第2章 第6讲 函数的概念及其表示(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦函数概念核心要素，通过基础辨析、方法应用及综合拓展三级训练，系统覆盖定义域、解析式、分段函数等高频考点，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|定义域求解、同一函数判断|从函数定义出发，强化定义域与对应关系的核心地位| |方法应用|5题|换元法求解析式、恒成立问题|以具体方法为载体，构建“定义→方法→应用”的逻辑链条| |综合拓展|8题|分段函数性质、新定义交汇函数|结合创新题型，延伸至函数性质综合应用，体现知识迁移价值|

课时分层测评7　函数的概念及其表示 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.函数f(x)＝－log2x的定义域是(　　) A.(0，2] B.(－∞，2) C.(－∞，0)∪(0，2] D.[2，＋∞) 答案：A 解析：由题意得解得0＜x≤2.故选A. 2.下列函数中与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　) A.y＝()2 B.y＝＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 答案：B 解析：函数y＝x＋1的定义域为R，而函数y＝(x≥－1)与y＝＋1(x≠0)的定义域不是R，故A、C选项不符合题意；y＝＋1＝｜x｜＋1对应关系与y＝x＋1不相同，故D选项不符合题意.故选B. 3.若f(2x－1)＝x2＋3x－1(0＜x＜2)，则(　　) A.f(x)＝＋2x＋(0＜x＜2) B.f(x)＝＋2x＋(－1＜x＜3) C.f(x)＝4x2＋2x－3(0＜x＜2) D.f(x)＝4x2＋2x－3(－1＜x＜3) 答案：B 解析：令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝，所以f(t)＝()2＋3×－1＝＋2t＋，所以f(x)＝＋2x＋(－1＜x＜3).故选B. 4.(2025·广东茂名一模)已知函数f＝则f＋f＝(　　) A. B.3 C. D. 答案：C 解析：因为f＝所以f＝log39＝2，f＝3－1＝，所以f＋f＝＋2＝.故选C. 5.已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，4] B.[0，4) C.[4，＋∞) D.[0，4] 答案：D 解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以不等式mx2＋mx＋1≥0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，1＞0，对任意x∈R恒成立，符合题意；当m≠0时，解得0＜m≤4，综上，实数m的取值范围是[0，4].故选D. 6.设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则f()＝(　　) A.14 B.16 C.2 D.6 答案：A 解析：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，则解得m＞0.若m≥1，则m＋1≥2＞1，可得2(m－1)＝2m－2≠2m，不合题意；若0＜m＜1，则m＋1＞1，可得＝2m，解得m＝.综上所述，m＝.所以f()＝f(8)＝2×7＝14.故选A. 7.(多选)已知函数f(x)＝则(　　) A.f(f())＝3 B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C.f(x)＜2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D.若∀x∈R，a＞f(x)，则a≥3 答案：BCD 解析：对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，故A错误；对于B，当x＜1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3；当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，故B正确；对于C，当x＜1时，由f(x)＜2，得x＋2＜2，解得x＜0，当x≥1时，由f(x)＜2，得－x2＋3＜2，解得x＞1，综上，f(x)＜2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C正确；对于D，当x＜1时，x＋2＜3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3).因为∀x∈R，a＞f(x)，所以a≥3，故D正确.故选BCD. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.f(f(－2))＝0 B.f(x)的值域为(－∞，4) C.f(x)＜1的解集为(－1，1) D.若f(x)＝3，则x的值是 答案：ABD 解析：函数f(x)＝的图象如图所示： 易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正确； f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f(x)＜1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；f(x)＝3，即解得x＝，故D正确.故选ABD. 8.(新定义)(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　 ) A.y＝ B.y＝ C.y＝1－x2 D.y＝ 答案：BD 解析：由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，故A错误；y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，故B正确；y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，故C错误；y＝的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，故D正确.故选BD. 9.已知函数f(x)＝则关于x的不等式f(x)≤1的解集为　　　　. 答案：(－∞，e－1] 解析：当x≤0时，由f(x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0；当x＞0时，由f(x)＝ln(x＋1)≤1得0＜x＋1≤e，即－1＜x≤e－1，所以0＜x≤e－1.综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1]. 10.(开放题)写出一个满足：f＝f(x)＋f(y)＋2xy的函数解析式为　　　　　　　. 答案：f＝x2(答案不唯一) 解析：令x＝y＝0，解得f＝0.令x＋y＝0，即y＝－x，所以f＝f(x)＋f(－x)－2x2，即f(x)＋f(－x)＝2x2，不妨设f(x)＝x2，满足要求(答案不唯一). (每小题5分，共20分) 11.设函数f(x)＝1－2x2，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则函数F(x)的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：作出函数F(x)的图象如图所示，当f(x)＝g(x)时，即1－2x2＝x2－2x，解得x＝－或x＝1，则由图象可知F(x)max＝F＝.故选D. 12.已知函数f(x)＝若m＜n且f(n)＝f(m)，则n＋m的取值范围是(　　) A.(1，2] B. C.(，2］ D.(，2) 答案：B 解析：设f(n)＝f(m)＝t，则m，n为直线y＝t与函数y＝f(x)图象的两个交点的横坐标，作出直线y＝t与函数y＝f(x)的图象如图，由图知，≤t≤2，由f(n)＝f(m)，得则n＋m＝t＋－2.根据对勾函数的性质可知g(t)＝t＋－2在［，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，且g()＝＋4－2＝，g(1)＝1＋1－2＝0，g(2)＝＋2－2＝，所以n＋m的取值范围是［0，］.故选B. 13.(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)的值域为[0，1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R，f(f(x))＝1 D.任取一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 答案：BCD 解析：因为函数f(x)＝所以f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确；当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，所以∀x∈R，f(f(x))＝1，故C正确；对任意非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确.故选BCD. 14.(多题同解)(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝xf()＋1(x∈R，且x≠0)，则f(x)＝　　　　　　　. (2)(双空题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1，则f＝　　　　　　　， f(0)＝　　　　　　. 答案：(1) －(x≠0)　(2)　1 解析：(1)因为f(x)＝xf()＋1①，所以将x用替换，得f()＝f(x)＋1②，由①②解得f(x)＝－(x≠0). (2)因为f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1，令x＝，得f＋2f＝3f＝，所以f＝.令x＝0，得f(0)＋2f(1)＝1①，令x＝1，得f(1)＋2f(0)＝2②，②×2－①，得3f(0)＝3，解得f(0)＝1. (每小题5分，共10分) 15.(新定义)(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有(　　 ) A.f(－1.1)＝0.9 B.函数f(x)的图象关于原点对称 C.f(x＋1)＝f(x)＋1 D.函数f(x)的值域为[0，1) 答案：AD 解析：对于A，因为f(x)＝x－[x]，所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A正确；对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝0.5，所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B错误；对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x＜k＋1，此时有k＋1≤x＋1＜k＋2，所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C错误；对于D，由C分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x＜1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x＜1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D正确.故选AD. 16.已知函数f(x)＝若f(2 026)＝1，则实数a＝　　　　. 答案：2 解析：因为当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(2 026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－(f(0)－f(－1))＝f(－1)－f(0)＝(1－a·)－(1－a)＝1，则a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $