湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷01（人教A版）

**基本信息** 以端午节晚会节目安排、课外阅读竞赛调查等真实情境为载体，通过导数应用、概率统计、立体几何等综合问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高二期末核心知识检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数几何意义、向量共线、三角函数平移|第5题排列组合结合节目安排，体现数学应用| |多选|3/18|概率性质、函数切线与单调性、二项分布|第11题对比有放回与不放回抽样，培养数据分析| |填空|3/15|条件概率、函数单调性、交换操作问题|第14题两次交换后白球个数，考查逻辑推理| |解答|5/77|椭圆与抛物线综合、独立性检验、立体几何二面角、函数奇偶性与恒成立问题、操作交换概率|第16题结合联表与数学期望，第19题操作交换趋向性分析，突出模型意识与创新思维|

湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷01 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A A B D B AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据排列数公式及组合数公式计算可得. 【详解】由题意得，故C正确. 故选：C. 2．A 【分析】根据已知可得出，然后根据导数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 根据导数的概念可知，在处的导数. 故选：A. 3．B 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 4．A 【详解】由题意得，， 可得， 因为 位于函数的图象上 所以， 可得， s的最小值为，故选A. 【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换. 5．A 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 6．B 【详解】设事件A为“抽到的学生物理成绩优秀”，事件为“抽到的是男生”，事件为“抽到的是女生”， 则，， 已知， 代入全概率公式得： ． 7．D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 8．B 【分析】易知是一个零点，当时，分离参数可得，构造函数，根据导数与单调性及极值的关系得到的单调性，求出的值域，即可求解. 【详解】令，则. 当时，左边，右边，所以是方程的一个零点. 当时，可化为. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即当时，恒成立. 又，所以当时，恒成立， 所以在和上单调递增， 所以当时，；当时，， 即当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，所以为偶函数. 当时，. 令，则，则. 根据导数定义，而， 所以当时，，又当或时，. 所以，即，则的取值可以是，故B正确. 9．AB 【详解】由题意，第二次取出的卡片是2的概率为，A正确； 由全概率公式得，第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为 ，B正确，C错误； 易知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为，故D错误． 10．ACD 【分析】对于A，求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线方程即可判断；对于B，取代入不等式即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，结合单调性比较的大小即可判断；对于D，证明为奇函数，结合奇函数性质即可判断. 【详解】对于A：， ，曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为当时，，B错误； 对于C：因为 令，得或；令，得， 在和上单调递减，在上单调递增， 当时，，结合在上单调递增， 可得，故C正确； 对于D：函数的定义域为， 令，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，即函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 故函数的图象关于中心对称， 故点是函数图象的对称中心，D正确. 11．BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】可先设出相关事件，再根据全概率公式求出第一次取出红球的概率，以及第一次取出红球且第二次取出白球的概率，最后根据条件概率公式计算所求概率. 【详解】设事件表示“第一次取出的球是红球”，事件表示“第二次取出的球是白球”，事件表示“取到的是甲袋子”，事件表示“取到的是乙袋子”， 易知，； 从甲袋子中第一次取出红球后，袋子里还剩3个白球和1个红球， 此时第二次取出白球的概率为，所以； 从乙袋子中第一次取出红球后，袋子里还剩4个白球和3个红球， 此时第二次取出白球的概率为，所以； 所以， ； 因此. 13． 【分析】通过，在恒成立，分离参数，得到 ，再通过换元，转换成求二次函数最值即可求解. 【详解】求导得： ， 由题意，在恒成立， 即 ，在恒成立， 即大于等于的最大值， 由，代入右边化简： 令，则， 设二次函数，该二次函数开口向下，对称轴为， 代入对称轴得最大值： ， 故，因此的取值范围是. 14． 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 15．(1) 抛物线标准方程为，椭圆标准方程为 (2) 的面积为 【分析】（1）通过已知点求出抛物线方程，结合共焦点的条件求出椭圆方程； （2）求过切线与抛物线方程联立求出切线的斜率进而求出切线方程，接着联立切线方程和椭圆方程求出交点坐标，从而求出三角形的面积. 【详解】（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2） ， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. 16．(1)有把握 (2) 【分析】（1）根据2×2列联表中的信息，计算，判断满意程度与性别是否有关系即可； （2）根据独立事件概率的乘法公式，计算出每人进入下一环节的概率，进入下一环节人数服从二项分布，根据二项分布均值公式，求出均值即可. 【详解】（1）提出统计假设：满意程度与性别无关. 根据列联表中的数据，计算得. 所以否定假设，所以有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系. （2）依题意，设事件“某学生答对第i道题”（，2，3），“某学生进入下一环节”， 则，，. 因为， 所以， . 依题意，，所以. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】（1）在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为 △PAD是正三角形，是的中点，则， 又，，平面， 所以平面； （2）取中点为，中点为，连接,建立如图所示的空间直角坐标系， , 所以, 设平面的法向量为，则 ，取，则， 由（1）知是平面的一条法向量，, 设平面与平面所成二面角的平面角为， 则      18．(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 19．(1)分布列见解析， (2)50 (3)，理由见解析 【分析】（1）第一问就是用相互独立事件同时发生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可计算出结果； （2）第二问关键是看懂题意，即甲口袋中黑球个数为0个时，，甲口袋中黑球个数不为0个时，，所以要想数列的前100项和最大，则尽最大可能让甲口袋中黑球个数为0，从而得到问题的解法及结果； （3）第三问关键是找到第次交换球后的概率与第次交换球后的概率关系，有了第次交换球后的概率分布，就可以计算第次甲口袋中黑球期望与第次的期望关系，从而构造成等比数列求出，再用极限思想就可以得到结果. 【详解】（1）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球. 从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作， 记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 即； （2）根据题设可得不可能同时为1，故， 由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球， 即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换， 这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时， 之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则， 我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则， 这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50； （3）设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率， 则， ， ， ， 所以 ， 由上可得期望的递推关系：， 变形构造为：，由(1)得，所以， 即数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为. 【点睛】方法点睛：本题创新在第二问数列求和的最大值，看似是一个很难很麻烦的问题，但我们能构理解题意，找到问题可能发生的结果，甚至不用计算，就能得到结果。关键就是在于问题的分析能力. 而第三问就重在能找到一个递推关系，而期望是必须研究甲口袋中的黑球个数取时的概率分布列，所以由此想找到的是概率递推关系，从而就可以不断深入研究期望的递推关系，从而解决问题，这个题的亮点就是与数列的递推综合来解决概率问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷01 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（    ） A．63 B．10 C．21 D．0 2．若，则可导函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知向量，，若，则=（    ） A． B． C． D．12 4．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ） A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 5．为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 6．高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 7．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 8．已知函数有3个零点，则可以是（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连续取两次，若第一次取出的卡片不放回，则下列结论正确的是（    ） A．第二次取出的卡片是2的概率为 B．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为 C．第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为 D．第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的数字的概率为 10．已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 11．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________． 13．已知函数为减函数，则实数的取值范围是___________． 14．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 16．某学校举办了“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2×2列联表：（单位：人） 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 (1)是否有99.9%的把握认为满意程度与性别有关系？ (2)有20名学生进入竞赛的某环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入下一环节.若每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.用X表示能进入下一环节的人数，求X的数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 18．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为. (1)写出的分布列并计算； (2)某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值； (3)定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $