小时上升 3℃，那么 2 小时后它的读数变化了多少？（规定上升为正，下降为负） 3×2=6（℃），变化了 + 6℃。 非常好！那如果每小时下降 3℃，2 小时后读数变化了多少呢？下降 3℃可以表示为 - 3℃，那这个问题该怎么列式计算？变化量是多少？ （-3）×2，变化了 - 6℃。 为什么是 - 6℃呢？我们可以理解为 2 个 - 3 相加，即（-3）+（-3）=-6，所以（-3）×2=-6。那如果每小时上升 3℃，2 小时前的读数变化了多少？上升为正，“2 小时前” 可以表示为 - 2，列式就是 3×（-2），大家想一想结果是多少？ 应该是 - 6℃，因为 2 小时前和 2 小时后是相反的方向，所以结果也是相反的。 很有道理！那如果每小时下降 3℃，2 小时前的读数变化了多少？列式为（-3）×（-2），这个结果又该是多少呢？今天我们就通过探究来解决这个问题，找出有理数乘法的运算法则。 （二）探究新知，建构法则（15 分钟） 1. 探究一：正数 × 正数，正数 × 负数，负数 × 正数的乘法规律 我们先整理一下刚才的例子，大家一起来完成下面的表格： 观察表格中的前三个算式，大家发现了什么规律？先看符号，再看绝对值。 生 1：符号方面，正数乘正数得正数，负数乘正数得负数，正数乘负数得负数。 生 2：绝对值方面，不管符号如何，积的绝对值都是两个因数绝对值的乘积。 非常棒！那我们再验证几个例子： （1）5×4=？ 符号：正 × 正 = 正，绝对值：5×4=20，结果 = 20 （2）（-5）×4=？ 符号：负 × 正 = 负，绝对值：5×4=20，结果 =-20 （3）5×（-4）=？ 符号：正 × 负 = 负，绝对值：5×4=20，结果 =-20 大家验证一下，这些结果和我们小学学过的加法运算是否一致？比如（-5）×4 可以表示 4 个 - 5 相加，即（-5）+（-5）+（-5）+（-5）=-20，确实符合。那由此我们可以得出：正数乘正数、正数乘负数、负数乘正数的乘法规律是 —— 符号：异号得负，同号得正（正数与正数同号）；绝对值：积的绝对值等于两个因数绝对值的积。 2. 探究二：负数 × 负数的乘法规律（突破难点） 现在我们回到表格中的最后一个算式：（-3）×（-2）=？ 我们已经知道绝对值是 3×2=6，关键是确定符号。大家结合生活情境想一想，每小时下降 3℃（-3℃），2 小时前（-2 小时）的读数变化和 2 小时后的变化有什么关系？ 我们可以用数轴来帮助理解。规定现在的时间为 0 点，向右为正方向（未来时间），向左为负方向（过去时间）；温度计的初始读数为 0℃，向上为正方向（温度上升），向下为负方向（温度下降）。 每小时上升 3℃（+3），2 小时后（+2）：从 0 点出发，向右走 2 个单位，每个单位向上 3℃，最终位置是 + 6℃，即 3×2=6。 每小时下降 3℃（-3），2 小时后（+2）：从 0 点出发，向右走 2 个单位，每个单位向下 3℃，最终位置是 - 6℃，即（-3）×2=-6。 每小时上升 3℃（+3），2 小时前（-2）：从 0 点出发，向左走 2 个单位，每个单位向上 3℃，最终位置是 - 6℃，即 3×（-2）=-6。 每小时下降 3℃（-3），2 小时前（-2）：从 0 点出发，向左走 2 个单位，每个单位向下 3℃，最终位置是 + 6℃，即（-3）×（-2）=6。 通过数轴的直观演示，我们可以发现（-3）×（-2）=6。再验证一个例子：（-5）×（-4）=？ 大家结合加法想一想，（-5）×（-4）表示的是 “-4 个 - 5 相加”，而 “-4 个 - 5 相加” 等价于 “4 个 5 相加”（因为负负得正），即 5+5+5+5=20，所以（-5）×（-4）=20。 那我们再总结负数乘负数的规律：符号：负 × 负 = 正；绝对值：积的绝对值等于两个因数绝对值的积。 3. 探究三：任何数与 0 相乘的规律 大家再思考一个问题：0×5=？ 5×0=？ （-3）×0=？ 0×（-4）=？ 0×5 表示 5 个 0 相加，结果是 0；5×0 表示 0 个 5 相加，结果也是 0；（-3）×0 表示 0 个 - 3 相加，结果是 0；0×（-4）同理也是 0。 非常对！由此我们可以得出：任何数与 0 相乘，都得 0。 4. 归纳总结，形成法则 现在我们把刚才探究的所有情况综合起来，归纳出有理数乘法的法则： 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。 大家齐读一遍法则，注意关键词：“同号得正，异号得负”“绝对值相乘”“任何数与 0 相乘得 0”。我们可以把法则分为两步：第一步，确定积的符号；第二步，计算积的绝对值。大家在运算时一定要先确定符号，再计算绝对值，避免出错。 （三）例题讲解，巩固法则（10 分钟） 1. 基础例题（规范格式，强调步骤） 例 1：计算下列各题： （1）（-3）×9 （2）0×（-7） 我们按照 “先定符号，再算绝对值” 的步骤来解题，请大家跟着老师一起做。 （1）（-3）×9 解：因为异号两数相乘得负，绝对值相乘为 3×9=27，所以（-3）×9=-27。 （2）0×（-7） 解：任何数与 0 相乘得 0，所以 0×（-7）=0。 2. 变式例题（含有绝对值的乘法） 例 2：计算：| -3 | ×（-4） （-2）×| -5 | 这道题中含有绝对值，我们应该先算绝对值，再按照有理数乘法法则计算。 （1）| -3 | ×（-4） 解：先算绝对值，| -3 | =3，再计算 3×（-4），异号得负，绝对值相乘 3×4=12，所以结果为 - 12。 （2）（-2）×| -5 | 解：先算绝对值，| -5 | =5，再计算（-2）×5，异号得负，绝对值相乘 2×5=10，所以结果为 - 10。 （四）分层练习，巩固提升（10 分钟） 现在我们进行分层练习，分为基础层、提高层和拓展层，大家可以根据自己的情况选择完成，基础层是必做题，提高层和拓展层是选做题。 1. 基础层（必做）：巩固法则，熟练运算 计算下列各题： （1）（-4）×5 （2）（-7）×（-3） （3）0×（-2.5） （学生独立完成，教师巡视，对基础薄弱的学生进行个别指导，然后集体订正答案，强调解题步骤） 2. 提高层（选做）：结合实际，应用拓展 （1）一只小虫沿数轴爬行，它从原点出发，先向右爬行 3 个单位长度，再向左爬行 5 个单位长度，最后向右爬行 2 个单位长度，求小虫最终的位置对应的数（用乘法表示过程并计算）。 （2）某商店一天的利润为 - 200 元（亏损 200 元），那么 3 天的总利润是多少元？如果是 - 3 天（表示 3 天前），总利润又该如何理解？ （学生完成后，教师请 2-3 名学生分享解题思路，重点讲解如何将实际问题转化为数学问题，强调符号的实际意义） 3. 拓展层（选做）：深化思维，挑战难点 （1）若 ab>0，a+b<0，求 a、b 的符号； （2）计算：（-1）×（-2）×（-3）×（-4）×（-5），观察多个负数相乘时积的符号规律。 （教师引导学有余力的学生完成，然后总结多个有理数相乘的符号规律：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0） （五）课堂总结，梳理知识（3 分钟） 今天我们学习了有理数的乘法，大家一起来回顾一下本节课的主要内容： 有理数乘法法则是什么？（学生齐答：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0） 计算有理数乘法的步骤是什么？（先定符号，再算绝对值） 我们用到了哪些数学思想方法？（分类讨论、数形结合、归纳推理） 还有哪些需要注意的地方？（注意符号判断，避免遗漏 0 的情况，多个负数相乘时关注负因数的个数） 有理数乘法是后续学习的基础，大家一定要熟练掌握法则，多做练习，避免出错。 第 2 页 共7页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $