山东省泰安市岱岳区2025-2026学年八年级下学期期末复习通关训练

**基本信息** 山东省泰安市岱岳区八年级下学期期末复习通关训练，覆盖二次根式、一元二次方程、特殊四边形、相似三角形等核心知识，通过路灯测量、玩偶销售等生活情境及正方形旋转综合实践题，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题40分|最简二次根式判定、平行线分线段成比例、菱形性质、配方法|基础概念辨析，如第6题结合平行四边形判定特殊四边形，考查推理意识| |填空题|5题20分|分式意义、黄金分割、矩形翻折、根的判别式|情境化设计，如第12题叶片黄金分割，体现数学审美价值| |解答题|9题90分|二次根式计算、相似证明、方程应用、综合实践|分层递进，第20题用平行投影与相似测量路灯高度（模型意识），24题正方形旋转探究（创新意识与推理能力）|

山东省泰安市岱岳区2025-2026学年八年级下学期期末复习通关训练 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（本题4分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（本题4分）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 5．（本题4分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 7．（本题4分）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 8．（本题4分）如图，中，，于点，是边的中点，连结．若，，则（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 10．（本题4分）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）要使分式有意义，则的取值范围是______． 12．（本题4分）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 13．（本题4分）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 14．（本题4分）已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为____． 15．（本题4分）如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是________． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)． 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题9分）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 19．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 20．（本题10分）如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． (1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． (2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 21．（本题10分）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求证：． 22．（本题11分）乔乔在解决问题：已知，求的值时，是这样想的：先将化简成不含分母的形式：，此时， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据乔乔的分析过程，解决下列问题： (1)分别化简：和； (2)若，请你求出的值． 23．（本题12分）2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 24．（本题13分）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师引领同学们在探究与正方形有关的动点问题时，给出一个问题情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点E绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 探究过程： 启航小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1．发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． (1)志远小组发现，如图2，如果．四边形的形状都不会变，请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)博学小组进一步深入探究，如图3，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： (3)在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市岱岳区2025-2026学年八年级下学期期末复习通关训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B C C D C C 1．D 【分析】本题考查最简二次根式的判定．依据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含分母， ∴A不是最简二次根式，选项A不符合题意； ∵的被开方数含分母， ∴B不是最简二次根式，选项B不符合题意； ∵，被开方数含能开得尽方的因数9， ∴C不是最简二次根式，选项C不符合题意； ∵14分解质因数为，无开方开得尽方的因数，且被开方数不含分母， ∴D是最简二次根式，选项D符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段的定义：如果四条线段a、b、c、d满足，则四条线段a、b、c、d称为成比例线段．根据成比例线段的定义列式求解即可． 【详解】解：a、b、c、d是成比例线段， ， ， ， ， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查配方法，将常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数的一半进行配方即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选B． 6．C 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 7．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．D 【分析】利用勾股定理先求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，于点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ 又∵是边的中点， ∴． 9．C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， 又， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故符合题意； ③，，不是夹角的两边对应成比例，不能得到，故不符合题意， 故选：C． 11． 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，且， 解得． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了黄金分割，黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 【详解】解：由题知， 点是的黄金分割点（）， ； （）． 故答案为：． 13． 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 14．且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：且 15．①②④ 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 16．(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，再算除法运算，然后合并同类二次根式； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ， 或， ，． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 19．(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 20．(1)路灯的高度为 (2)路灯的高度为 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质． （1）由题意得，再根据相似的性质求解即可； （2）根据题意，先证，得到，再代入相关值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ，即，解得． 答：路灯的高度为. （2）解：， ， ， 即， ， ， ． 答：路灯的高度为． 21．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理， （1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 22．(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式和完全平方公式． （1）利用平方差公式进行分母有理化运算即可； （2）将x分母有理化得，再利用完全平方公式仿照题干解答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23．(1)该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为 (2)当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润=每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）， 所以该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款玩偶售价为y元，则月销售量为件， 根据题意得：， 解得：（降价促销，售价应低于58元，舍去）， 所以当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元． 24．(1)四边形是正方形， 理由：∵四边形是正方形， ，， ∵点E绕点逆时针旋转得到点， ，． ， ，， ， ， ， 又∵， ∴四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形． (2)， 理由：如图，连接，， ∵四边形是正方形，是的中点， 是的中点，，，，． ∵四边形是正方形， ， ． ． 是的中点， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （3）取的中点，取的中点，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ，． ， ． 由（2）得，， ，，， ，，． ∵四边形是正方形，是的中点，， ，，， ∴， ，， ． ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $