湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以“规”“矩”传统文化、奥运知识测试、Labubu生产等真实情境为载体，覆盖集合、复数、解三角形、立体几何、概率统计等高一核心知识，通过梯度设计考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、复数相等、异面直线位置关系|第5题结合“规”“矩”文化考查解三角形，体现数学眼光| |填空题|3题15分|三角化简、射击概率、三角形面积|第13题以射击为背景，强化数学思维的应用| |解答题|5题77分|向量运算、正方体线面证明、统计图表分析、立体几何二面角、函数利润模型|第19题通过生产利润问题，考查数学语言表达现实问题的能力，契合真题应用导向|

湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B A A B BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】应用集合的交运算求结果即可. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B 2．B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 3．D 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以. 故选：D. 4．D 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 5．B 【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可. 【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径， 即半径，故D错误； 对于A：由正弦定理，可得，故A错误； 对于B、C：由题意可得：，解得， 因为，则，可知为锐角，可得， 余弦定理，即， 解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误； 故选：B. 6．A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 7．A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 8．B 【分析】将三棱锥补全成为长方体，那么长方体的外接球即是三棱锥的外接球，然后根据长方体的外接球半径为体对角线的一半求得半径，最后根据球的表面积公式求得结果. 【详解】将三棱锥补全成为长方体，那么该三棱锥的外接球也是长方体的外接球， 则外接球半径为 . 那么三棱锥的外接球的表面积为 . 故选：B. 9．BCD 【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D. 【详解】对于A,若，满足，但，故A错误， 对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确， 对于C，，C正确， 对于D，设，,故，故，，故D正确， 故选：BCD 10．ACD 【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：， B地月降雨量按升序排列可得：， 对于选项A：可知A地月平均降雨量为， B地月平均降雨量为， 因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确； 对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为， 因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误； 对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为， 因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确； 对于选项D：因为， 可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40， 且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD. 11．BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13．/0.95 【分析】方法一：设出事件，根据进行求解； 方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，， 所以目标至少被击中1次的概率 ； 方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B， 则，，，， 所以目标没有被击中的概率为， 目标至少被击中1次的概率为 故答案为：. 14． 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【详解】（1），； （2）， ，因为， 所以， 即. 16．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. （2）连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 17．(1)84分 (2)71分 (3) 【分析】（1）应用百分位数的求法求样本的第80百分位数； （2）根据直方图平均数的求法求平均分； （3）应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】（1）由图知， 则该样本的第80百分位数在区间内，设为， 所以，可得分； （2）由，可得， 所以样本平均分分； （3）由（2）及题设，6名同学分别来自和有2名、4名， 设的2名为，的4名为， 所以任意抽取2人的基本事件有，共15种， 其中两组各抽一名有，共8种， 所以所求概率为. 18．(1)证明：四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论； （2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，求解即可； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可. 【详解】（1）略 （2）过作于，连接， 由（1）可知平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又，所以，解得， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 【点睛】 19．(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 5．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（    ） A． B．△ABC周长为 C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为 6．若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 8．在三棱锥中，平面，， ，，则三棱锥 的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 2、 选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 10．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（   ） A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 11．函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．化简：______． 13．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为，，则目标至少被击中1次的概率为______． 14．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量， (1)求； (2)若，求实数的值． 16．如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 17．2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求该样本的第80百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率. 18．如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 19．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $