精品解析：重庆市两江新区2025--2026学年七年级下学期数学期末考试题

2025-2026学年度下期七年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：是整数，属于有理数，故A不符合要求； 对于选项B：是分数，属于有理数，故B不符合要求； 对于选项C：是整数，属于有理数，故C不符合要求； 对于选项D：是无限不循环小数，属于无理数，故D符合要求． 2. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， ∴． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由不等式可知：解集在数轴上表示为． 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，其中横坐标是正数，纵坐标是负数， 又∵第四象限点的坐标特征为横坐标正，纵坐标负，符合特征， ∴点在第四象限． 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解我国七年级学生的视力情况 B. 调查神舟飞船各零部件是否正常 C. 调查嘉陵江水域所有鱼中草鱼所占的比例 D. 了解一批圆珠笔笔芯的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】选择普查还是抽样调查要根据调查对象的特征判断，一般来说，对于精确度要求高、事关重大、不能出错的调查，适合采用普查，对于范围大、具有破坏性的调查，适合采用抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A：我国七年级学生数量庞大，调查范围广，不适合普查，不符合题意； 对于选项B：神舟飞船各零部件关乎飞行安全，必须全部检查排除异常，适合普查，符合题意； 对于选项C：嘉陵江水域中鱼的数量大，无法对全部个体进行调查，不适合普查，不符合题意； 对于选项D：测试圆珠笔笔芯使用寿命会破坏产品，具有破坏性，不适合普查，不符合题意． 6. 下列命题错误的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 对顶角相等 C. 两点之间，线段最短 D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：两直线平行时，同旁内角互补，并非相等，故A错误，符合题意； 对于选项B：对顶角相等，正确，故B不符合题意； 对于选项C：两点之间，线段最短是线段的基本事实，正确，故C不符合题意； 对于选项D： 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是平行线的基本事实，正确，故D不符合题意． 7. 如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据图示可得． 8. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且为整数， ∴． 9. 在平面直角坐标系中，一个电子蚂蚁从出发，按“向右→向下→向右→向上”的方向依次循环不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向右移动1个单位到达，第二次向下移动1个单位到达，第三次向右移动1个单位到达，第四次向上移动1个单位到达，……，则第2026次移动后所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到每4次移动为一个循环周期，每个周期向右移动2个单位长度，纵坐标按循环变化，计算得到余数后即可确定对应坐标． 【详解】解：根据题意可得前几次移动后点的坐标： 可知移动4次为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标依次为． 第2026次移动是第507个循环的第2次移动， 横坐标为，纵坐标为0， 即第2026次移动后点的坐标为． 10. 已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件确定各系数的取值范围，用分类枚举法逐个验证三个说法即可． 【详解】解：①判断二次二项式个数：∵，故，二次二项式只能是或， 若，则，得，此时，无符合条件的非负整数； 若，则，得或，时共2个，时共2个，合计4个，故①正确． ②当时：∵， ∴， ∵， ∴， 所有满足条件的整式为：，，，， 求和得：，故②错误． ③按​分类枚举所有可能： ：仅，共个， ：、、，共个， ：、，共个， ：、，共个， ：、，共个， 总个数：，③正确． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 如图，，直线分别与，交于点，，若，则的度数是_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由平角的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ． 13. 已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，可得点的纵坐标为，由此求出的值，即可得到点的横坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， ∴， 解得：， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 14. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对24进行如下操作：，即对24只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2 【答案】3 【解析】 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 15. 若关于的一元一次不等式组的解集为，关于，的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和是_____________． 【答案】20 【解析】 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集列出不等式可求出a的一个取值范围；把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可推出，根据方程组的解的情况列出不等式求出a的另一个取值范围，进而确定a的取值范围，从而确定所有满足题意的整数a的值，再求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于，的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴符合题意的整数a的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 16. 我们规定：若一个三位自然数的百位数字减去个位数字的差的倍等于十位数字，则称这个数为“三倍数”．例如：三位数，，不是“三倍数”；三位数，，是“三倍数”；按照这个规定，最小的“三倍数”是_____________．若“三倍数”，将其百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，若是整数，则满足条件的所有的值的和是_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设一个“三倍数”为，可得，结合最小，可得最小的“三倍数”； 由， ，，可得，再进一步分析即可． 【详解】设一个“三倍数”为， ， 最小， ，， 最小的“三倍数”是； ， ，， ，， ， 是整数， 是的倍数， ，，且，为整数， ，， ， ， ， ，即， ， 的取值为或或或， 当时，， ， 此时符合题意的， 当时，， ， 此时符合题意的， 当时，， ， 此时符合题意的， 当时，， ，不符合题意，故此情况不存在； 综上，满足条件的所有的值为，，， ． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再合并即可； （2）先求解绝对值，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得， 解这个方程，得， 把代入①，得， 所以这个方程组的解是 ； 【小问2详解】 解：， 原方程组整理为 ，得， ， 把代入①，得， ， 所以这个方程组的解是． 19. 解下列不等式（组）． （1）解不等式：； （2）求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】（1） （2），整数解和为 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解进一步求和即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∴； 解得：． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为、、、、， ∴整数的解和为． 20. 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，平分，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：平分， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）求解，进一步结合角平分线的定义可得答案； （2）证明，，证明，可得，进一步利用角平分线的定义证明即可． 【小问1详解】 解：， ． 平分， ， ． 【小问2详解】 略 21. 某校体育教研组结合本校学生特点，计划在七年级阳光体育锻炼活动中开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理，描述和分析．下面给出了部分信息： 根据以上信息，解决下列问题： （1）抽取学生总人数为_____________，_____________； （2）将图中的条形统计图补充完整； （3）该校七年级有学生700名，请估计该校七年级学生选择篮球和足球项目的总人数． 【答案】（1）60；30 （2）解：补全图形如下： （3）245名 【解析】 【分析】（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，由B组人数除以总人数可得的值； （2）用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可； （3）由700乘以选择篮球和足球项目的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：总人数为（名）， ∵， ∴． 答：一共抽取了60名学生，． 【小问2详解】 解：， 补全图形略． 【小问3详解】 解：（名）, 答：估计该校七年级学生选择篮球和足球项目的人数为245名． 22. 已知点，，． （1）在给定的平面直角坐标系中描出各点，并画出； （2）将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ； 的坐标为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据点，，在坐标系内描点即可； （2）由平移的性质确定平移后的对应点再作图，结合的位置可得其坐标为； （3）利用割补法求解面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图略； 根据的位置可得． 【小问3详解】 解：． 23. 某商家第一次购进600枚文创纪念章，因为深受顾客喜爱便很快售完，第二次又购进同款文创纪念章800枚，第二次购进每枚文创纪念章的价格比第一次便宜3元，且两次购进文创纪念章一共花费11600元． （1）求两次购进每枚纪念章的价格； （2）在销售第二批文创纪念章时，商家先以每枚15元的价格进行销售，当第二批纪念章售卖至第二批购进总量的时，商家决定降价促销．若要使第二次的销售利润不低于5920元，则剩余的纪念章每枚售价至少要多少元？ 【答案】（1）第一次购入价格为10元，第二次购入价格为7元 （2）12元 【解析】 【分析】（1）设第一次购入价格为元，第二次购入价格为元，可得，再进一步解方程组即可； （2）设剩余的文创纪念章每枚售价元，可得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一次购入价格为元，第二次购入价格为元． ， 解得：， 答：第一次购入价格为10元，第二次购入价格为7元． 【小问2详解】 解：设剩余的文创纪念章每枚售价元， 则， 解得， 答：剩余的文创纪念章每枚售价至少为12元． 24. 行列式最早源于中国古代数学经典《九章算术》（约公元1世纪），书中用方程术通过算筹排列与消元求解线性方程组，已隐含行列式的思想．17世纪末，德国数学家莱布尼茨在研究线性方程组时，系统引入了行列式的记号与运算．18世纪中叶，瑞士数学家克拉默在其著作《线性代数分析导论》中正式提出了求解线性方程组的“克拉默法则”，即用系数行列式表示方程组的解． 材料一：形如的式子称为行列式，计算公式是． 材料二：对于一般的二元一次方程组， 记，，， 其中叫作系数行列式．当，不全为时，方程组无解；当系数行列式时，方程组有解，解为． （1）根据材料一，计算； （2）根据材料二，用行列式解法求二元一次方程组的解； （3）根据以上材料，关于，的二元一次方程组无解，其中，均为整数，关于的方程有整数解，求的值． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则解方程组即可； （3）根据新定义结合方程无解可得．即，再进一步分析求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴方程组的解为 ； 【小问3详解】 解：∵二元一次方程组无解， ，． 即． ， ． ． 将代入得， 即． ． ∵方程有整数解且，均为整数， ，． ，，，． 25. 如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，先证，等量代换得，，根据平行线的判定，即可求证； （2）根据平行线的性质和垂直的定义，易得，利用角平分线的定义和平行线的性质，可求，，，从而，最后根据，即可求解；②设，则，根据题意，可得，从而，再根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，，进而可求，，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ，即， 平分，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ； ②设，则， 平分， ， ， ， ， ， ，解得， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期七年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解我国七年级学生的视力情况 B. 调查神舟飞船各零部件是否正常 C. 调查嘉陵江水域所有鱼中草鱼所占的比例 D. 了解一批圆珠笔笔芯的使用寿命 6. 下列命题错误的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 对顶角相等 C. 两点之间，线段最短 D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 7. 如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一个电子蚂蚁从出发，按“向右→向下→向右→向上”的方向依次循环不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向右移动1个单位到达，第二次向下移动1个单位到达，第三次向右移动1个单位到达，第四次向上移动1个单位到达，……，则第2026次移动后所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 如图，，直线分别与，交于点，，若，则的度数是_____________． 13. 已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 14. 对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对24进行如下操作：，即对24只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行________次操作后变为2 15. 若关于的一元一次不等式组的解集为，关于，的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和是_____________． 16. 我们规定：若一个三位自然数的百位数字减去个位数字的差的倍等于十位数字，则称这个数为“三倍数”．例如：三位数，，不是“三倍数”；三位数，，是“三倍数”；按照这个规定，最小的“三倍数”是_____________．若“三倍数”，将其百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，若是整数，则满足条件的所有的值的和是_____________． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组． （1） （2） 19. 解下列不等式（组）． （1）解不等式：； （2）求不等式组：的所有整数解的和． 20. 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，平分，，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 21. 某校体育教研组结合本校学生特点，计划在七年级阳光体育锻炼活动中开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理，描述和分析．下面给出了部分信息： 根据以上信息，解决下列问题： （1）抽取学生总人数为_____________，_____________； （2）将图中的条形统计图补充完整； （3）该校七年级有学生700名，请估计该校七年级学生选择篮球和足球项目的总人数． 22. 已知点，，． （1）在给定的平面直角坐标系中描出各点，并画出； （2）将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出平移后的，并直接写出的坐标； （3）求的面积． 23. 某商家第一次购进600枚文创纪念章，因为深受顾客喜爱便很快售完，第二次又购进同款文创纪念章800枚，第二次购进每枚文创纪念章的价格比第一次便宜3元，且两次购进文创纪念章一共花费11600元． （1）求两次购进每枚纪念章的价格； （2）在销售第二批文创纪念章时，商家先以每枚15元的价格进行销售，当第二批纪念章售卖至第二批购进总量的时，商家决定降价促销．若要使第二次的销售利润不低于5920元，则剩余的纪念章每枚售价至少要多少元？ 24. 行列式最早源于中国古代数学经典《九章算术》（约公元1世纪），书中用方程术通过算筹排列与消元求解线性方程组，已隐含行列式的思想．17世纪末，德国数学家莱布尼茨在研究线性方程组时，系统引入了行列式的记号与运算．18世纪中叶，瑞士数学家克拉默在其著作《线性代数分析导论》中正式提出了求解线性方程组的“克拉默法则”，即用系数行列式表示方程组的解． 材料一：形如的式子称为行列式，计算公式是． 材料二：对于一般的二元一次方程组， 记，，， 其中叫作系数行列式．当，不全为时，方程组无解；当系数行列式时，方程组有解，解为． （1）根据材料一，计算； （2）根据材料二，用行列式解法求二元一次方程组的解； （3）根据以上材料，关于，的二元一次方程组无解，其中，均为整数，关于的方程有整数解，求的值． 25. 如图1，已知，，是上的点，，是上的点，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）过点作交延长线于点，作，的角平分线交于点． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，交于点，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $