浙江宁波市慈溪市2025-2026学年第二学期高一年级期末测试数学试题

2025学年第二学期高一年级期末测试 数学学科试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则 A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．菱形的直观图是菱形 D．三角形的直观图是三角形 2．已知向量，，若，则 A．-4 B．-1 C．1 D．4 3．在中，已知锐角满足，，，则 A． B． C． D． 4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则 A．与是相等事件 B．与是相互独立事件 C．与是互斥事件 D．与是互为对立事件 5．已知样本数据，，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则 A．-2 B．2 C．-2或1 D．1或2 6．已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列四个命题： ①若，，则； ②若，，，则； ③若，，则； ④若，，，则三条交线，，的交点个数为0或1，其中，真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆半径为 A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，，，若，则的最小值为 A．8 B．7 C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级．现根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是 A． B．估计样本数据的平均数为86 C．估计样本数据的80%分位数为95 D．若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好等级的学生有6人 10．已知是内一点，则 A．当时，是的重心 B．当时， C．当时，是的垂心 D．当，时，在上的投影向量为 11．已知正方体的棱长为2，为的中点，，为线段，上的动点，则 A．三棱锥的体积为 B．直线与所成角的最小角的正弦值为 C．的最小值为 D．当为正方体表面上的一个动点，且时，点的轨迹所围成的面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在直角梯形中，，，．若直角梯形以边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的侧面积为 ▲ ． 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为 ▲ ． 14．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16．（15分）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是． （1）求第二场比赛结束后比赛终止的概率； （2）求甲最终获胜的概率． 17．（15分）如图，在平行四边形中，，，，，分别是线段，的中点，且． （1）求的值； （2）若点为线段上的动点，求的最小值． 18．（17分）（用坐标法不给分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，设三棱锥的外接球球心为． （1）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （2）求证：，，，四点共面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，，当线段的长度取最大值时，求； （3）记的面积为，若，求． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期高一期末考试 数学学科参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 2 3 4 5 答案 0 A 0 A B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分，。 题号 9 10 11 答案 ACD ABD CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.63m; 13.(2,4): 14. 17 108 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.解： m2-m-2=0 (1)由题意知： …4分 m+1≠0 所以m=2; …6分 (2)因为=m-m-2+m+i_2m-50m+1)+mm+li ………9分 2-i (2m-5)(m+1)<0 由题意知： …11分 m(m+1)>0 所以0<m<2 ……13分 16.解： 设A=“打i场后甲获胜”，B=“打i场后乙获胜”，C=“第二场比赛结 束后比赛终止”，D=“甲最终获胜”. 4 …4分 所以rC)-PA+B)=RA)+Pa)- …6分 （2)因为代A)--专 PA)=2 2、3116 381 Pr4写品 …12分 所以P(D)=PA,+A+A)=P(A)+P(A)+P(A)= 4,16,32188 …15分 981243243 17.解： (1)因为AE=AD+DE=AD+AB, …2分 所以x=1, ’y=1, 所以x-y=-1: …5分 (高一数学期末)参考答案第1页共4页 2)法：由知F证0+o 设FG=FC(0≤入≤1)， FG-A(AC-AF)=(AB+AD-1AB-LAD)-32AB+AD, 2 4 所以AG=AF+FG=1+32AB+1+2AD, ……8分 4 2 又因为cG=a-DFC=32-DAB+2,AD, …10分 4 2 所以AG.CG=+3AB+1+2AD--DAB+2AD=132-72-6,…13分 4 2 4 2 因为0≤As1,所以当A=时，(aG.G- 361 ……15分 26 52 法二：(1)建立如图所示的直角坐标系，则B飞y个 C55,D1,Ba,V,F2.5 2’2 ……2分 所以AE=(3,V3),AB=(4,0),AD=L,V3) [3=4x+y 1 x=- 即{5=5解 2 y=1 所以x-y=2 …5分 (2)设G(x,y),FG=FC(0≤1≤1)， 「7 3 x= 2 2 则 三2+1 2 7 +5+5,cG-g-5-5 所以AG=与元+22 2’2 ,…10分 2 2 所以AG.CG=1322-71-6, …13分 因为0ss1,所以当2=3，(aGc0a=罗 …15分 52 18.解： （1)因为AB=BC=2,AC=25,所以由余弦定理得，AIC=-,所以ADC=120, …1分 (高一数学期末)参考答案第2页共4页 过点P作PD LAB于点D,过点D作DEL BC,交线段CB的延长线于点E,连接PE, 又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PD⊥平面ABC, 所以∠PED就是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，…4分 又因为PA⊥PB,PA=PB,AB=BC=2, 所以PD=1,DE=5,所以PE-万 2 2 所以cos∠PED=DE-2 PE 7 即侧面PBC与底面ABC所成二面角的余弦值为 √2i ……6分 7 (2)设△ABC的外接圆圆心为O',则O在线段AB的中垂线上，连接O'A,OB,OD,O'P, 由正弦定理知，OA=OB=O'C=2, …8分 所以0D=√5， 由(1)知，PD L DO,PD=1,所以OP=2, …10分 即OA=OB=OC=OP,所以O'与O重合， 所以A,B,C,O四点共面； ……11分 (3)设O到平面PBC的距离为h, 因为V,-P=V,-Oc,即S△Psch=S△ocPD …13分 以片2号251 21 2 所以h=22 …15分 7 所以直线OP与平面PBC所成角的正弦值为 …17分 > （备注：用坐标法不给分) 19.解： (1)由正弦定理得，bsin B=sin AcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB, 所以b=1: …3分 (2)因为AD=2DC,所以BD=BA+2BC, 所以BD2=1c2+242 'gac 93, …5分 又b=a2+c2-ac,即a2+c2-ac=1, …6分 所以00-号0-2+e425 aa 9 a a-ac+o 91-c+(C a 39+3 113。+311 c+1 11 1 99S-+19T3+1y-3++393+D+3-3 a +) (高一数学期末)参考答案第3页共4页 ≤4+23 …9分 9 因为△ABC为锐角三角形，所以 即<A< /0<C2 -A< 6 2 2 所以C sim(A+否15L 3 1 三一十 a sinA 22 tan A (52, 所以当S=√5-1时，线段BD的长度取最大值； …12分 (3)因为S=absinC,c2=a2+1-2 acosC, 63absin C+c2-3a2=6v3asin C+1+2acos C-2a2=15, 所以3W5sinC-cosc=a+7 …14分 因为3N5sinC-cosC=2W万sin(C+0s2W万，a+Z≥2W万， 所以当a=V万，sin(C+p)=1时，等式成立，所以sinC=cos0-3 14 所以S=)absinC=35 ………17分 4 考试范围：必修第二册。(2026.6考试) (高一数学期末)参考答案第4页共4页