山东省济南市天桥区2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

2025−2026学年第二学期八年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上． 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．若，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列分式中，最简分式是 A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是 A． B． C． D． 7．若关于的方程有增根，则的值是 A． B． C． D． 8．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的长为 A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段．当点运动时，则线段的最小值是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5 mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．因式分解：________． 12．若分式的值为，则的值为________． 13．随着“互联网教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生万人次，第三批受益学生万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为，则根据题意可列方程为________． 14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在上，于点，于点，则________． 15．如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则________． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分7分） 解不等式组：，并写出所有整数解． 17．（本小题满分7分） 先化简，再求值：，其中． 18．（本小题满分8分） （1）因式分解：． （2）解方程：． 19．（本小题满分7分） 已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 20．（本小题满分8分） 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离为________； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出． （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为________． 21．（本小题满分9分） 在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． （1）________，________．（分别用含有的式子表示） （2）当为何值时，四边形是矩形． （3）当为何值时，四边形是菱形． 22．（本小题满分10分） 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成题目． 某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的表示________，解法二所列方程中的表示________．（填序号） ①甲种商品每件的进价 ②乙种商品每件的进价 ③购进甲种商品的数量 （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为________元/件，乙种商品的进价为________元/件． （3）若商店将甲种商品每件的售价定为元，乙种商品每件的售价定为元．商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润．（利润售价进价） 23．（本小题满分10分） 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 （1）判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 （2）若可配方成（，为常数），则的值________． （3）已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 （4）已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 24．（本小题满分12分） 如图，直线：与轴交于点，直线：经过定点且与轴交于点．直线，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在直线上是否存在一点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本小题满分12分） 【知识回顾】 （1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图，中，是的中位线，则与的关系为：________（用符号语言表达）． 【特例感知】 （2）如图，已知是等腰直角三角形，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．延长至点，使，连接．请写出与的数量关系：________，与的数量关系：________，并证明． 【拓展应用】 （3）如图，已知在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，连接．取的中点为点，连接．已知，，，．在点运动过程中，求线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $