专题03二次函数概念及图象与性质暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年暑假人教版八升九数学上册

专题03二次函数概念及图象与性质暑假预习讲义 · 理解二次函数定义，牢记一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，能辨别二次函数，区分一次、反比例、二次三类函数。 · 掌握最简单二次函数y=ax2的图象画法，识别抛物线，分清开口方向、对称轴、顶点，知道|a|决定抛物线宽窄。 · 自主探究a>0、a<0两种情况下抛物线的增减变化、最值规律，能根据图象判断函数增减区间与最大 / 最小值。 · 弄懂抛物线平移口诀 “左加右减，上加下减”，能看懂y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的过程，看懂顶点式中h、k对应的顶点与对称轴。 · 读懂顶点式y=a(x-h)2+k的图象特征，能直接写出对称轴、顶点坐标，对比一般式与顶点式的区别与转化方法。 · 会代入点坐标求函数解析式参数，能利用对称轴快速比较抛物线上不同点的函数值大小。 · 建立数形结合思维，学会借助图象分析函数取值、增减、最值；养成分类讨论习惯，分a正负研究图象性质。 · 分层预习要求：基础熟记定义与基础图象特征；提高熟练掌握平移规律、顶点性质；拓展能结合图象简单比较函数值、求解参数。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的概念 2.特殊形式y=ax2 3.参数a.b.c.Δ 的几何意义 4.一般形式y=ax2+bx+c(a) 5.图象画法 6.二次函数的平移规律 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数=定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11.二次函数图象与各项系数符号 12.一次函数二次函数图象综合判断 13.由二次函数图象判断式子符号 14.抛物线上对称两点求对称轴 15.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 17.待定系数法求二次函数解析式 18.线段周长问题 19.面积问题 20.角度问题 21.特殊三角形问题 22.特殊四边形问题 强化题型 解答题14题 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 2. 各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 形式名称 表达式 适用条件 / 优点 一般式 y = ax² + bx + c 最通用的形式，适用于已知图象上三个点的坐标。 顶点式 y = a(x - h)² + k 直接给出顶点坐标(h, k)，适用于已知顶点或对称轴的情况。 交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂) 直接给出图象与x轴的两个交点坐标(x₁,0)和(x₂, 0)，适用于已知与 x 轴的交点。 4.一次、反比例、二次函数对比表 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 记忆口诀：“左加右减，上加下减”。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点07:高频易错点 1.概念易错 判断二次函数忽略 a≠0；自变量最高次数为 2，但含 x2系数为 0，误判为二次函数。 2.平移易错 左右平移时忘记给 x 整体加 / 减，直接在 x 后加减数字；平移方向与加减符号记反。 3.图像性质易错 描述增减性不写对称轴分界区间，直接说 y 随 x 增大增大 / 减小； 求顶点横坐标时，漏掉对称轴公式里的负号； 混淆最大值、最小值a>0 有最小，a<0 有最大）。 4.坐标计算易错 求抛物线与 y 轴交点错代 x=1，正确令 x=0； 比较函数值大小，不会利用 “到对称轴距离” 快速判断。 . 题型1列二次函数关系式. 【典例】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【跟踪专练1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【跟踪专练2】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【跟踪专练2】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 【跟踪专练2】若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 【跟踪专练3】若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【跟踪专练2】定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据抛物线开口向上，图象全部在x轴上方则最小值大于零，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为，最小值为b． ∵图象全部在x轴上方， ∴， ∴b可取任意正数，如1（答案不唯一）． 故答案为1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】抛物线上有两点、，若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系． 【详解】解：抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 两点均在对称轴右侧， 随的增大而减小， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，由图象可知点在轴正半轴上，则，由图象可知点在轴负半轴上，则有，从而可得，从函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，由图象可知点在轴正半轴上， ∴， 当时，， ∴， 由图象可知点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，， 故选：． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和把二次函数解析式化为顶点式；抛物线顶点到轴的距离是，即顶点纵坐标的绝对值为． 先配方把二次函数解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标表达式，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为 依题意， 解得：或 故选：C． 【跟踪专练2】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【跟踪专练3】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 对比顶点式可得，， 故顶点坐标为． 【跟踪专练1】设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 【跟踪专练2】已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 【跟踪专练3】已知二次函数下列说法错误的是（） A．对称轴为：直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标和开口方向，从而判断各选项的正确性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D正确，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点，函数有最大值为，无最小值， 故选项C错误，符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项B正确，不符合题意． 故选C． 题型8.二次函数图象的平移 【典例】把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象平移的法则“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为． 将其向右平移2个单位，对自变量x进行“右减”变换，得． 再向下平移3个单位，对整体进行“下减”变换，得． ∴新抛物线解析式为． 【跟踪专练2】抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据抛物线图象平移的性质，先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，应用“左加右减，上加下减”的规则求解． 【详解】解：原抛物线解析式为， 先向左平移3个单位，得：， 再向上平移4个单位，得：， 故答案为：或． 【跟踪专练3】将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，对原函数进行平移，即可得到新抛物线的顶点式． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，得到； 再向下平移3个单位长度，得到． 故选：B． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】二次函数图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将题目中二次函数的解析式化为顶点式即可解答本题． 【详解】解： ∴该函数的顶点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【跟踪专练2】抛物线化成顶点式是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】本题主要考查二次函数图象，掌握二次函数的图象的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向上，当时开口向下，即可解答． 【详解】解：对于二次函数，二次项系数， 因此图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 【跟踪专练1】抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点(2,0)的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【跟踪专练2】二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 题型11.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根据要求构造二次函数函数，根据二次函数的图象和性质，按要求进行构造即可． 【详解】解：设函数解析式为 ∵函数图象开口向下； ∴， ∵函数图象与y轴交于点， ∴； 故当时，可满足题意， ∴符合题意的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由二次函数开口方向、与y轴交点位置，对称轴位置即可解答． 【详解】解：由题意知，二次函数开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在y轴右侧，则， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 【详解】解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据图象如何判断a、b、c的符号． 通过图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点，可推导a、b、c的符号，进而判断选项的正确性． 【详解】解：由函数图象，可得： ∵函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴， 故正确的结论是C． 故选：C． 题型12.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 【跟踪专练2】二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 题型13.由二次函数图象判断式子符号 【典例】二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 【跟踪专练1】在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 题型14.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及抛物线对称轴的求解，抛物线上的两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的中点． 【详解】解：点和的纵坐标均为，因此这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上，从而得到点离对称轴越远，函数值越大，再由点，也是该函数图象上的两动点，且总有，可得点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵点，是二次函数上的两点， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，也是该函数图象上的两动点，且总有， ∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离， 即， 解得：． 故选：A 【跟踪专练2】抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 题型15.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 【详解】解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 【跟踪专练2】已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． 【跟踪专练3】若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 由二次函数可知抛物线对称轴为，开口方向向上，则点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线对称轴为直线，开口方向向上， ∴点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 题型16.y=ax2+bx+c的最值 【典例】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由二次函数的关系式得到图象开口向下，顶点坐标为，即可得到小球运动中的最大高度． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，为， ∴小球运动中的最大高度是12米． 故答案为：12． 【跟踪专练1】已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设，，通过比较函数和 的大小关系，确定的取值，并求其最大值，即可解题． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，，故； 又在时，函数随增大而增大，在时，函数随增大而减小， 当时，； 当时，． 当时，，故． 对于，在时，函数随增大而增大，当 趋近于 时， 趋近于 综上，的最大值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 题型17.待定系数法求二次函数解析式 【典例】已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即． 设二次函数解析式为，其中为顶点坐标， 代入，得． 取，得． 故答案为． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查二次函数，采用待定系数法可求得二次函数的表达式，根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】因为点在二次函数图象上，可得 ． 因为点和点在二次函数图象上，可得 解得 所以二次函数表达式为． 所以该函数是抛物线，开口向下，结论①正确． 二次函数的对称轴，结论②正确． 二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，函数值y随的增大而增大，结论③正确． 解一元二次方程，解得，，两个根都小于，结论④错误． 故答案为：①②③ 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 题型18.线段周长问题 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 题型19.面积问题 【典例】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是______． 【答案】平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为平方米，矩形的面积为平方米， 其面积为， ∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米． 故答案为：平方米． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 【跟踪专练2】如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 题型20.角度问题 【典例】若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 【跟踪专练2】如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 题型21.特殊三角形问题 【典例】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 题型22.特殊四边形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 化为顶点式求出对称轴抛物线为直线，设，，根据正方形的边长相等列方程求出a的值即可求解． 【详解】解：， 则对称轴抛物线为直线， 根据题意作图如下： 设， 根据中点坐标公式可知，即， ∴， 即， ∵正方形，， ∴， 整理得， ， 解得，（舍去）， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 解答题 1．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①2；②B (2)①；②， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，求二次函数的极值， 对于（1），先根据路程和速度求出时间，再根据得出关系式解答； 对于（2），先根据列出二次函数关系式，再根据图象的性质讨论最大值即可． 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 2．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 3．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 4．九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，；②图象见详解；③图象见详解 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 5．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 6．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 7．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 8．在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． (1)求的值及二次函数图象的对称轴； (2)过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，线段的中点，一次函数的图像与性质，绝对值的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由二次函数的图象经过点，得到， 即，则对称轴为直线，即可解答； （2）①先求出，，推导出，，由B为线段的中点，得到，求出（舍去）或，即可解答； ②先求出，，得到，当时，有最大值，最大值为，则，解得，即可解答． 【详解】（1）解：把原点代入，得 ， ∴二次函数， 二次函数的图象经过点， ， 即． 对称轴为直线． （2）解：①， ， 经过点且平行轴， ， 为线段的中点， ． 解得（舍去）或． ． ②，， ，． 又， 当时，有最大值，最大值为． ， 解得． 9．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 10．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 13．如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定； （1）将代入求出b即可； （2）作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，．由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， 解得， ∴ （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，． ∵点在上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是 平行四边形． 14．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．，为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在实数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知是二次函数图象上异于点，的一点，作△．若直线与线段，分别交于点，，且，请求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）可知，，据此即可求得答案； （3）过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知，根据题意可知，点的坐标为，求得直线的表达式为，同理可得，直线的表达式为，直线的表达式为，得到，可知，求得． 【详解】（1）解：二次函数图象经过，，三点，可得 解得 所以，二次函数表达式为． （2）解：存在， 因为，在二次函数图象上， 可得，． 根据题意，得． 变形，得． 解得． （3）解：如图所示，过点，，，分别作轴的垂线，分别交于点，，，可知． 根据题意可知，点的坐标为． 设直线的表达式为， 可得 解得 所以，直线的表达式为， 同理可得，直线的表达式为， 直线的表达式为． 直线和直线均可看作由直线平移得到，所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 因为直线与线段相交于点，可得 ． 解得． 所以点的横坐标为． 所以，可得 ． 解得，． 所以或． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数概念及图象与性质暑假预习讲义 · 理解二次函数定义，牢记一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，能辨别二次函数，区分一次、反比例、二次三类函数。 · 掌握最简单二次函数y=ax2的图象画法，识别抛物线，分清开口方向、对称轴、顶点，知道|a|决定抛物线宽窄。 · 自主探究a>0、a<0两种情况下抛物线的增减变化、最值规律，能根据图象判断函数增减区间与最大 / 最小值。 · 弄懂抛物线平移口诀 “左加右减，上加下减”，能看懂y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的过程，看懂顶点式中h、k对应的顶点与对称轴。 · 读懂顶点式y=a(x-h)2+k的图象特征，能直接写出对称轴、顶点坐标，对比一般式与顶点式的区别与转化方法。 · 会代入点坐标求函数解析式参数，能利用对称轴快速比较抛物线上不同点的函数值大小。 · 建立数形结合思维，学会借助图象分析函数取值、增减、最值；养成分类讨论习惯，分a正负研究图象性质。 · 分层预习要求：基础熟记定义与基础图象特征；提高熟练掌握平移规律、顶点性质；拓展能结合图象简单比较函数值、求解参数。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的概念 2.特殊形式y=ax2 3.参数a.b.c.Δ 的几何意义 4.一般形式y=ax2+bx+c(a) 5.图象画法 6.二次函数的平移规律 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数=定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.二次函数图象的平移 9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11.二次函数图象与各项系数符号 12.一次函数二次函数图象综合判断 13.由二次函数图象判断式子符号 14.抛物线上对称两点求对称轴 15.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 17.待定系数法求二次函数解析式 18.线段周长问题 19.面积问题 20.角度问题 21.特殊三角形问题 22.特殊四边形问题 强化题型 解答题14题 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 2. 各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 形式名称 表达式 适用条件 / 优点 一般式 y = ax² + bx + c 最通用的形式，适用于已知图象上三个点的坐标。 顶点式 y = a(x - h)² + k 直接给出顶点坐标(h, k)，适用于已知顶点或对称轴的情况。 交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂) 直接给出图象与x轴的两个交点坐标(x₁,0)和(x₂, 0)，适用于已知与 x 轴的交点。 4.一次、反比例、二次函数对比表 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点07:高频易错点 1.概念易错 判断二次函数忽略 a≠0；自变量最高次数为 2，但含 x2系数为 0，误判为二次函数。 2.平移易错 左右平移时忘记给 x 整体加 / 减，直接在 x 后加减数字；平移方向与加减符号记反。 3.图像性质易错 描述增减性不写对称轴分界区间，直接说 y 随 x 增大增大 / 减小； 求顶点横坐标时，漏掉对称轴公式里的负号； 混淆最大值、最小值a>0 有最小，a<0 有最大）。 4.坐标计算易错 求抛物线与 y 轴交点错代 x=1，正确令 x=0； 比较函数值大小，不会利用 “到对称轴距离” 快速判断。 . 题型1列二次函数关系式. 【典例】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【跟踪专练1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 题型2.二次函数的识别 【典例】二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【跟踪专练1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【跟踪专练1】已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【跟踪专练2】若是关于的二次函数，则_______． 【跟踪专练3】若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【跟踪专练1】已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 【跟踪专练1】下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线上有两点、，若，则___________ 【跟踪专练3】如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【跟踪专练1】如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【跟踪专练2】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【跟踪专练3】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】抛物线的顶点坐标是__________． 【跟踪专练1】设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【跟踪专练3】已知二次函数下列说法错误的是（） A．对称轴为：直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 题型8.二次函数图象的平移 【典例】把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 【跟踪专练3】将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（   ） A． B． C． D． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】二次函数图象的顶点坐标是_______． 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线化成顶点式是____________． 【跟踪专练3】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 【跟踪专练1】抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练3】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 题型11.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知二次函数满足条件：①函数图象开口向下；②函数图象与y轴交于点．写出一个满足上述所有条件的二次函数解析式______． 【跟踪专练1】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型12.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第______象限． 【跟踪专练1】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【跟踪专练3】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 题型13.由二次函数图象判断式子符号 【典例】二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练1】在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型14.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【跟踪专练1】已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 【跟踪专练3】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型15.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【跟踪专练1】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【跟踪专练2】已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【跟踪专练3】若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型16.y=ax2+bx+c的最值 【典例】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 【跟踪专练1】已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【跟踪专练2】我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【跟踪专练3】二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 题型17.待定系数法求二次函数解析式 【典例】已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【跟踪专练2】已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 【跟踪专练3】如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 题型18.线段周长问题 【典例】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【跟踪专练1】如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【跟踪专练2】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 题型19.面积问题 【典例】将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是______． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【跟踪专练2】如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 题型20.角度问题 【典例】若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【跟踪专练2】如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 题型21.特殊三角形问题 【典例】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【跟踪专练1】将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 题型22.特殊四边形问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练1】已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 解答题 1．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 2．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 3．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 4．九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 5．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 6．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 7．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 8．在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． (1)求的值及二次函数图象的对称轴； (2)过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 9．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 10．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 14．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．，为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的表达式； (2)是否存在实数，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知是二次函数图象上异于点，的一点，作△．若直线与线段，分别交于点，，且，请求出所有满足条件的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $