精品解析：江苏省连云港市灌南县2025-2026学年高二第二学期期末学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度高二第二学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题：共8小题，满分40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可. 【详解】由题可得：， 所以. 故选：C 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解. 【详解】由， 得，所以， 所以，其虚部为. 故选：D. 3. 如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可. 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：B． 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得的通项公式为， 令，可得，即其常数项为. 6. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 8. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 二、多项选择题：共3小题，满分18分. 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，判断FG与平面关系：正方体棱长，、为特定棱中点，得FG与平行，FG不在平面内，在该平面内，所以FG平行平面.  对于B，求AE与FG所成角余弦值：连BG、BF，AE与BG平行，是所成角或补角，由棱长算BG、GF、BF长，用余弦定理得值，取绝对值得正确值.  对于C，求点到平面距离：算边长和面积，设距离为，利用求出.  对于D，求外接球表面积：算正方体相关线段长，确定射影位置，设半径和球心，根据关系求，再算表面积. 【详解】在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点， 所以，又平面平面，所以平面，故A正确； 连接，易得，所以为直线与所成的角或补角，又易得， 由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故B错误； 在中，，所以， 设点到平面的距离为，又， 所以，解得，即点到平面的距离为，故C正确； 易得，所以为直角三角形，所以在底面的射影为的中点，设为， 设外接球半径为，球心为，由，解得，所以外接球的表面积为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：共5小题，满分15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以， 则. 故答案为： 13. 某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________. 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 参考公式：，其中. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意，应用卡方公式得，根据独立检验的结论确定的最小值. 【详解】由题设，零假设社交电商用户与性别无关， 而， 则， 所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值3. 故答案为：3 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：共5大题，满分77分. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解； （2）裂项相消法求和即可 【小问1详解】 两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以， 故， 【小问2详解】 ， 所以. 16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）将事件“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”拆分为“抽取的是本地会员且满意”和“抽取的是外地会员且满意”这两个互斥事件，分别计算出其概率再相加. （2）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求出的分布列，最后利用数学期望公式计算期望. 【小问1详解】 设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. 【小问2详解】 从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）第一问先代入得到具体函数,求导后算出处的函数值与导数值,由切线斜率为0直接写出切线方程； （2）先对函数求导并通分因式分解,得到导数零点为和,再根据参数与1的大小关系分三种情况讨论,分别判断定义域内各区间导数的正负,进而得出每种情况下函数的递增、递减区间,最后整合写出单调区间的完整结论. （3）利用两点处切线平行则导数值相等建立等式,化简推导出,再由中点横坐标条件得到,进而构造以为根的一元二次方程,结合方程有两个不等正根的判别式与参数范围要求,解出的取值范围. 【小问1详解】 函数，定义域为，. 当时，.求导得. 代入，，. 切线斜率为，切线方程为. 【小问2详解】 求导得. 令，得或 ①当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. ②当时：，在上单调递增. ③当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由题意，处切线平行，故. 即，整理得， 即，因，故. 又中点在上，故，即. 于是是方程的两个根,题干等价于二次方程有两个不等的正根. 所以满足条件：解得. 故的取值范围是. 18. 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）试证明为定值 【答案】（1） （2） （3）由（2）知，，，则． 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即， ， ， 所以， 而， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设直线方程为，，，联立直线与双曲线方程，得，，再联立直线方程分别求出的横坐标，即可求解； （3）根据条件求出，即可求解. 【小问1详解】 易知双曲线：的渐近线方程为，右焦点为， 由题意知， 解得，，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由题可设过的直线方程为，，， 联立，消整理得， 则，，， 又直线方程为，直线方程为， 联立解得 ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为． 所以直线的方程为． 【小问3详解】 略 19. 如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． （3）在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：由题可知，所以， 所以， 所以，即 又四边形是正方形，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，故平面平面； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，即，又，根据线面垂直判定定理可证平面，最后由面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入公式运算得解. （3）根据等体积法求出点的位置，再利用向量法求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线平面，以为坐标原点建立如图坐标系， 过作， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以为四棱台的高， 又，所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得， 令，所以， 设平面的一个法向量为， 则由，得， 令，得平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 假设在上存在一点，使的体积为， 设， 所以， 解得，所以，， 由（2）可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以在上存在一点，使的体积为，此时与平面所成角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二第二学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题：共8小题，满分40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 3. 如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 6. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，满分18分. 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 11. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：共5小题，满分15分. 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________. 是社交电商用户 不是社交电商用户 合计 男性 女性 合计 参考公式：，其中. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题：共5大题，满分77分. 15. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 17. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 18. 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线的方程； （3）试证明为定值 19. 如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． （3）在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $