5.2　二元一次方程组的解法 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的解法，系统讲解代入消元法和加减消元法，通过种植问题等实际情境导入，引导学生从用代数式表示未知数过渡到消元转化思想，构建“问题—变形—消元—求解”的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过例2、例1等规范步骤训练数学思维，随堂小测和拔高训练强化数学语言表达。如代入法中整体代入、加减法中系数变形技巧，提升学生运算与推理能力，为教师提供分层教学资源，助力高效教学。

第五章　二元一次方程组 2　二元一次方程组的解法 第1课时　代入消元法解二元一次方程组 1 在上节课的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解 方程组 （1）两个方程中的未知数x有什么关系？未知数y呢？ （2）未知数x与未知数y之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示另 一个未知数吗？ （3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？ 　用代数式表示某个字母 特别说明：用代数式表示某个字母的依据是等式的性质，为代入消元解方程 组及后续换元法解题提供基础. 【例1】已知x＋y＝2. （1）用含y的代数式表示x，则x＝ ⁠； （2）用含x的代数式表示y，则y＝ ⁠. 已知方程5x－y＝9，用含x的代数式表示y，则y＝ ⁠. 2－y　 2－x　 5x－9　 　用代入消元法解二元一次方程组 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并 代入① 方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为 ② 方程.这种解方程组的方法称为③ ，简称代 入法. 特别说明： 1. 用代入消元法解二元一次方程组的解题思想及一般步骤： （1）思想：二元消元转化一元；（2）步骤：变形，代入，求解，回代，写 出解. 另一个　 一元一次　 代入消元法　 2. （1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能 选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； （2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方 程； （3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系 数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直 接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫作整体代入法.整体代入法是解二 元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准 确率. 【例2】解方程组 解：由②得y＝2x－3，将其代入①得3x＋2（2x－3）＝1，即7x－6＝1， 解得x＝1.将x＝1代入②得2×1－y＝3，解得y＝－1， ∴原方程组的解为 解方程组 解： 由②，得x＝1＋2y，③ 把③代入①，得8y－（2y＋1）＝5， 解得y＝1，把y＝1代入③，得x＝3， ∴原方程组的解为 1. 把方程2x＋3y－3＝0改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是 （　A　）. A. y＝1－ x B. y＝ x－1 C. x＝ － y D. x＝ y－ A 2. 用代入消元法解二元一次方程组 时，最简单的方法是 （　A　）. A. 由①，得y＝2x－4，再代入② B. 由①，得x＝ ，再代入② C. 由②，得y＝ ，再代入① D. 由②，得x＝ ，再代入① A 3. 由方程组 可得x与y的关系是 ⁠. 4. 已知方程组 中，x，y的值相等，则m＝ ⁠. 解析：由题意，得y＝x，代入方程组 得 解 得 x－y＝－1　 4　 5. 请用代入消元法解方程组： （1） 解： 由①，得y＝3－2x，③ 把③代入②，得x－3（3－2x）＝5，解得x＝2， 把x＝2代入③，得y＝3－2x＝3－2×2＝－1， ∴原方程组的解为 （2） 解： 整理得 由①，得y＝2x＋1③， 把③代入②，得3x－2（2x＋1）＝2，解得x＝－4. 把x＝－4代入③，得y＝2x＋1＝2×（－4）＋1＝－7. ∴原方程组的解为 6. 已知关于x，y的方程组 （1）方程x＋2y＝5中，用含x的式子表示y； 解：∵x＋2y＝5， ∴y＝ － x. （2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值. 解：根据题意，得 解得 代入x－2y＋mx＋9＝0，得－5－10－5m＋9＝0， 解得m＝－ . 【新课导学】 知识点1 例1　（1）2－y　（2）2－x 变式训练1　5x－9 知识点2　①另一个　②一元一次　③代入消元法 例2　解：由②得y＝2x－3，将其代入①得3x＋2（2x－3）＝1，即7x－6 ＝1，解得x＝1.将x＝1代入②得2×1－y＝3，解得y＝－1，∴原方程组的 解为 变式训练2　解： 由②，得x＝1＋2y，③ 把③代入①，得8y－（2y＋1）＝5， 解得y＝1，把y＝1代入③，得x＝3， ∴原方程组的解为 【随堂小测】 1. A　2.A　3.x－y＝－1 4.4　解析：由题意，得y＝x，代入方程组 得 解得 5. 解：（1） 由①，得y＝3－2x，③ 把③代入②，得x－3（3－2x）＝5，解得x＝2， 把x＝2代入③，得y＝3－2x＝3－2×2＝－1， ∴原方程组的解为 （2） 整理得 由①，得y＝2x＋1③， 把③代入②，得3x－2（2x＋1）＝2，解得x＝－4. 把x＝－4代入③，得y＝2x＋1＝2×（－4）＋1＝－7. ∴原方程组的解为 6. 解：（1）∵x＋2y＝5，∴y＝ － x. （2）根据题意，得 解得 代入x－2y＋mx＋9＝0，得－5－10－5m＋9＝0， 解得m＝－ . 第五章　二元一次方程组 2　二元一次方程组的解法 第2课时　加减消元法解二元一次方程组 22 【思考】解二元一次方程组： （1）你能用代入消元法解这个方程吗？你是怎么做的？ （2）小明注意到两个方程中的5y和－5y互为相反数，于是想把两个方程相 加.你认为他的这种想法有道理吗？这样可以把“二元”化为“一元”吗？ 　直接用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法：通过两式相① 消去其中一个未知数，这种解二 元一次方程组的方法叫作② ，简称加减法. 2. 加减消元法的基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”. 加（减）　 加减消元法　 【例1】用加减消元法解方程组： 解：①＋②，得3x＝6，解得x＝2， 把x＝2代入②，得2＋y＝5，解得y＝3， ∴原方程组的解为 用加减消元法解方程组： 解：①＋②，得7m＝14，解得m＝2.把m＝2代入①，得n＝ ，所以这个方 程组的解是 　变形后用加减消元法解二元一次方程组 特别说明：用加减消元法解二元一次方程组的一般过程及技巧 （1）当同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加消 元； （2）当同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减消元； （3）当同一未知数的系数成整数k倍关系时，可以把系数较小（或简单）的 方程各项扩大为原来的k倍，再进行加减消元； （4）当两个方程中同一未知数的系数均不成整数倍时，选择系数较小（或 较简单）的未知数消元，将两个方程中的同一未知数的系数的绝对值分别转 化为它们的最小公倍数，再进行加减消元. 【例2】解方程组： 解： ①×3－②，得－2y＝0，解得y＝0， 将y＝0代入①，得x＝2， 所以原方程组的解为 解方程组： 解：①×2，得4x－10y＝－6，③ ②＋③，得－9y＝－9，解得y＝1. 把y＝1代入①，得2x－5×1＝－3，解得x＝1. ∴原方程组的解是 1. 用加减法解方程组 下列解法正确的是（　D　）. A. ①×2＋②×3消去x B. ①×3－②×2消去y C. ①×3＋②×2消去x D. ①×2＋②×3消去y D 2. 已知二元一次方程组：① ② ③ ④ 解以上方程组比较适合选择的方法是 （　B　）. A. ①②用代入法，③④用加减法 B. ①③用代入法，②④用加减法 C. ②③用代入法，①④用加减法 D. ②④用代入法，①③用加减法 B 3. （2025•南山区学府中学期中）已知x，y满足方程组 则3x ＋y的值为 ⁠. 解析：方程组 ①＋②，得（2x－y）＋（x＋2y）＝2＋ 6，整理得3x＋y＝8. 8　 4. （2025•深圳市期中）解下列方程组： （1） 解： ①＋②，得4m＝12，m＝3. 将m＝3代入②，得3＋2n＝5，n＝1. ∴原方程组的解为 解：将 整理得 ①＋②，得8x＝ 56，解得x＝7.把x＝7代入①，得5×7－2y＝17，解得y＝9. ∴原方程组的解为 （2） 5. 阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题. 解方程组 由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果 用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错 误，而采用下面的解法会比较简单. ②－①，得3x＋3y＝3，所以x＋y＝1，③ ③×14，得14x＋14y＝14，④ ①－④，得y＝2，从而得x＝－1，所以原方程组的解为 （1）请你运用上述方法解方程组： ① 解： ②－①，得4x＋4y＝4，两边除以4，得x＋y＝1 ③， ③×28－①，得－5y＝10，解得y＝－2.把y＝－2代入③，解得x＝3，故原 方程组的解为 ② 解： ②－①，得9x＋9y＝9，两边除以9，得 x＋y＝1③，③×1 999－①，得－16x＝－32，解得x＝2.把x＝2代入③， 解得y＝－1，故原方程组的解为 （2）关于x，y的方程组 的解 为 ⁠. 解析： ②－①，得（n－m）x＋（n－m）y＝n－m， 两边除以（n－m），得x＋y＝1③， 　 ③×m－①，得－y＝－2，解得y＝2， 把y＝2代入③，解得x＝－1， 故原方程组的解为 故答案为 【新课导学】 知识点1 ①加（减）　②加减消元法 例1　解：①＋②，得3x＝6，解得x＝2， 把x＝2代入②，得2＋y＝5，解得y＝3， ∴原方程组的解为 变式训练1　解：①＋②，得7m＝14，解得m＝2. 把m＝2代入①，得n＝ ， 所以这个方程组的解是 知识点2 例2　解： ①×3－②，得－2y＝0，解得y＝0， 将y＝0代入①，得x＝2，所以原方程组的解为 变式训练2　解：①×2，得4x－10y＝－6，③ ②＋③，得－9y＝－9，解得y＝1. 把y＝1代入①，得2x－5×1＝－3，解得x＝1. ∴原方程组的解是 【随堂小测】 1. D　2.B 3.8　解析：方程组 ①＋②，得（2x－y）＋（x＋2y）＝ 2＋6，整理得3x＋y＝8. 4. 解：（1） ①＋②，得4m＝12，m＝3. 将m＝3代入②，得3＋2n＝5，n＝1. ∴原方程组的解为 （2）将 整理得 ①＋②，得8x＝56，解得x＝7. 把x＝7代入①，得5×7－2y＝17，解得y＝9. ∴原方程组的解为 5. 解：（1）① ②－①，得4x＋4y＝4， 两边除以4，得x＋y＝1③， ③×28－①，得－5y＝10， 解得y＝－2. 把y＝－2代入③，解得x＝3， 故原方程组的解为 ② ②－①，得9x＋9y＝9， 两边除以9，得x＋y＝1③， ③×1 999－①，得－16x＝－32， 解得x＝2. 把x＝2代入③，解得y＝－1， 故原方程组的解为 （2） 　解析： ②－①，得（n－m）x＋（n－m）y＝n－m， 两边除以（n－m），得x＋y＝1③， ③×m－①，得－y＝－2，解得y＝2， 把y＝2代入③，解得x＝－1， 故原方程组的解为 故答案为 $