微专题2 反比例函数中存在性与最值问题 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

微专题2 反比例函数中存在性与最值问题 题型一：等腰三角形存在性问题 【典例精讲】（2025•潮阳区模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 【变式训练1】（2025•淄川区二模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）． （1）求点A的坐标； （2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）； （3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【变式训练2】（2025春•海口期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象交于A（6，2）和B（n，﹣3）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）连结OB，设点C为x轴上一点，使得△OBC为等腰三角形，求点C的坐标． 【变式训练3】如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 【变式训练4】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【变式训练5】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，2），点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P是y轴一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 题型二：平行四边形存在性问题 【典例精讲】（2025•镇江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC． （1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式； （2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　 　 、　 　 ． 【变式训练1】（2025•肥城市三模）如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段OF的长； （3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标． 【变式训练2】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（4，2），B（﹣1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标． 【变式训练3】如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）． （1）求反比例函数解析式； （2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 题型三：直角三角形存在性问题 【典例精讲】如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【变式训练1】（2025秋•灞桥区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（2025秋•沈阳月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（4，a）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出b的值． 【变式训练3】如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣2． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标． 题型四：反比例函数与面积问题 【典例精讲】（2026•越秀区校级二模）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出一次函数大于反比例时的x取值范围； （3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得S△PAB＝S△BCD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（2026•周村区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，m），B（n，2），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点P，使得S△OCP＝4S△BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（2026•怀宁县校级一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（2026•阳谷县校级模拟）如图，矩形ABEF与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象相交于C、D两点，点C的坐标为（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝8，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4】（2026•太和县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n），B（2，1）． （1）求一次函数y＝kx+b、反比例函数的表达式； （2）若在x轴上存在一点P，使得△PAB的面积为6，求点P的坐标． 【变式训练5】（2025秋•平顶山期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）①填空：OC＝　 　 ，OD＝　 　 ； ②在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OCP＝4S△OBD，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型五：最值问题 【典例精讲】（2026•郑州校级二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边所在直线的表达式是y＝x，且与反比例函数的图象交于点A（2，a），该边的对边与反比例函数的图象交于点C（1，b），交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）若P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值． 【变式训练1】（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A．已知S△PAB＝8． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值． 【变式训练2】（2025秋•崂山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（1，3），且过点B（3，n）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点Q是x轴上的一点，且△ABQ的面积是2，求点Q的横坐标； （3）若P在x轴上一点，PA+PB取最小值时，P点的坐标为　 　 ． 【变式训练3】（2025秋•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值． 题型五：菱形存在性问题 【典例精讲】（2025秋•太平区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【变式训练1】如图，直线y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）直接写出不等式kx+b的解集． （3）点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标． 【变式训练2】如图，已知直线yx与双曲线y交于A、B两点，且点A的横坐标为． （1）求k的值； （2）若双曲线y上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积； （3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标． 【变式训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD＝6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣2，2），反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D． （1）求点D的坐标和k的值； （2）将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积． （3）若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题2 反比例函数中存在性与最值问题 题型一：等腰三角形存在性问题 【典例精讲】（2025•潮阳区模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，6），B（m，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数y＝ax+b的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以CD为腰的等腰三角形CDF的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 【分析】（1）将A代入反比例函数解析式求出解析式，再求出B点的坐标，将A、B代入一次函数解析式，即可求解； （2）先求出点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0），再求出CD，分当点F在点C的上方，时，当点F在点C的下方，DF＝CD时，当点F在点C的下方，时，三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可得k＝（﹣6）×6＝﹣36， ∴反比例函数的解析式为． 将点B（m，﹣2）代入，得，解得m＝18， ∴点B的坐标为（18，﹣2）． 将点A（﹣6，6），B（18，﹣2）分别代入一次函数解析式，得， 解得， ∴； （2）将x＝0代入，则y＝4； 令，解得：x＝12； ∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（12，0）， ∴， 当点F在点C的上方，时， ∴， ∴点F的坐标为； 当点F在点C的下方，DF＝CD时， ∵OD⊥CF， ∴OF＝OC＝4， ∴点F的坐标为（0，﹣4）； 当点F在点C的下方，时， ∴， ∴点F的坐标为． 综上所述，点F的坐标为或（0，﹣4）或． 【变式训练1】（2025•淄川区二模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）． （1）求点A的坐标； （2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）； （3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标． 【分析】（1）将点A（4，m）代入y，求得m的值即可； （2）把（4，3）代入一次函数y＝kx+b即可得到b＝﹣4k+3； （3）求得OA＝5，根据等腰三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）， ∴m3， ∴A（4，3）； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，3）， ∴3＝4k+b， ∴b＝﹣4k+3； （3）∵A（4，3）， ∴OA5， ∵△AOB是等腰三角形， 当OA是腰时，B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0）， 当OA为底时， ∵A（4，3）， ∴OA的中点（2，），直线OA为yx， 设过OA的中点且垂直于OA的直线为yx+n， 把（2，）代入得，n， ∴n， ∴过OA的中点且垂直于OA的直线为yx， 令y＝0，则0x， 解得x， ∴B点的坐标为（，0）， 故B点的坐标为（﹣5，0），（5，0），（8，0），（，0）． 【变式训练2】（2025春•海口期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象交于A（6，2）和B（n，﹣3）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）连结OB，设点C为x轴上一点，使得△OBC为等腰三角形，求点C的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）分三种情况分别求出点C的坐标即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象交于A（6，2）和B（n，﹣3）两点． ∴m＝6×2＝n×（﹣3）， ∴m＝12，n＝﹣4， ∴反比例函数解析式为y， ∵点A（6，2）和B（﹣4，﹣3）在一次函数y＝kx+b的图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y； （2）根据两个函数图象及交点坐标，可知不等式的解集为：0＜x＜6或x＜﹣4． （3）∵B（﹣4，﹣3）， ∴OB5， 当OB＝OC时，点C（5，0）或（﹣5，0）， 当OB＝BC时，点C（﹣8，0）， 当点C在OB的垂直平分线与x轴的交点时，E（﹣2，） 直线OB的解析式为yx， 设直线CE的解析式为yb，将点E坐标代入得b，解得b， ∴直线CE的解析式为y， 当y＝0时，x， ∴C（，0）， 综上分析点C的坐标为点C（5，0）或（﹣5，0）或（﹣8，0）或（，0）． 【变式训练3】如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数y（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数y（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数y（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作PF⊥CD，垂足为F，设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2），根据等腰三角形性质列出方程求出m值即可得到点C坐标． 【解答】解：（1）直线AB交x轴于点A（4，0），∠BAO＝45°， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣4， 当y＝2时，x＝6， ∴P（6，2）， ∵点P在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，作PF⊥CD，垂足为F， 设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2）， ∵PD＝PC，PF⊥CD， ∴DF＝CF， ∴， ∴m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6（舍去）， ∴当C（2，﹣2）时，△CDP为等腰直角三角形． 【变式训练4】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，当比变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定； （3）根据S△ABO＝S△DBO+S△DAO即可求解； （4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k＝3， ∵B在y的图象上， ∴n＝﹣3． ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数图象上， ∴ 解得m＝1，b＝2． ∴两函数关系式分别是：y和y＝x+2． （2）由图象得：当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）设一次函数y＝x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD＝2， ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1） ∴S△DBO＝0.5×3×2＝3，S△DAO＝0.5×1×2＝1 ∴S△ABO＝S△DBO+S△DAO＝4． （4）由图象得，P（0，6）或P（0，）或 P（0， ）或P（0，）． 【变式训练5】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，2），点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P是y轴一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）把点（m，2）代入一次函数求出m的值，进而可得出A点坐标，把A点坐标代入反比例函数，求出k的值即可； （2）先求出C点坐标，再分AC＝PC与AC＝AP两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵点A（m，2）在一次函数的图象上， ∴m﹣1＝2， 解得m＝6， ∴A（6，2）， ∵A（6，2）在反比例函数的图象上， ∴2， 解得k＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵直线AB的解析式为， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴C（0，﹣1）， ∵A（6，2）， ∴AC3， 当AC＝PC时，设P（0，y），则|y+1|＝3，解得y＝31或y＝﹣31， ∴P1（0，31），P2（0，﹣31）； 当AC＝AP时，过点A作AD⊥y轴于点D，则CD＝3， ∴PD＝CD＝3， ∴P（0，5），即P3（0，5）， 综上所述，点P的坐标为P1（0，31），P2（0，﹣31），P3（0，5）． 题型二：平行四边形存在性问题 【典例精讲】（2025•镇江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC． （1）求点A、B的坐标和反比例函数的表达式； （2）点D、E分别在反比例函数和的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 　（﹣4，﹣2）　 、　（1，﹣2）　 ． 【分析】（1）由AC⊥BC可得△ACF～△CBN，利用对应边成比例及AC＝2BC可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求； （2）由A、B两点坐标可知AB∥x轴，根据点D、E分别在反比例函数和的图象上，设出两点坐标，因为D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴A（﹣1，2）， 作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCN＝90°， ∵∠CBN+∠BCN＝90°， ∴∠ACF＝∠CBN， ∵∠AFC＝∠BNC＝90°， ∴△AFC～△CNB， ∵AC＝2BC， ∴， ∵A（﹣1，2），点C的坐标为（3，0）， ∴， ∴BN＝2，CN＝1， ∴ON＝OC+CN＝4， ∴B（4，2）， ∵B（4，2）在反比例函数的图象上，代入得： k＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为； （2）设，， ∵A（﹣1，2），B（4，2）， ∴AB∥x轴，且AB＝5， ∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形， ∴AB∥DE，且DE＝AB，如图， ∴DE∥x轴，且DE＝5， ∴， 由②得：a＝﹣4b， 代入①得：|﹣4b﹣b|＝5， 解得：b1＝1，b2＝﹣1（舍）， 则a＝﹣4， ∴D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）． 故答案为：D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）． 【变式训练1】（2025•肥城市三模）如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段OF的长； （3）点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，请直接写出H点坐标． 【分析】（1）根据点A（0，2）得正方形ABCO的面积为4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得k＝4，由此即可得出该反比例函数的解析式； （2）设CE＝a，则OE＝a+2，EF＝a，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，整理得a2+2a＝4，再由勾股定理即可得出OF的长； （3）先求出点B（2，2），点G（1，4），再分两种情况讨论如下：①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，根据点O（0，0），点G（1，4）得点Q，设点H（m，n），则，，由此可得点H的坐标；②当OG是平行四边形OBHG的一边时，连接OH交BG于点P，根据点B（2，2），点G（1，4）得点P，由此可得点H的坐标，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵点A（0，2）， ∴OA＝2， ∴正方形ABCO的面积为4， ∵点B在反比例函数（k≠0）第一象限的图象上， ∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：k＝4， ∴该反比例函数的解析式为：； （2）设CE＝a， ∵四边形DCEF是正方形， ∴EF＝CE＝a， ∵四边形ABCO是正方形，OA＝2， ∴OC＝OA＝2， ∴OE＝OC+CE＝a+2， ∴S△OEFOE•EF， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OEF2， ∴， 整理得：a2+2a＝4， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF； （3）依题意得：点B（2，2）， ∵点G在该反比例函数图象上，它的纵坐标是4， ∴点G的坐标为（1，4）， ∵H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形， ∴有以下三种情况： ①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，如图1所示： ∴点Q是OG，BH的中点， ∵点O（0，0），点G（1，4）， ∴点Q的坐标为， 设点H的坐标为（m，n）， ∵点Q是BH的中点， ∴，， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴点H的坐标为（﹣1，2）； ②当OG是平行四边形OBHG的一边时， 连接OH交BG于点P，如图2所示： ∴点P是BG和OH的中点， ∵点B（2，2），点G（1，4）， ∴点P， ∴点H的坐标为（3，6）， 当OB为对角线时，连接GH，设GH交OB于点R，如图3所示： ∵点R是点O（0，0），点B（2，2）的中点， ∴点R的坐标为（1，1）， 设点H的坐标为（t，h）， ∵点G的坐标为（1，4）， ∴，， 解得：t＝1，h＝﹣2， ∴点H的坐标为（1，﹣2）， 综上所述：H点坐标是（﹣1，2）或（3，6）或（1，﹣2）． 【变式训练2】如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（4，2），B（﹣1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标． 【分析】（1）把A（4，2）代入y可得m＝8，即得反比例函数关系式为y，从而B（﹣1，﹣8），将A（4，2），B（﹣1，﹣8）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝2x﹣6； （2）在y＝2x﹣6中得C（0，﹣6），设M（x，），N（n，2n﹣6），而O（0，0），由CM、ON中点重合列方程组可以得解． 【解答】解：（1）把A（4，2）代入 得：， ∴m＝8． ∴反比例函数关系式为 ． 把B（﹣1，n）代入 得：， ∴B（﹣1，﹣8）． ∴． ∴． ∴一次函数的关系式为y＝2x﹣6． ∴反比例函数关系式为 ，一次函数的关系式为y＝2x﹣6． （2）在y＝2x﹣6中，令x＝0得y＝﹣6． ∴C（0，﹣6）． 设M（x，），N（y，2y﹣6），而O（0，0），四边形OCNM是平行四边形， ∴CM、ON的中点重合． ∴． ∴M（2，4）或（﹣2，﹣4）． 【变式训练3】如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）． （1）求反比例函数解析式； （2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）先求a，再求解析式． （2）数形结合，利用平行四边形的性质求D的坐标． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4）， ∴4＝4a， ∴a＝1， ∴A（1，4）， ∴k＝4×1＝4． ∴反比例函数的表达式为：y． （2）当x＝2时，y2， ∴B（2，2）． ∴BC＝2． ∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∵BC⊥x轴， ∴D的坐标为（1，2）或（1，6）． 题型三：直角三角形存在性问题 【典例精讲】如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出点C（﹣3，2），将点C（﹣3，2）代入y＝k/x之中求出k＝﹣6，由此可得反比例函数的表达式； （2）依题意有以下两种情况，①当∠CED＝90°时，证明四边形CEOB是矩形得CE＝OB＝2，设点E（t，0），则DE＝﹣2﹣t，CD2＝5，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出t＝﹣3，进而可得点E的坐标；②当∠DCE＝90°时，设E（a，0），则DE＝﹣2﹣a，CE2＝a2+6a+13，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出a＝﹣7，进而点E的坐标，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0）， ∴OA＝1，OB＝2，OD＝2， ∴AD＝OA+OD＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，BC∥AD， ∴点C的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形， ∴有以下两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1所示： ∴∠CED＝∠BOA＝90°， ∴CE∥OB， ∵BC∥AD， ∴四边形CEOB是矩形， ∴CE＝OB＝2， 设点E的坐标为（t，0），则DE＝﹣2﹣t， ∵CD2＝（﹣3+2）2+（2﹣0）2＝5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2， ∴22+（﹣2﹣t）2＝5， 整理得：（2+t）2＝1， ∴2+t＝1，2+t＝﹣1， 由2+t＝1，解得：t＝1（不合题意，舍去）， 由2+t＝﹣1，解得：t＝﹣3， ∴点E的坐标为（﹣3，0）； ②当∠DCE＝90°时，如图2所示： 设E（a，0）， 则DE＝﹣2﹣a， ∵CE2＝（﹣3﹣a）2+（2﹣0）2＝a2+6a+13， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2， ∴a2+6a+13+5＝（﹣2﹣a）2， 解得：a＝﹣7， ∴点E的坐标为（﹣7，0）． 综上所述：点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）． 【变式训练1】（2025秋•灞桥区校级月考）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（2，a）、B（8，﹣1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（8，﹣1）代入反比例函数求出m的值即可得出反比例函数的解析式，将A（2，a）代入反比例函数求出a的值即可得出点A的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得A（2，﹣4），B（8，﹣1），则AB2＝45，设P（m，0），则AP2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+1，再由勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（8，﹣1）， ∴， ∴m＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为， 将A（2，a）代入反比例函数可得：， ∴A（2，﹣4）， 将A（2，﹣4），B（8，﹣1）代入一次函数y＝kx+b（k≠0）可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）由（1）可得：A（2，﹣4），B（8，﹣1）， ∴AB2＝（8﹣2）2+[﹣1﹣（﹣4）]2＝36+9＝45， 设P（m，0）， 则AP2＝（2﹣m）2+（﹣4﹣0）2＝（2﹣m）2+16，BP2＝（8﹣m）2+（﹣1﹣0）2＝（8﹣m）2+1， ∵△ABP是以AB为斜边的直角三角形， ∴AP2+BP2＝AB2， ∴（2﹣m）2+16+（8﹣m）2+1＝45， 整理可得：m2﹣10m+20＝0， 解得，， ∴P或． 【变式训练2】（2025秋•沈阳月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（4，a）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出b的值． 【分析】（1）根据待定系数法即可得到答案； （2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式的解集； （3）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求得P的坐标． 【解答】解：（1）把 A（﹣2，﹣2）代入，得， ∴k＝4， ∴反比例函数的表达式为， 又∵B（a，1）在反比例函数图象上， ∴a＝4， ∴B（4，1）， 把 A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入一次函数 y＝mx+n得， ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图象可知，不等式的解集﹣2＜x＜0或x＞4； （3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为， ∴设另一条直角边的解析式为y＝﹣2x+b， 当直角顶点是A时，则有﹣2＝﹣2×（﹣2）+b， 解得b＝﹣6， 当直角顶点是B时，则有1＝﹣2×4+b， 解得b＝9， 综上所述b＝﹣6或9． 【变式训练3】如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣2． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出点B的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，A点横坐标与纵坐标分别与B点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围； （3）设P（m，0），根据勾股定理表示出PA2，PB2，AB2，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴点A的坐标为（﹣2，4）， ∵点A（﹣2，4）在反比例函数 的图象上， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为：， 又∵点A，B关于原点O对称，且点A的坐标为 （﹣2，4）， ∴点B的坐标为（2，﹣4）； （2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数y＝﹣2x的图象在反比例函数 的图象上方， ∴不等式的解集为 x≤﹣2或0＜x≤2； （3）点P的坐标为（10，0）或（﹣10，0）． 设P（m，0）， ∵A（﹣2，4），B（2，﹣4）， ∴AB2＝（2+2）2+（4+4）2＝80， PA2＝（m+2）2+42，PB2＝（m﹣2）2+42， 当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时， 则当PA边为斜边时，PA2＝AB2+PB2， 即（m+2）2+42＝80+（m﹣2）2+42， 解得：m＝10； 当PB边为斜边时，PB2＝AB2+PA2， 即（m﹣2）2+42＝80+（m+2）2+42， 解得：m＝﹣10， 故点P的坐标为：P（10，0）或P（﹣10，0）． 题型四：反比例函数与面积问题 【典例精讲】（2026•越秀区校级二模）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出一次函数大于反比例时的x取值范围； （3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得S△PAB＝S△BCD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B的横纵坐标相乘，求出m的值，进而求出D点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）先求出S△BCD，利用进行求解即可． 【解答】解：（1）∵B（﹣1，2）在双曲线上， ∴m＝﹣1×2＝﹣2， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝2时，y＝﹣1， ∴D（2，﹣1）； ∵B（﹣1，2），D（2，﹣1）在直线y＝kx+b（k≠0）上， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1； （2）观察图象得：当x＜﹣1或0＜x＜2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴一次函数大于反比例时x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜2； （3）存在； ∵四边形OABC是矩形，B（﹣1，2）， ∴A（﹣1，0），C（0，2）， ∴AB＝2，BC＝1， ∵D（2，﹣1）， ∴， 设点P的横坐标为a， ， ∵S△PAB＝S△BCD， ∴， 解得：或， 当时，yP＝﹣4；当时，； ∴存在点P或，使S△PAB＝S△BCD． 【变式训练1】（2026•周村区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，m），B（n，2），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点P，使得S△OCP＝4S△BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出m＝﹣1，n＝2，得到A（﹣4，﹣1），B（2，2），再利用待定系数法求解即可； （2）根据图象结合A（﹣4，﹣1），B（2，2），即可解答； （3）先求出D（0，1），C（﹣2，0）．设P（a，）（a＜0），根据S△OCP＝4S△BDO，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过A（﹣4，m），B（n，2）， ∴﹣4m＝2n＝4， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴A（﹣4，﹣1），B（2，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象过A，B点， ∴， ∴， ∴一次函数为y； （2）由题意，观察函数图象可得，不等式的解集是﹣4＜x＜0或x＞2； （3）存在． 对于y，当y＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y＝1， ∴D（0，1），C（﹣2，0）． 设P（a，）（a＜0）， ∵S△OCP＝4S△BDO， ∴41×2， ∴a＝﹣1， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）． 【变式训练2】（2026•怀宁县校级一模）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用点D的坐标求出一次函数的表达式，进而求出点A的坐标，再利用点A的坐标求出反比例函数的表达式； （2）先求出点B和点C，设点E（t，0），则CE＝|t+2|，利用割补法表示出△ABE的面积，解方程求出t的值． 【解答】解：（1）由题意可得，点D的坐标为（0，2）， ∴一次函数的表达式为y＝x+2， 将x＝﹣3代入y＝x+2，得y＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣3，﹣1）， 由条件可得： ， 解得k＝3， ∴反比例函数的表达式为； （2）假设存在，如图，设点E的坐标为（t，0）， 联立一次函数与反比例函数得： ， 解得或， ∴点B的坐标为（1，3）， 将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝|t﹣（﹣2）|＝|t+2|， ∵， ∴， 化简得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点E的坐标为或． 【变式训练3】（2026•阳谷县校级模拟）如图，矩形ABEF与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象相交于C、D两点，点C的坐标为（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝8，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m，可得点C、D坐标，继而求出反比例函数解析式； （2）先求出矩形的面积，进一步求得△PFC的面积，再设设P（m，），则根据三角形面积公式得到S△PFC，解方程求出m值可得点P坐标． 【解答】解：（1）∵C（m，2）、D（1，m+3）在反比例函数（k≠0，x＞0）的图象上， ∴k＝2m＝m+3， ∴m＝3， ∴C（3，2）、D（1，6）， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）存在，如图， ∵C（3，2）、D（1，6）， ∴BE＝3﹣1＝2， ∵AB＝8， ∴S矩形ABEF＝2×8＝16，FC＝8﹣2＝6， ∵△PFC的面积是矩形面积的一半， ∴S△PFC＝8， 设P（m，），则FC•|3﹣m|＝8， 即， 解得m或m， ∴P（，18）或（，）． 【变式训练4】（2026•太和县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n），B（2，1）． （1）求一次函数y＝kx+b、反比例函数的表达式； （2）若在x轴上存在一点P，使得△PAB的面积为6，求点P的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数的图象过点A（﹣1，n），B（2，1），求出m＝2，n＝﹣2，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出直线AB与x轴的交点坐标，设点P的横坐标为n，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）由题意得m＝2×1＝﹣1•n， ∴m＝2，n＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为， 由条件可得， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝x﹣1； （2）设直线AB与x轴交于点C， 由条件可得点C的坐标为（1，0）， 设点P的横坐标为n，则PC＝|1﹣n|， ∴△PAB的面积， 整理得|1﹣n|＝4， 解得n1＝﹣3，n2＝5， ∴点P的坐标为（﹣3，0）或（5，0）． 【变式训练5】（2025秋•平顶山期末）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）①填空：OC＝　2　 ，OD＝　2　 ； ②在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OCP＝4S△OBD，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）先将点B（1，3）代入反比例函数求出k，再代入点A（﹣3，a）求出a，最后将A、B两点代入一次函数y＝mx+n求出m、n，从而得到两个函数的表达式． （2）①由一次函数表达式求出与x轴、y轴的交点C、D的坐标，进而得到OC、OD的长度．②先计算S△OBD的面积，再根据S△OCP＝4S△OBD列出关于点P纵坐标的方程，结合反比例函数表达式求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得k＝3， ∴反比例函数表达式为， ∴， ∴A（﹣3，﹣1）． ∵A（﹣3，﹣1），B（1，3）在y＝mx+n上， ∴， 解得m＝1，n＝2， ∴一次函数表达式为y＝x+2； （2）①令y＝0，则 x+2＝0， 解得x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴OC＝2， ∵一次函数y＝x+2与y轴交于D， ∴令x＝0，y＝2， ∴D（0，2）， ∴OD＝2； 故答案为：2，2； ②由条件可知， ∵S△OCP＝4S△OBD， ∴S△OCP＝4×1＝4， ∵C（﹣2，0），∅C＝2， ∴， ∴|yP|＝4， ∴yP＝4或yP＝﹣4， ∵P在上， ∴当yP＝4时，则， 解得， ∴， ∴当yP＝﹣4时，， 解得， ∴， 答：存在点P，坐标为或． 题型五：最值问题 【典例精讲】（2026•郑州校级二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边所在直线的表达式是y＝x，且与反比例函数的图象交于点A（2，a），该边的对边与反比例函数的图象交于点C（1，b），交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）若P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值． 【分析】（1）将A（2，a）代入y＝x得，求得a＝2，再将A代入即可； （2）将C代入反比例函数解析式求得点坐标，由平行四边形对边平行可求得BC解析式，进而求得点B坐标，作A关于x轴的对称点D（2，﹣2），连接BD交x轴于P，由将军饮马模型可知DB即为所求最小值，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝x得a＝2， ∴A（2，2），代入得： 解得k＝4， ∴； （2）由条件可知C（1，4）， ∵平行四边形对边平行， ∴BC∥OA， ∴设BC解析式为y＝x+m，代入C（1，4）得： 1+m＝4， m＝3， ∴BC解析式为y＝x+3， 令x＝0，得y＝3， ∴B（0，3）， 作A关于x轴的对称点D（2，﹣2），连接BD交x轴于P，则DB即为PA+PB最小值，作DF⊥y轴， 在Rt△BDF中，． 【变式训练1】（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A．已知S△PAB＝8． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值． 【分析】（1）根据S△PAB＝8先求出b的值，再利用待定系数法进行计算即可； （2）先求出点Q的坐标，再根据轴对称的性质求出△MNQ周长的最小值即可． 【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+b得， y＝1+b， 所以点P坐标为（1，1+b）． 由x+b＝0得，x＝﹣b， 所以点B坐标为（﹣b，0）， 则AB＝1﹣（﹣b）＝1+b． 因为S△PAB＝8， 所以， 解得b＝3（舍负）， 所以点P坐标为（1，4），一次函数的解析式为y＝x+3． 将点P坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×4＝4， 所以反比例函数的解析式为y； （2）将x＝0代入y＝x+3得，y＝3， 所以点C坐标为（0，3）， 则OB＝OC， 所以△BOC是等腰直角三角形， 所以∠CBO＝45°． 因为点A坐标为（1，0）且点Q是A点关于y轴的对称点， 所以点Q坐标为（﹣1，0）． 过点Q作直线BC得对称点E，连接AE， 则当点M和点N分别在AE与y轴和BC的交点处时，△MNQ的周长取得最小值，即为AE的长． 由对称可知， ∠EBC＝∠CBO＝45°，BE＝BQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2， 所以∠EBO＝90°， 所以点E坐标为（﹣3，2）． 又因为点A坐标为（1，0）， 则AE， 所以△MNQ周长的最小值为． 【变式训练2】（2025秋•崂山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（1，3），且过点B（3，n）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点Q是x轴上的一点，且△ABQ的面积是2，求点Q的横坐标； （3）若P在x轴上一点，PA+PB取最小值时，P点的坐标为　　 ． 【分析】（1）直线与反比例函数的图象交于点A（1，3），代入得反比例函数解析式，再代入B（3，n），求出坐标后，将A，B代入一次函数解析式即可求解； （2）作QH⊥x轴交AB于H，设Q（a，0），则H（a，﹣a+4），分类讨论H在A，B之间时，H在A左侧时，H在B右侧时，根据△ABQ的面积是2列方程求解即可． （3）作A关于x轴对称点A1，连接A1B交x轴于P，求出A1B解析式，在求其与x轴交点即可． 【解答】解：（1）由题意，∵A（1，3）在的图象上， ∴m＝1×3＝3， ∴． ∵的图象过点B（3，n）， ∴， ∴B（3，1）， ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（1，3）和B（3，1）， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+4； （2）作QH⊥x轴交AB于H， 设Q（a，0），则H（a，﹣a+4）， 当H在A，B之间时， S△ABQ＝S△AHQ+S△BHQ， 则， ∴， ∴a＝2， ∴Q（2，0）； 当H 在A 左侧时， 则S△ABQ＝S△BHQ﹣S△AHQ， ∴， ∴， ∴a＝2（舍去）， 当H在B右侧时， 则S△ABQ＝S△AHQ﹣S△BHQ， ∴， ∴， ∴a＝6， ∴Q（6，0）， 综上所述，Q（2，0）或Q（6，0）； （3）作A关于x轴对称点A1，连接A1B交x轴于P， 则A1（1，﹣3）， 设A1B解析式为y＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴一次函数为y＝2x﹣5， 令y＝0时，2x﹣5＝0， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（2025秋•寿光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值． 【分析】（1）将点A（2，4）代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出n值即可； （2）根据题意得到x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分； （3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可解题． 【解答】解：（1）由条件可知m＝2×4＝8， 即反比例函数表达式为， 又∵点B（n，1）在反比例函数上， ∴n＝8； （2）由图象可知，当x＞8或0＜x＜2时，， 故不等式时x的取值范围为x＞8或0＜x＜2； （3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P， 则PA+PB的最小值等于BC的长， 过点B作BD⊥AC于点D， ∴C（2，﹣4），BD＝8﹣2＝6， ∴CD＝1﹣（﹣4）＝5， 在Rt△ABC中，． ∴PA+PB的最小值为． 题型五：菱形存在性问题 【典例精讲】（2025秋•太平区期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数y2的图象于C、D两点，已知：A（﹣2，0），C（1，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）连结DO，CO，求△COD的面积； （3）在一次函数y1＝kx+b上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得C、D的坐标，然后利用△COD的面积＝S△OBC+S△OBD即可求解； （3）分两种情况，①当OC为菱形的边时，OM＝OC，②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC，分别求解可得． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（1，3）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故一次函数表达式为：y1＝x+2， 将点C（1，3）代入y2得：3， ∴m＝3， 故反比例函数表达式为：y2； （2）联立一次函数和反比例函数可得：， 解得或， 故点C、D的坐标分别为（1，3）、（﹣3，﹣1）， 当x＝0时，y1＝0+2＝2， ∴B（0，2）， ∴△COD的面积＝S△OBC+S△OBDOB×（xC﹣xD）2×4＝4； （3）∵O（0，0），C（1，3）， ∴OC， ∵点M在直线y1＝x+2上， ∴设M（m，m+2）， ①当OC为菱形的边时，OM＝OC， ∴m2+（m+2）2＝10，即m2+2m﹣3＝0， 解得m＝﹣3或1， ∴M（﹣3，﹣1）； ②当OC为菱形的对角线时，OM＝MC， 即OM2＝MC2， ∴m2+（m+2）2＝（m﹣1）2+（m+2﹣3）2， 整理得8m＝﹣2， 解得m， ∴M（，）， 综上所述，M的坐标为（﹣3，﹣1）或（，）． 【变式训练1】如图，直线y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）直接写出不等式kx+b的解集． （3）点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点B坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以AB为一边时和当以AB为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【解答】解：（1）将点A的坐标（﹣2，4）代入反比例函数y中得： k1＝﹣2×4＝﹣8， ∴反比例函数的关系式为y； （2）∵点B的横坐标为﹣4， ∴y2， ∴B（﹣4，2）． 由图象可知，不等式kx+b的解集为﹣4≤x≤﹣2或x＞0； （3）①当以AB为一边时，如图， 则E（﹣2，0）； ②当以AB为一条对角线时，如图， 此时点D与原点重合，E（﹣6，6）， 综上，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，点E的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，6）． 【变式训练2】如图，已知直线yx与双曲线y交于A、B两点，且点A的横坐标为． （1）求k的值； （2）若双曲线y上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积； （3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）把点A的横坐标为代入yx求出其纵坐标，然后把A点的坐标代入y求出k即可． （2）根据纵坐标为3，求出横坐标，再求出过A，C两点的直线方程，然后根据△AOC的面积＝S△AOD﹣S△COD求解即可． （3）作点A关于直线y＝x的对称点N（1，）．作NP∥x轴交AB于P，作PM∥ON交x轴于M，此时四边形ONPM是菱形．作NP′∥y轴交OA于P′，作NM∥OA交y轴于M′，此时四边形OP′NM′是菱形，分别求出P，P′的坐标，再根据对称性即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A的横坐标为代入yx， ∴其纵坐标为1， 把点（，1）代入y，解得：k． （2）∵双曲线y上点C的纵坐标为3， ∴横坐标为， ∴过A，C两点的直线方程为：y＝kx+b，把点（，1），（，3），代入得： ， 解得：， ∴yx+4，设yx+4与x轴交点为D， 则D点坐标为（，0）， ∴△AOC的面积＝S△AOD﹣S△COD31． （3）作点A关于直线y＝x的对称点N（1，）．作NP∥x轴交AB于P，作PM∥ON交x轴于M，此时四边形ONPM是菱形． 可得：P（3，）． 作NP′∥y轴交OA于P′，作NM∥OA交y轴于M′，此时四边形OP′NM′是菱形，可得P′（1，）， 根据对称性可知：（﹣1，）或（﹣3，）也满足条件． 【变式训练3】如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD＝6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣2，2），反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D． （1）求点D的坐标和k的值； （2）将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积． （3）若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长． 【分析】（1）利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得出A的纵坐标，再用距离确定出点D的横坐标，将D的坐标代入y，利用待定系数法即可求出k； （2）利用平行四边形的性质得出点C点坐标为（2，﹣2）．设点C向上平移a个单位，根据C′（2，﹣2+a）在y的图象上，列出方程2（﹣2+a）＝8，求出a＝6，那么平移过程中线段AC扫过的面积是▱AA′C′C的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算； （3）利用菱形的性质得出直线PQ的解析式，根据点P，Q在双曲线上求出点P，Q的坐标，再根据两点间的距离公式求出PQ的长． 【解答】解：（1）设AD与y轴交于点E， ∵AD∥x轴， ∴A、D的纵坐标相同． ∵A（﹣2，2）， ∴AE＝2， ∴ED＝AD﹣AE＝4， ∴D（4，2）． ∵D在反比例函数y的图象上， ∴k＝4×2＝8； （2）∵在平行四边形ABCD中，原点O是对角线AC的中点， ∴C与A关于原点对称， ∴C（2，﹣2）． 设点C向上平移a个单位，则C′（2，﹣2+a）在y的图象上， ∴2（﹣2+a）＝8，解得a＝6． 设CC′与AD相交于F，则AF＝4． ∴平移过程中线段AC扫过的面积是6×4＝24； （3）∵四边形APCQ是菱形， ∴PQ⊥AC． ∵直线AC的解析式为y＝﹣x， ∴直线PQ的解析式为：y＝x， 设P点的坐标为（a，a）且a＞0，则点Q的坐标为（﹣a，﹣a）， ∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上， ∴a， 解得：a＝2， 故P的坐标为：（2，2），Q的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴PQ8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $