第四周 第1天 一元二次不等式的应用 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习，聚焦一元二次不等式应用，通过青铜、黄金、王者三层次设计，实现从基础解法到综合应用的梯度巩固，培养数学抽象与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|基本解法与简单应用|选择填空结合基础解答题，如商品销售金额计算| |黄金局|解集反推与综合计算|含参数不等式与实际经济问题，如营业税计算| |王者局|参数综合与实际情境|跨知识综合题与几何应用，如热带风暴影响范围|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第1天 一元二次不等式的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1}　　　　　 B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|x<0，或x≥1} 解析：原不等式可化为解得故其解集为{x|0<x≤1}，故选B. 2．关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜0 B．m＞0 C．m≠0 D．不确定 解析：因为0∈M，所以代入不等式＜0得－m＜0即m＞0.故选B. 3．不等式≥1的解集是(　　) A． B． C． D． 解析：不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x＜2，则原不等式的解集为.故选B. 4．若∀x∈R，式子都有意义，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－2<a<2} B．{a|a>2，或a<－2} C．{a|a≤－2，或a≥2} D．{a|－2≤a≤2} 解析：由题意得不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2. 5．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 解析：由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15. 6．(多选)下列不等式中，与不等式<2解集相同的是(　　) A．(x＋8)(x2＋2x＋3)<2 B．x＋8<2(x2＋2x＋3) C．< D．2x2＋3x－2>0 解析：依题意，注意到x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0，因此不等式<2等价于x＋8<2(x2＋2x＋3)，化简得2x2＋3x－2>0.故选BD. 7．不等式＞0的解集为________________． 解析：＞0⇔⇔⇔x＞－5且x≠2.故解集为：{x|x＞－5且x≠2} 8．不等式≥－1的解集是________． 解析：≥－1⇔＋1≥0⇔≥0⇔所以原不等式的解集是{x|x≤0或x＞1}． 9．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集是空集，则实数a的取值范围是________． 解析：由已知得方程x2－ax－a＋3＝0没有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)＜0，解得－6＜a＜2.故实数a的取值范围是{a|－6＜a＜2}． 10．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}． (1)试求a，b的值； (2)求不等式＞0的解集． 解：(1)因为不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，所以a＜0且ax2＋bx－1＝0的解是1和2.故解得 (2)由(1)得＞0，整理得＜0，即(x－2)·(3x－2)＜0，解得＜x＜2，故原不等式的解集为. 黄金局 提能力·融会贯通 11.若关于x的不等式>0的解集是{x|-1<x<3}，则关于x的不等式<0的解集是(　　) A. B. C. D. 解：因为>0等价于(ax-1)(x+b)>0， 所以(ax-1)(x+b)=0的两根为-b， 因为不等式解集为{x|-1<x<3}，故可得a<0，且=-1，-b=3，则a=-1，b=-3； 则<0即<0，等价于(2x+3)(2x-1)>0，解得. 12.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是(　　) A.2 B.5 C.8 D.10 解：由题意，第二年A产品的年销售量为(11.8-x)万件，A产品的售价为元，所以第二年A产品的年销售额为(11.8-x)万元，则第二年A产品上交的营业税为(11.8-x)·x%万元.由题意可得(11.8-x)·x%≥10，化简得x2-12x+20≤0，即(x-2)(x-10)≤0，解得2≤x≤10，所以x的最大值是10. 13.已知关于x的不等式x2-bx+2b-3<0的解集为{x|x1<x<x2}，且<2，则实数b的取值范围是　　　　　　. 解：因为x1+x2=b，x1x2=2b-3，所以<2， 所以-2=<0，即-3(b-2)(2b-3)<0，解得b<或b>2. 因为x2-bx+2b-3=0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以Δ=b2-4(2b-3)>0， 解得b<2或b>6，则b的取值范围是. 14.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为. (1)求关于x的不等式ax2+(2b-1)x+4<0的解集；(6分) (2)若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，求实数a的取值范围.(4分) 解　(1)由不等式ax2+bx+c≤1的解集为得a>0，且方程ax2+bx+c-1=0的两实根分别为-1和3， 则 不等式ax2+(2b-1)x+4<0等价于ax2-(4a+1)x+4<0，即(x-4)<0， 当0<<4，即a>时，解得<x<4； 当=4，即a=时，原不等式无解； 当>4，即0<a<时，解得4<x< 综上，当a>时，原不等式的解集为；当a=时，原不等式的解集为∅； 当0<a<时，原不等式的解集为. (2)由(1)知，不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0等价于ax2-(2a+1)x-(3a+1)≤0， 即(x+1)≤0，又a>0，则3+>-1，解得-1≤x≤3+ 因为关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解， 因此4≤3+<5，即1≤<2，解得<a≤1， 所以实数a的取值范围为. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)若存在实数m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是(　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 解：因为m<n-1，故m+1<n， 由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n}，x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n}，故A正确，B错误； x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n， x2+ax+b=0的两个根为m+1，n， 故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b， 由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，故C错误； 因为n-m>1，所以n-m=>1，两边平方得a2+2a>4b-4c，故D正确. 16. 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________，不等式＜0的解集是________． 解：由题图易得ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|1＜x＜2}；又由题图可知a＞0，且1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，故有1＋2＝－，1×2＝得b＝－3a，c＝2a，所以＜0，即＜0，所以＜0，解得－＜x＜3，故＜0的解集是. 17．已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R. (1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围； (2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，所以 即 所以a<－1， 故实数a的取值范围为(－∞，－1). (2)由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax， 所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立， 所以Δ＝a2－4(a＋3)≤0， 即a2－4a－12≤0， 解得－2≤a≤6. 故实数a的取值范围为－2≤a≤6. 18.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解：如图，以A市为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系. ∵AB=400，∠BAx=30°， ∴台风中心B的坐标为(200-200)，x h后台风中心B到达点P(20040x-200)处. 由已知，A市受台风影响时，有AP≤350， 即(200)2+(40x-200)2≤3502， 整理得16x2-160x+375≤0， 解这个不等式得3.75≤x≤6.25， A市受台风影响的时间为6.25-3.75=2.5(h). 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第四周 第1天 一元二次不等式的应用 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|0≤x≤1}　　　　　 B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|x<0，或x≥1} 2．关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜0 B．m＞0 C．m≠0 D．不确定 3．不等式≥1的解集是(　　) A． B． C． D． 4．若∀x∈R，式子都有意义，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－2<a<2} B．{a|a>2，或a<－2} C．{a|a≤－2，或a≥2} D．{a|－2≤a≤2} 5．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 6．(多选)下列不等式中，与不等式<2解集相同的是(　　) A．(x＋8)(x2＋2x＋3)<2 B．x＋8<2(x2＋2x＋3) C．< D．2x2＋3x－2>0 7．不等式＞0的解集为________________． 8．不等式≥－1的解集是________． 9．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集是空集，则实数a的取值范围是________． 10．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}． (1)试求a，b的值； (2)求不等式＞0的解集． 黄金局 提能力·融会贯通 11.若关于x的不等式>0的解集是{x|-1<x<3}，则关于x的不等式<0的解集是(　　) A. B. C. D. 12.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高元，预计年销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则x的最大值是(　　) A.2 B.5 C.8 D.10 13.已知关于x的不等式x2-bx+2b-3<0的解集为{x|x1<x<x2}，且<2，则实数b的取值范围是　　　　　　. 14.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为. (1)求关于x的不等式ax2+(2b-1)x+4<0的解集；(6分) (2)若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，求实数a的取值范围.(4分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)若存在实数m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是(　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 16. 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________，不等式＜0的解集是________． 17．已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R. (1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围； (2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 18.某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $