湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以AI技术、经济数据等真实情境为载体，融合数列、概率统计、立体几何等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差数列、正态分布、函数概念|基础巩固，如第6题广告投入线性回归| |填空题|3题15分|复数运算、二阶不动点、不等式|创新应用，如第13题“二阶不动点”定义新情境| |解答题|5题77分|抛物线与椭圆综合、独立性检验、立体几何、导数|情境真实，如第16题AI提问性别差异分析；综合探究，如第19题导数恒成立问题|

湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 5．将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．72种 6．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（   ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88 7．除以64的余数为（   ） A．13 B．33 C．23 D．31 8．已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为2 C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数满足，则_____. 13．若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”．给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______． 14．已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 16．在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）已经成为推动人类社会进步的重要力量.某AI工具提供聊天机器人、写作助手以及学习助手等功能，它可以回答各种问题并进行对话，帮助人们获取信息.为了解性别因素是否对该AI工具提问的经常性有影响，随机调查了200人，得到如下列联表： （单位：人） 性别 提问情况 合计 经常提问 不经常提问 女性 50 男性 65 100 合计 (1)请补全列联表，依据小概率值的独立性检验，说明女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面是否存在差异？ (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个.若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 17．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 18．如图，已知平面平面，，，． (1)求证：； (2)若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 19．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A B C B D BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为，所以． 2．B 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得，故B正确. 3．C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 4．A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 5．B 【分析】先取2人作为一组，把3组分配取参加3项工作，再由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先取2人为一组有种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有种， 根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有 故选：B 6．C 【分析】求得样本中心点，得到，即可求解. 【详解】由， 可得数据可得样本中心点为： 代入回归方程，解得：， 所以当时，． 故选：C 7．B 【分析】利用二项式定理得到，所求余数即为801除以64的余数，得到答案. 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数. 因为，所以除以64的余数为33. 故选：B 8．D 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 9．BD 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变形逐项求出对应的解析式即可判断得解. 【详解】由图象变换可得，则的最小正周期，A错误，B正确．，，C错误，D正确． 故选：BD 10．ACD 【分析】对于A和B，通过赋值法，即可求解；对于C，利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D，对展开式两边求导，再赋值，即可求解. 【详解】对于A，令，得，所以A正确； 对于B，令，得，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，对两边同时求导， 得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】根据复数的乘方与除法运算可求得，进而可求得. 【详解】由，可得，所以， 所以，. 故答案为：. 13． 【分析】根据定义解方程可得“二阶不动点”，然后求和即可. 【详解】时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意， 所以的“二阶不动点”有：，和为， 故答案为：. 14．12 【分析】整理等式构造函数，利用导数求得函数的单调性，从而化简等式，根据所得等量关系，整理代数式的函数解析式，利用导数求得最值. 【详解】由，则， 令，求导可得，令， 求导可得，由得，由得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故函数在上单调递增， 由，则，即， 令， 求导可得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线焦半径，即可求解. （2）求出直线的方程为，然后与椭圆联立后消去后得，则，求得，再结合点在椭圆T上即可求解. 【详解】（1）根据题意可知，解得． 故的值为. （2）由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 16．(1)表格见解析，可以认为女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异. (2) 【分析】（1）完善列联表，求出的观测值，并与临界值比对即得. （2）求出恰好答对3个问题的概率，再作商探讨最大值即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 提问情况 合计 经常提问 不经常提问 女性 50 50 100 男性 65 35 100 合计 115 85 200 零假设：女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异， 根据表中数据计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为女性和男性在对该AI工具提问的经常性方面无差异. （2）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且得， 所以， 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即， 所以所求. 17．(1)相关系数约为，回归方程为. (2)第、年的利润约为亿元、亿元. 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【详解】（1）由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. （2）在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到 （2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值 【详解】（1）∵，，∴四边形为直角梯形， 又，，易得，． ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴． （2）∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵三棱锥的体积为，∴， 即，解得．∴，，，， ∴，，，设平面的法向量为， 则，得，令，得，∴， 易知平面的一个法向量为， ∴， 故二面角的余弦值为． 19．(1) (2) 【分析】（1）由条件求，再由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程并化简； （2）条件可转化为在上恒成立，利用导数求的最小值，由此可得结论. 【详解】（1）时，，， 函数的导函数为，故， 所以函数在处的切线方程为，即． （2）由任意，知恒成立． 因为，所以， 故在上恒成立． 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，也是最小值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $