微专题1 k的几何意义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

微专题1 k的几何意义 反比例函数图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k． 题型一：利用k值求三角形的面积 【典例精讲】（2026春•南关区校级月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用A﹣S△BOA进行计算即可． 【解答】解：由条件可知，， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：D． 【变式训练1】（2026•宜都市模拟）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，AB∥x轴，点P在x轴上，连接PA、PB，则△PAB的面积为（　　） A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【分析】连接OA，OB，设AB与y轴交于点C，将△PAB 面积转化为△OAB的面积，然后结合反比例函数系数 k 的几何意义求解． 【解答】解：如图，连接 OA，OB，设 AB 与 y 轴交于点 C， 由条件可知S△PAB=S△OAB， ∵点 A，B 分别为反比例函数 与的图象上的点， ∴S△OAC=，S△OBC=， ∴S△PAB=S△OAB=2+4.5=6.5． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•灞桥区校级期末）如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，C为y轴上的一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 . 【分析】连接OA，得到△ABC和△OAB的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数k的几何意义求得△ABC的面积． 【解答】解：连接OA，如图， 由条件可知AB∥y轴， ∴点O和点C到AB的距离相等， ∴S△ABC=S△OAB=3， 故答案为：3． 【变式训练3】（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD=3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 . 【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD=S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S，进而得到四边形BDCE的面积为12S+3S=15S，即△AOD的面积为15S，即可得出△BDC与△ADO的面积比． 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E， ∵AB⊥x轴于点B， ∴S△AOB=S△COE， ∴S△AOD=S四边形BDCE， 设△BDO的面积为S， ∵CD=3OD， ∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S， ∵BD∥CE， ∴BE=3OB， ∴△BCE的面积为12S， ∴四边形BDCE的面积为12S+3S=15S， 即△AOD的面积为15S， ∴△BDC与△ADO的面积比为3：15=1：5， 故答案为：1：5． 题型二：根据三角形的面积求k值 【典例精讲】（2026春•东城区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为　﹣5　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义及其基本模型计算即可． 【解答】解：由条件可得，， ∴， ∴|k|＝5， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【变式训练1】（2025秋•九江期末）如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接OM．若△MON的面积为2，则k＝　﹣4　 ． 【分析】由题意得，解得k＝±4，又k＜0，所以k＝﹣4，从而求解． 【解答】解：由条件可知， ∴k＝±4， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【变式训练2】（2026•宝安区校级三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值为　﹣10　 ． 【分析】设A的点的坐标是（m，n），则AB＝﹣m，OB＝n，mn＝k．根据三角形的面积公式即可求得mn的值，即可求得k的值． 【解答】解：连接AO， 设A（m，n）， ∵点A在第二象限，△ABP的面积为5， ∴AB＝﹣m，OB＝n，mn＝k， ∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴S△AOB＝S△ABP＝5， ∴，即， ∴mn＝﹣10， 则k＝mn＝﹣10． 故答案是：﹣10． 【变式训练3】（2026•碑林区校级二模）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是12，则k的值为　8　 ． 【分析】依据题意，过A作AD⊥x轴于点D，再设A（a，）（a＞0），从而可得OC＝2OD＝2a，再求出直线OA为yx，然后联立，可得B的坐标，最后结合S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝12，进而可得k的方程，计算即可得解． 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a． 又设直线OA为y＝mx， ∴ma． ∴m． ∴直线OA为yx． 联立， ∴x2． ∴x＝±． ∴B（，）． ∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC OC•|yB|OC•|yA| 2a（） k． 又∵S△ABC＝12， ∴k＝12． ∴k＝8． 故答案为：8． 题型三：利用k值求四边形的面积 【典例精讲】（2025秋•临县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　8　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为四边形ACBD是矩形，A，B两点在反比例函数的图象上， 所以四边形ANOM是矩形， 则S矩形ANOM＝2， 所以S矩形ACBD＝4S矩形ANOM＝8． 故答案为：8． 【变式训练1】（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　4　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 【变式训练2】（2026•茌平区二模）已知反比例函数与在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 　3　 ． 【分析】如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H，利用矩形性质及反比例函数k值几何意义解答即可． 【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H， ∵平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上， ∴S矩形ADOG＝2，S矩形BDOH＝5， ∴S矩形AGHB＝5﹣2＝3， ∴S矩形AGHB＝AB•AG＝S▱AOCB＝3， 故答案为：3． 【变式训练3】（2026•沈河区一模）如图，A，B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为　﹣4　 ． 【分析】用“空白面积+阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积，根据反比例函数的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【解答】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为G，C，E，F，BF与AG交于点D，两个空白的矩形面积分别表示为S1，S2， ∵点A、B是双曲线上的点， ∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝|k|， 即S1+S阴影DGOF＝k，S2+S阴影DGOF＝k， ∴S1+S2+2S阴影DGOF＝2|k|， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴6+2×1＝2|k|， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式训练4】（2026•广东一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积是　16　 ． 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积＝△COD的面积＝5，△AOE的面积＝△CBD的面积＝3，最后计算平行四边形OABC的面积． 【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，则∠AEB＝∠CDO＝90°， 由条件可知AB＝CO，AB∥CO， ∴∠ABE＝∠COD， ∴△ABE≌△COD（AAS）， ∴△ABE与△COD的面积相等， ∴△ABE的面积＝△COD的面积， 同理可得：△AOE的面积＝△CBD的面积3， ∴平行四边形OABC的面积2×（3+5）＝16， 故答案为：16． 题型四：利用四边形的面积求k值 【典例精讲】（2026•天山区校级一模）如图，P是反比例函数y的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的比例系数是　﹣6　 ． 【分析】设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）． ∵P（x，y）在反比例函数y的图象上， ∴k＝xy， ∴|xy|＝6， ∵点P在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【变式训练1】（2026春•扶绥县校级期中）如图所示，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是（　　） A．y B．y C．y D．y 【分析】由于矩形PEOF的面积为|k|＝3，又函数位于二、四象限，k＜0，故反比例函数的解析式即可得出． 【解答】解：由于P为反比例函数图象上一点，则矩形的面积为|k|＝3， 又函数图象位于二、四象限，则k＜0，k＝﹣3， 故反比例函数解析式y， 故选：C． 【变式训练2】（2026•宽城区校级模拟）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为（　　） A．3 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣4 【分析】根据题意，求出OC的长，据此得出AB的长，进一步得出点A的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3， ∴OC＝1． ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AB＝OC＝1， ∴点A坐标为（﹣2，3）． 将点A坐标代入y得， k＝﹣2×3＝﹣6． 故选：B． 【变式训练3】如图，反比例函数的图象经过▫OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S▱OABC=3，则k的值为 . 【分析】根据平行四边形的面积求出BC，判断出点C的坐标即可解决问题． 【解答】解：∵四边形AOBC是平行四边形， ∴BC=OA，BC∥OA， ∵点B（3，1），S▱OABC=3， ∴3•BC=3， ∴BC=1， ∴C（3，2）， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴k=6． 故答案为：6． 题型五：利用k的值求阴影部分的面积 【典例精讲】（2025春•工业园区校级期中）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝4，则S1+S3＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】设反比例函数解析式为，根据OA：AB：BC＝1：2：3，设OA＝n，AB＝2n，BC＝3n，得到OB＝3n，OC＝6n，故，，，分别表示面积，解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为，由条件可设OA＝n，AB＝2n，BC＝3n， 得到OB＝3n，OC＝6n， 故，，， ， 解得k＝12， 故，，， 故，， 故， 故，， 故S1＝2；S3＝8， 故S1+S3＝8+2＝10； 故选：A． 【变式训练1】（2025•河北模拟）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则k＝　18　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，∵点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上． ∴S矩形ACOF＝k，S矩形BDOE＝6， ∵阴影部分的面积为12， ∴k﹣6＝12， ∴k＝18． 故答案为：18． 【变式训练2】（2025•肇东市一模）如图，矩形OABC，顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点O为坐标原点，点B在函数y1（x＞0）的图象上，边AB与函数y2（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 　3　 ． 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积． 【解答】解：∵D是反比例函数y2（x＞0）的图象上一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为2＝1， ∵点B在函数y1（x＞0）的图象上，四边形OABC为矩形， ∴矩形ABCO的面积为4， ∴阴影部分ODBC的面积＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【变式训练3】（2025•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别为反比例函数与，点C，D在x轴上，BA，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为　　 ． 【分析】设点，求出OF、EF的长，根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案． 【解答】解：设点a＞0， 则， ∴B的纵坐标为， ∴， ∴， ∴B的横坐标为， ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DOF， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五：利用k值求面积之间的关系 【典例精讲】（2025秋•娄星区期末）如图所示，过反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S1，S2，那么它们的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|． 【解答】解：依题意有：Rt△AOC和Rt△BOD的面积是个定值|k|． 所以S1＝S2． 故选：B． 【变式训练1】（2026•扬州）一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2 【分析】依据由题，设点M坐标为（x1，y1），点N坐标为（x2，y2），根据点M在反比例函数图象上可得S1的值，根据点N在反比例函数图象上方可得S2与S1的关系；根据点M在一次函数图象上可得C1的值，根据点N在一次函数图象下方可得C2与C1的关系． 【解答】解：由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∵点M在反比例函数图象上， ∴x1y1＝k， ∴S1＝x1y1＝k， ∵点N在反比例函数图象的上方， ∴，即x2y2＞k， ∴S2＝x2y2＞k， ∴S1＜S2， ∵点M在一次函数y＝﹣x+b图象上， ∴．y1＝﹣x1+b，即x1+y1＝b， ∵矩形MAOB， ∴OB＝MA，BM＝OA， ∴C1＝2（x1+y1）＝2b， ∵点N在一次函数图象的下方， ∴y2＜﹣x2+b，即x2+y2＜b， ∵矩形NCOD， ∴DM＝OC，CN＝OD， ∴C2＝2（x2+y2）＜2b， ∴C1＞C2， 综上所述，S1＜S2，C1＞C2． 故选：B． 【变式训练2】（2024•港南区四模）如图，过点O作直线与双曲线y（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是　2S1＝S2 ． 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC＝﹣k、S△AOMk，再根据中位线的性质即可得出S△EOF＝4S△AOM＝﹣2k，由此即可得出S1、S2的数学量关系． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示． ∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴S矩形ODBC＝﹣k，S△AOMk． ∵AE＝AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴， ∴AMOF，ME＝OMOE， ∴S△EOFOE•OF＝4S△AOM＝﹣2k， ∴2S矩形ODBC＝S△EOF， 即2S1＝S2． 故答案为：2S1＝S2． 题型六：根据面积之间的关系求k值 【典例精讲】（2026春•盐城月考）如图，已知点G在矩形OABC的对角线OB上，GD⊥AB，垂足为D，GE⊥BC，垂足为E，点D和点E都在反比例函数（x＞0）的图象上，连接OD，若四边形OGEC与△DGO的面积之差为，则k＝　　 ． 【分析】设矩形顶点坐标，求出对角线OB解析式，设出G点坐标，依据垂直关系写出D、E坐标，将两点代入反比例函数得到bm＝k；分别算出直角梯形OGEC与△DGO的面积，利用二者面积差为列出等式，把bm替换成k，计算得出k的值． 【解答】解：设原点O（0，0），矩形OABC中B（a，b）， 对角线OB的解析式为， 设G点坐标为， ∵GD⊥AB、GE⊥BC， ∴D点坐标为（m，b），E点坐标为， ∴，即bm＝k， 用坐标法求得面积：， △DGO的面积：， 根据题意，面积差为：， 代入bm＝k，得，即． 故答案为：2． 【变式训练1】如图，点A，B在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之差为1，则k的值为 　5　 ． 【分析】根据题意正确列出方程．根据题意求得A、B、C、D四边的坐标，再根据△OAC与△ABD的面积之差为1，列方程求解即可． 【解答】解：∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为2，4， ∴点C，D的横坐标分别为2，4， 又∵点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上， ∴，，，， ∴，， 由图形可得，， 由题意可得：S△OAC﹣S△ABD＝1，即， 解得k＝5 故答案为：5． 【变式训练2】如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y=在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为　12　 ． 【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b,则可表示出D（a,a-b），F（a+b,a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b,），由于点E与点D的纵坐标相同，所以=a-b,则a2-b2=k,然后利用正方形的面积公式易得k=12． 【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b,则D（a,a-b），F（a+b,a）， 所以E（a+b,）， 所以=a-b, ∴（a+b）（a-b）=k, ∴a2-b2=k, ∵两正方形的面积差为12， ∴k=12． 故答案为：12． 题型七：k值与等腰三角形 【典例精讲】（2024春•南阳期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△A2023A2024B2024的面积分别为S1，S2，S3，…，S2024，则S2024的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】通过计算得到规律是解题的关键．根据题意得到规律即可解题． 【解答】解：分别过点B1，B2，B3，…，Bn作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，…，∁n． 设，则C1（m，0），C2（3m，0），C3（5m，0），…，∁n（（2n﹣1）m，0）， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故选：C． 【变式训练1】如图，△OAB是面积为4的等腰三角形，底边OA在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（　　） A． B． C．. D． 【分析】作BD⊥x轴，根据条件可得S△OBDS△AOB2，所以丨k丨＝2S△OBD＝2×2＝4，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式． 【解答】解：作BD⊥x轴，垂直为点D， ∵△OAB是等腰三角形，底边OA在x轴上，S△AOB＝4， ∴S△OBDS△AOB2， ∴丨k丨＝2S△OBD＝2×2＝4， ∵反比例函数图象在第四象限， ∴k＝﹣4， 故反比例函数解析式为：y． 故选：D． 【变式训练2】（2026•碑林区校级三模）如图，点C在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2（x＞0）的图象上，AB∥x轴交y轴于点A，AC＝BC．若△ABC为等腰三角形且面积为10，则k1，k2满足的数量关系是　2k1﹣k2＝20　 ． 【分析】如图，作CD⊥BA于点D，交x轴于点E．连接OC、OD，求得△ACD的面积为5．得到S△COD＝S△ACD，即S△COE+S△DOE＝S△ACD＝5，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：如图，作CD⊥BA于点D，交x轴于点E．连接OC、OD， ∵△ABC为等腰三角形且面积为10， ∴△ACD的面积为5． ∵CD∥y轴， ∴S△COD＝S△ACD，即S△COE+S△DOE＝S△ACD＝5， ∵点C在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2（x＞0）的图象上， ∴k1|k2|＝5． ∴2k1﹣k2＝20． 故答案为：2k1﹣k2＝20． 【变式训练3】（2025•宝安区模拟）如图，△AOB为等腰三角形，AO＝AB，AO与反比例函数交于点C，若C恰好为AO中点，△AOB的面积为16，则k的值为　﹣4　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，CF⊥x轴，垂足分别为E、F， ∵△AOB为等腰三角形，AO＝AB， ∴BE＝OE， ∴S△AOES△AOB8， ∵AE∥CF，C为AO中点， ∴CF是△AOE的中位线， ∴S△COFS△AOE2， ∴|k|＝2S△COF＝2×2＝4， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题1 k的几何意义 反比例函数图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k． 题型一：利用k值求三角形的面积 【典例精讲】（2026春•南关区校级月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【变式训练1】（2026•宜都市模拟）如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，AB∥x轴，点P在x轴上，连接PA、PB，则△PAB的面积为（　　） A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【变式训练2】（2025秋•灞桥区校级期末）如图，A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，C为y轴上的一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 . 【变式训练3】（2025秋•裕安区校级期末）如图，已知点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD=3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 . 题型二：根据三角形的面积求k值 【典例精讲】（2026春•东城区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为2，则k的值为 . 【变式训练1】（2025秋•九江期末）如图，点M在反比例函数的图象上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接OM．若△MON的面积为2，则k＝ . 【变式训练2】（2026•宝安区校级三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值为 . 【变式训练3】（2026•碑林区校级二模）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是12，则k的值为 . 题型三：利用k值求四边形的面积 【典例精讲】（2025秋•临县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为 . 【变式训练1】（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为 . 【变式训练2】（2026•茌平区二模）已知反比例函数与在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 . 【变式训练3】（2026•沈河区一模）如图，A，B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为 . 【变式训练4】（2026•广东一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点B在y轴上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积是 . 题型四：利用四边形的面积求k值 【典例精讲】（2026•天山区校级一模）如图，P是反比例函数y的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的比例系数是 . 【变式训练1】（2026春•扶绥县校级期中）如图所示，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是（　　） A．y B．y C．y D．y 【变式训练2】（2026•宽城区校级模拟）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为（　　） A．3 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣4 【变式训练3】如图，反比例函数的图象经过▫OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S▱OABC=3，则k的值为 . 题型五：利用k的值求阴影部分的面积 【典例精讲】（2025春•工业园区校级期中）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝4，则S1+S3＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练1】（2025•河北模拟）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则k＝ . 【变式训练2】（2025•肇东市一模）如图，矩形OABC，顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点O为坐标原点，点B在函数y1（x＞0）的图象上，边AB与函数y2（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为 . 【变式训练3】（2025•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别为反比例函数与，点C，D在x轴上，BA，BD分别交y轴于点E，F，则阴影部分的面积为 . 题型五：利用k值求面积之间的关系 【典例精讲】（2025秋•娄星区期末）如图所示，过反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S1，S2，那么它们的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【变式训练1】（2026•扬州）一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2 【变式训练2】如图，过点O作直线与双曲线y（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 . 题型六：根据面积之间的关系求k值 【典例精讲】（2026春•盐城月考）如图，已知点G在矩形OABC的对角线OB上，GD⊥AB，垂足为D，GE⊥BC，垂足为E，点D和点E都在反比例函数（x＞0）的图象上，连接OD，若四边形OGEC与△DGO的面积之差为，则k＝ . 【变式训练1】如图，点A，B在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之差为1，则k的值为 . 【变式训练2】如图，四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，反比例函数y=在第一象限的图象经过点E，若两正方形的面积差为12，则k的值为 . 题型七：k值与等腰三角形 【典例精讲】（2024春•南阳期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△A2023A2024B2024的面积分别为S1，S2，S3，…，S2024，则S2024的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，△OAB是面积为4的等腰三角形，底边OA在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（　　） A． B． C．. D． 【变式训练2】（2026•碑林区校级三模）如图，点C在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2（x＞0）的图象上，AB∥x轴交y轴于点A，AC＝BC．若△ABC为等腰三角形且面积为10，则k1，k2满足的数量关系是 . 【变式训练3】（2025•宝安区模拟）如图，△AOB为等腰三角形，AO＝AB，AO与反比例函数交于点C，若C恰好为AO中点，△AOB的面积为16，则k的值为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $