精品解析：浙江省慈溪市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题

2024学年第二学期期末测试卷 高一数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，按比例分配列式计算得解. 【详解】依题意，抽取中型超市的数量为. 故选：B 2. 已知三点共线，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等式求出复数，进而确定复数的虚部. 【详解】因为，所以. 所以虚部为2. 故选：D. 4. 已知直线与平面，则能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 5. 柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右） 从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1， 白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1， 白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件， ，， ，， 对于A，，A错误； 对于B，事件互斥，则，B正确； 对于C：，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B 6. 已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案. 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以. 因为， 所以. 而，. 所以. 故选：D. 7. 在中，内角所对的边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式求出即可. 【详解】在中，由，得，而， 由正弦定理，得， 整理得，因此或，解得，， 所以. 故选：D 8. 一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由给定条件可得正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球，求出该正四面体的棱长，进而求出其体积. 【详解】由正四面体玩具可以在棱长为6的正方体内任意转动，得该正四面体的棱长最大时，其外接球为正方体的内切球， 如图，设四面体的边长为，其外接正方体为，则正方体棱长为 正方体与正四面体有同一个外接球， 设正方体的外接球的半径为，则，即， 而棱长为6的正方体的内切球的半径为3，即，解得， 取中点，连接，则，又平面， 于是平面，而，等腰底面上的高， 所以正四面体体积的最大值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在圆锥中，，点为线段上动点，则（ ） A. B. 圆锥的侧面积为 C. 直线与所成角为 D. 当为线段中点时，直线与平面所成角的正弦值最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由勾股定理求出；B选项，根据圆锥侧面积公式进行求解即可；C选项，作出辅助线，找到或其补角即为直线与所成角，为等边三角形，故；D选项，证明线面垂直，即为直线与平面所成角，当为线段中点时，取得最小值，D正确. 【详解】A选项，由题意得，由勾股定理得，A错误； B选项，圆锥的侧面积为，B正确； C选项，连接并延长，交底面圆于点，连接，则， 因为，，所以， 故均为等腰直角三角形，则，故， 所以或其补角即为直线与所成角， 又，故为等边三角形，故，C正确； D选项，由C知，， 又⊥平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 连接，则即为直线与平面所成角， 其中， 则， 当为线段中点时，因为，所以⊥， 此时取得最小值，故取得最大值， 直线与平面所成角的正弦值最大，D正确. 故选：BCD 10. 已知复数均不为零，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则判断ACD；举特例判断B. 【详解】对于ACD，设， 则，即， 而，即，故A正确， 而， ，则，故C正确， 而， ， 则，故D正确； 对于B，当时，， 而，故B错误. 故选：ACD 11. 在中，内角所对的边分别为，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可判断A；利用正弦定理及两角差的正弦公式求可判断B；根据，结合向量数量积的运算律可判断C；利用三角形面积公式计算可判断D. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，故，A正确； 因为且，所以，故. 又，所以，即， 所以，故，B正确； 由题意得， ，C错误； ，D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】由对立事件概率和为1求出，再根据两相互独立事件的概率公式求出，即可代入并事件的概率公式进行求解. 【详解】由题意知,, 所以. 故答案为：0.88 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，设，连接，由题意可得平面，进而得到I为VD的中点，F是VB的中点，进而再证明G，H分别在的中点上，进而求解即可. 【详解】连接，，，设，连接， 依题意，平面，因为平面， 所以，因为，，， 在直角中，，故I为VD的中点，同理，F是VB的中点， 所以， 下面证明：G，H分别在的中点上， 当G，H也是中点时，，有， 四边形是平行四边形， 又，则，故， 又，则， 又，，平面， 所以平面，又平面，故，则， 因为 均在平面内，且相交，所以平面， 故此时平面和平面即同一平面，满足题意，则G，H分别在的中点上. 又平面，又平面，所以，则， 则四边形是矩形， 依题意，，，， 中边上的高为， 则， 四边形的面积是， 故五边形的面积是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． （1）求的值； （2）求该样本的平均数和中位数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可求得的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得的值；分析可知，结合中位数的定义可得出关于的等式，即可解得的值. 【小问1详解】 由题意知：，所以. 【小问2详解】 由题意知：， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为，所以， 由中位数的定义可得，解得，即中位数为． 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，且的面积为，求； （2）若的平分线交于，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，然后利用余弦定理求； （2）等面积法求解. 【小问1详解】 由题意知：，所以， 又因为，所以， 所以，即； 【小问2详解】 因为， 即， 所以 所以． 17. 某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中（）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）． （1）若，求一次抽奖中奖的概率； （2）若要求一次抽奖中奖的概率最小． （ⅰ）求； （ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）列举法应用古典概型公式计算即可； （2）应用对立事件结合概率乘积公式计算即得. 【小问1详解】 设“一次抽奖中奖” （1）记这2个红球的编号为个白球的编号为， 所以样本空间，共有30个样本点， 又因为 所以， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 所以时，； 当时， 综上所述，所以时，一次抽奖中奖的概率最小． （ⅱ）记“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，“第位顾客中奖”， 由题意知，， 所以． 18. （用坐标法不给分）已知平行六面体所有棱长均为． （1）求证：平面平面； （2）设平面与平面交于直线，求证：直线平面； （3）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)菱形推出，等腰三角形推出，根据线面垂直的判定可推出平面，从而证明面面垂直； （2）先证明平面，由线面平行的性质知，即可证明平面； （3）通过作辅助线确定二面角的平面角为，勾股定理证明从而证明为的中点，在中利用列方程求出，最后再利用余弦定理求出，进而求出. 【小问1详解】 如图，设与交于点，连接， 在菱形中，，OBD中点， 易知，所以， 所以为等腰三角形，则， 又因为，平面，平面, 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 连接，易知， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． 【小问3详解】 由题意知，则， 设，连接，由（1）可知，平面，所以， 因为，所以，所以为等腰直角三角形，且，取中点，连接，则 过作交于，连接， 所以就是二面角的平面角， 等腰中，，同理， 所以，即， 所以，即为的中点， 在中，， 即, 解得， 所以在中，，所以， 二面角的平面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第2问利用线面平行的性质是解题关键，第3问需要从二面角的棱上任意一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即为二面角的平面角. 19. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末测试卷 高一数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 2 2. 已知三点共线，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知直线与平面，则能使的充分条件是（ ） A. B. C D. 5. 柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两个垂直单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个棱长为6的正方体纸盒内有一个正四面体，若正四面体可以在纸盒内任意转动，则正四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在圆锥中，，点为线段上的动点，则（ ） A B. 圆锥的侧面积为 C. 直线与所成角 D. 当为线段中点时，直线与平面所成角的正弦值最大 10. 已知复数均不为零，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角所对的边分别为，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，若，且与相互独立，则_______． 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 14. 如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）． （1）求的值； （2）求该样本的平均数和中位数． 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，且的面积为，求； （2）若的平分线交于，求的长． 17. 某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中（）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）． （1）若，求一次抽奖中奖的概率； （2）若要求一次抽奖中奖的概率最小． （ⅰ）求； （ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率． 18. （用坐标法不给分）已知平行六面体所有棱长均为． （1）求证：平面平面； （2）设平面与平面交于直线，求证：直线平面； （3）求二面角的平面角的正弦值． 19. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $