湖南省衡阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 衡阳市高一下期末数学试卷立足高一核心知识，以立体几何（如第8题球表面积）、概率统计（如第18题频率分布直方图）为载体，融合欧拉公式（17题）等创新情境，考查空间观念、数据意识与逻辑推理，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、函数奇偶性与单调性、概率、立体几何位置关系|第4题分层抽样结合图表，考查数据处理能力| |选择题（多选）|3/18|棱柱性质、概率事件关系、正方体中点线面关系|第10题正八面体概率，情境真实且区分度高| |填空题|3/15|向量垂直、盲盒概率、球外切问题|第14题多球外切与半球碗结合，考查空间想象| |解答题|5/77|向量运算、立体几何面面垂直与二面角、复数、统计、解三角形|17题引入欧拉公式，18题频率分布直方图分析，体现数学语言表达与应用意识|

湖南省衡阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A A A D AD BD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用并集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2．A 【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可； 【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确； 对于B，，不是奇函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，在区间上是减函数；故D错误； 故选：A. 3．A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 4．B 【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解. 【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是， 又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人． 故选：B． 5．A 【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得. 【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确； ②若且，则可能相交或平行，错误 ③由，，根据面面垂直的判定有，正确； ④若且，则或异面都有可能，错误； 因此正确命题的序号为①③. 故选：A． 6．A 【分析】建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入向量公式，即可求二面角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 令，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 故选：A． 7．A 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 8．D 【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果. 【详解】 根据正方体，得，，所以平面， 四边形是矩形，其中，， 的三边为， ，， ， 设的外接圆半径为，则， 于是， 设矩形的外接圆半径为，则， 设球心为，过作平面，垂足为， 过作平面，垂足为， 则是矩形的外心，是三角形的外心， 取中点，则， 于是平面， 所以四边形是矩形. 设球半径为，， 则， 于是球的表面积为. 故选：D. 9．AD 【分析】根据棱柱、正棱柱、正棱锥和圆柱的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由棱柱定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，所以A正确； 当长方体底面的长宽高互不相等时，该长方体不是正四棱柱，所以B错误； 底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以C错误； 根据圆柱的定义，可得圆柱的所有母线长都相等，所以D正确. 故选：AD. 10．BD 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 事件与共有样本点，所以不互斥，故错误； 事件的样本点为，所以，故正确； ，的样本点为，所以，所以事件与不相互独立，故错误； 事件的样本点为，所以，，故正确； 故选：. 11．ABD 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 12．/0.28 【分析】由向量共线关系得出方程，求解，再由余弦二倍角求得结果. 【详解】由，可得，即， ，解得：或（舍）， ． 故答案为：. 13． 【分析】利用列举法列出样本空间，根据古典概率的公式计算. 【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为， 小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下：，共6种情况， 其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有：，包含2种， 所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 15．(1) (2)且 【分析】（1）根据向量垂直得到数量积为0，得到，齐次化变形，代入求值； （2）计算出，利用夹角为锐角，得到且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）⊥，故， 故， ； （2），，， 与的夹角为锐角，故， 解得， 且与不同向共线，即，即， 综上，且； 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据题意可知，，然后根据面面平行的判定定理可得结果； （2）通过等价转化为平面与平面所成的角，然后通过作图找到角，并计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得，且，所以四边形为平行四边形， 同理，与平行且相等，所以四边形为平行四边形，故. 又，，平面，平面， 所以平面平面. （2）由平面平面，得平面与平面所成的角即为平面与平面所成的角. 如图，作点在平面上的投影E，连接，交于点，连接，，可知，则即为二面角的平面角. 因为，所以，， 故. 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 18．(1) (2) (3)（ⅰ）答案详见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. （2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. （3）解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角； （2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解； （3）有正弦定理可得，再利用和差及辅助角公式化解，结合锐角三角形确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，，所以. 因为，所以. （2）因为，所以， 所以， 所以， 因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为. （3）由正弦定理可得， 则， 故， 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以， 则，即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则集合（      ） A． B． C． D． 2．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（    ） A．10 B．20 C．25 D．40 5．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： ①若垂直于内两条相交直线，则； ②若且，则； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的序号是（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②④ 6．已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 8．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．长方体是正四棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．圆柱的所有母线长都相等 10．如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥 B． C．事件与相互独立 D． 11．如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的正弦值为 B．平面 C．直线与是异面直线 D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，若，则_______ 13．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为________. 14．如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知平面向量，. (1)若⊥，求的值； (2)若，且与的夹角为锐角，求的取值范围. 16．如图，一个水平放置的边长为的等边三角形绕着中心点O逆时针旋转，再沿竖直方向平移一定距离后，连接，，，，，，此时侧面三角形，，，正好都是等边三角形. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面所成角的余弦值. 17．已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 18．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； (3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19．在中，角的对边分别是，向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $