专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系预习讲义 预习目标 熟记韦达定理两根和、两根积公式，明确使用前提时0、△≥0，能不解方程，借助 整体代换计算两根平方和、倒数和等代数式。 ·会利用根与系数的关系求参数、根据两根构造一元二次方程，结合判别式综合求解 参数取值范围。 ·吃透传播、增长率、几何面积、销售利润四类典型应用题，能精准提取题干等量关 系，建立一元二次方程模型。 ·规范应用题完整解题步骤，求出方程根后结合实际场景检验，主动舍去无现实意义 的解。 ·融合判别式、方程的解、韦达定理，独立完成含字母参数的综合题型，灵活转化复 杂数量关系。 ·感悟建模、整体代换、分类讨论、转化四大数学思想，分层达成学习要求：基础掌 握公式与基础列式，.提高熟练变形计算，拓展突破综合压轴题型 题型梳理 1.韦达定理基础内容 2.两根代数式恒等变形 预习必备 3.韦达定理四大题型解题思路 4.特殊根的对应条件 知识梳理 5.一元二次方程应用解题步骤 6.常见应用模型及核心公式 7判别式与韦达定理结合 8.高频易错点汇总 1.一元二次方程根与系数的关系（常） 2.传播问题（常+重点） 常考题型 3增长率问题（常+重点） 4.与图形有关的问题（重点） 精讲精练 5数字问题 6.营销问题（常+重点） 试卷第1页，共3页 7.动态几何问题（常+重点+难点） 8.工程问题 9.行程问题 10.握手循环赛问题（常考） 11.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识梳理 知识点01：韦达定理基础内容 1.核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若两根为x1,x2: 、b 两根之和：x1+x2=- 两根之积：x1x= 记忆小技巧： 和是负的一次比二次，积是常数比二次 2.适用前提 必须是一元二次方程(a0) 方程必须有实数根（判别式△=b2-4ac≥0） 3.高频变形应用 ⊥+1等代数式的值 己知方程，求xx、衣x智 已知两根，反求一元二次方程：x2-(x1+x)x+x1x2=0 试卷第2页，共3页 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02：两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 x子+z喝 (c1+x2)2- 2c1C2 (x1-2)2 (1+x2)2- 4x1C2 1,1 x1+C2 X1 x2 12 1,1 (1+x2)2-2c1c2 好+喝 (x1x2)2 知识点03韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算△判断有实根→代入韦达公式→整 体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用+x一。快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解 方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 试卷第3页，共3页 基础方程：x2-(x1+x)x+x1x0,可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ①0，保证方程是一元二次方程：②△≥0，保证存在实数根：③附加约 束条件：两根正负、两根互为相反数/倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x+x30,即b=0,同时满足△≥0： 2.两根互为倒数：x1x2=1,即c=a,同时满足△≥0： △≥0 3.两根均为正数： x1+c2>0: c1c2>0 4.两根一正一负：xx2<0,此条件下△>0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量 设：设未知数（直接设/间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 试卷第4页，共3页 注意事项 (1)要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量 关系。 (2)注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把 它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3)注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列 方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点06：常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式/等量关系 典型特征 产量、利润、 销售额等持 增长率/下增长：a(1+x)=b;下降：a(1-x)=b(a初始量，x 续增减，已知初始与最终 降率问题 变化率，n变化次数，b最终量) 状态 m(1+x)"=N(m初始传播源，x每轮传播数，n轮次， 病毒、消息、分支生长等 传播问题 N总数量) 多轮扩散，总量逐步累积 利润（销 总利润=（售价-成本）×销售量： 售价与销量反向联动，求 售)问题 销售额=售价×销售量 特定利润或最优销售方案 场地修路、动点形成图 几何（形 利用矩形、三角形等规则图形面积公式：不规则图 形、图形面积计算，含边 积)问题 形可通过分割/组合转化 长限制 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 已知数字间关系，求具体 数字问题 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差1/2数字 握手/赠礼 无重复计数场景，数量与 握手总数： n(n-1 互赠礼物总数：n(n-1)(n 问题 个体数成二次关系 试卷第5页，共3页 题型类别 核心公式/等量关系 典型特征 为人数) 银行存款、理财收益计 利息=本金×利率×期数： 利息问题 算，涉及本金、利率、期 本息和=本金×(1+利率×期数)（无利息税） 知识点07综合关联：判别试与韦达定理结合 条件组合 考察题型 解题要点 △>0+X1+X2、X1X2 两根符号判断 x1x2>0两根同号；x1x2<0两根异号 △≥0+含参数代数式参数取值范围 先算参数，再检验判别式 根为0 X1X2=0 常数项c=0,同时保证a≠0 两根互为相反数 x1+x2=0且△≥0 次项系数b=0,判别式非负 知识点08：全板块高频易错点 (一）韦达定理易错 1.忽略使用前提：不检验a≠0、△≥0，直接套用公式求参数： 2.两根和符号记错：x1+x= 容易漏掉负号： b 3.代数式变形出错：平方和、差的平方展开时常漏乘2： 4构造方程时符号颠倒，混淆一次项符号。 (二)应用题易错 1.解方程后不检验，保留负数、超出实际范围的根： 试卷第6页，共3页 2.增长率问题次数n对应错误，两年增长误用1+2x: 3面积动点题线段代数式列错，道路面积重复减、漏减： 4利润问题销量增减关系写反，涨价写成销量增加。 常考题型精讲精练 题型1.一元二次方程根与系数的关系 11 【典例】已知a”b是方程x2-2x-3=0的两个根，则。+方 【答案】 -3 11 【分析】将所求分式a+6通分转化为用两根之和a+b与两根之积b表示的形式，再利用 韦达定理代入计算。 【详解】解：：a,b是方程x2-2x-3=0的两个根， a+b=-2=2,h=3 =-3 1 1 ,1+1=b+a-a+b=2=_2 ab abab-33· 2+(2m-1)x+m2=0 【跟踪专练1】已知关于x的方程 的两实数根为，x,若+=7 ,则u的值为() 43 B.3 或v DV分 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到+，=1-2m 进行求解即可 x+x2=1-2m=7 【详解】解：由题意， 解得m=-3, 试卷第7页，共3页 此时方程化为x2-7x+9=0,△=49-4×9=13>0，符合题意： 故m=-3 【跟踪专练2】设5、是方程+2x-2024=0的两个实数根，则任-1-》的值为 【答案】-2021 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展 开变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可求解， 【详解1解：：、是方程？+2x-2024=0的两个实数根， 2 -2024 心由根与系数的关系可知：+名一2，= =-2024 1 (x-1)(x2-1) =Xx2-x-x2+1 =xx2-(x+x2)+1 =-2024-(-2)+1 =-2024+2+1 =-2021. 【跟踪专练3】关于的一元二次方程mr+V2m+r+1=0 两个不相等的同号实数根， 则m的取值范围是() 1 1 A.m<2且m≠0 B.2 ≤m≤ 2 1 1 c.-2 m<2且m≠0 D.0<m<2 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号 的要求，列出不等式组求解即可。 试卷第8页，共3页 【详解】解：“原方程是关于*的一元二次方程，且含二次根式 2m+1 ∴.m≠0且2m+1≥0， 解得：m≥-2且mt0: :方程有两个不相等的实数根， :判别式△=(N2m+1-4×mx1=1-2m>0 解得：m<2 ,两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为m, >0,即m>0 m 综上所述，可得：0<m< 2· 题型2.传播问题 【典例】有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如 果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为 【答案】(1+x=64 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意两轮传染后患流感的人数为 总共患流感的人数.先列出一轮传染后患流感的人数，再根据一轮后患流感的人数写出二 轮传染的人数的代数式，两者相加等于64即可. 【详解】解：设每轮传染中一个人平均传染x个人，则一轮传染后患流感的人数为1+x, 则二轮传染后患流感的人数为：1+)+(1+x)x=(1+x)=64 故答案为：（1+x=64 【跟踪专练1】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于 未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个 人传染了x个人，则可列方程为() 试卷第9页，共3页 A(1+x)2=16 B.1+x+x2=16 C. 1+x+x(1+x)=32 D x+x(1+x)=16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用.根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传 (1+x) 染，两轮后总人数为初始人数乘以 的平方，即可作答. 【详解】解：：初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，患病人数为1+x ,第二轮传染时，有1+x人，每人传染x人， ·新传染人数为1+) 第二轮后总患病人数为1+)+x+=(0+x)0+x)=1+x 又两轮后共有16人患流感， :0+x=16 故选：A 【跟踪专练2】(1)解方程O(x+=4(x+) ②x2+3x+1=0 (2)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支千又长出同样数目的小分支，主干、支 干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支. 【容】山①-1=3，②=3 5=3,5 2, 2；(2)每个支干长出9个 小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用： (1)①用因式分解法求解即可： ②利用公式法求解方程即可： (2)由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出 同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有x个，根据“主干、支干和小分支的总 数是1”即可列方程，再解方程即可求解 试卷第10页，共3页 【详解】解：(1)Ox+少=4(x+1） (x+1)2-4(x+1)=0 (x+1)(x+1-4)=0 x+1=0或x+1-4=0 =-1x2=3 解得 ②x2+3x+1=0, a=1b=3c=1△=b2-4ac=9-4=5>0 :35 2 :考3*5 2 53-6 2； (2)由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有x个， 由题意得：x2+x+1=91, x+10)(x-9)=0 整理得 =9x2=-10 解得 (舍去)， 即每个枝干长出9个小分支， 【跟踪专练3】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会 有81台电脑被感染， (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1)8 (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题 的关键。 试卷第11页，共3页 (1+x) (1)设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑，第一轮感染后有 台被感染，第二轮 感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为 1+x)2 ，据此 列方程求解。 (2)根据(1)的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较. 【详解】(1)解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 1+x)=81 1+x=9 x=8x2=-10 9 (舍)， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑. 81×(1+8)=81×9=729>700 (2)解： ∴.经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台 题型3.增长率问题 【典例】为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖 区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00一12：00）向社会免费开放体育场跑道.自开 放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次.若进场人次 的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率，设进场人次的周平均增长率x,依 题意可列方程为」 【答案】 10001+x)2=1440 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x,第一周进场1000人 次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程 1000(1+x)2=1440 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 试卷第12页，共3页 因此第三周人次为100(1+，等于140， 故列方程为 000(1+x)=1440 1000(1+x)2=1440 故答案为： 【跟踪专练1】据统计，2024年重庆市某区全年新能源汽车产量为35万辆，预计2026年 该区全年新能源汽车产量将达到42.35万辆，那么该区这两年新能源汽车产量的年平均增 长率为() A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，结合2024年重庆市某区全年新能源汽车 产量为35万辆，预计2026年该区全年新能源汽车产量将达到42.35万辆，列出方程，即可 作答.正确地列出方程是解题的关键， 【详解】解：设年平均增长率为x, 则 35×(1+x)=42.35 (0+x)2=42.35 =1.21 35 1+x=±V1.21=±1.1 (取正值)， x=0.1=10%x2=-2.1 (舍去)， ∴，该区这两年新能源汽车产量的年平均增长率为10%. 故选：A 【跟踪专练2】某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025 年增长至9.68万元. (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率. (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯.市场调查反映，每杯涨价 1元，周销售量将减少20杯.若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实 惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【答案】(1)10% 试卷第13页，共3页 (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 (1)先理解题意，设年平均增长率为”，再结合2023年的营业额为8万元，2025年增长 至9.68万元，进行列式计算，即可作答. 3+x) (2)先理解题意，设每杯奶茶应涨价元，则每杯盈利为 元，销售的总杯数为 (300-20x) 又因为每周奶茶盈利1440元，进行列式计算，即可作答. 【详解】(1)解：设该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为r, 依题意，得8×1+}=9.68 片=0.1=10%5=-2.1=-210%<0 解得 (舍去)， .该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为10%； (2)解：设每杯奶茶应涨价x元， 3+x) 300-20x) 则每杯盈利为 元，销售的总杯数为 440=(3+x)(300-20x) 依题意，得 整理得x2-12x+27=0. =3x3=9 解得 ,要让顾客得到实惠， 每杯奶茶应涨价3元 【跟踪专练3】在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升 温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月 份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人. (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率. (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】(1)20% (2)能达到17万人 试卷第14页，共3页 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键。 (1)设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,可列出关于x的一元二次方程，解之 取其符合题意的值，即可得出结论： (2)求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案， 【详解】(1)解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x, 依题意，得：10(1+x=14.4 x=0.2=20%x2=-2.2 解得 (舍去)； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为20%： 14.4×(1+20%)=17.28 (2)解：8月份接待游客人数为 (万人) .17.28>17, .8月份该馆接待游客总量能达到17万人. 题型.4.与图形有关的问题 【典例】如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽 的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米， 则根据题意可列方程为 (25-x)(22-x)=460 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键， 设每条小道的宽为x米，根据长方形面积公式，列出方程即可. 【详解】解：设每条小道的宽为x米，根据题意得： (25-x)(22-x)=460 试卷第15页，共3页 (25-x)(22-x)=460 故答案为： 【跟踪专练1】如图，某小区规划在一个长20m,宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽 的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若草坪部分总面积为 160m xm ,设小路宽为，那么x满足的方程是() D A.2x2-38x+170=0 B.2x2-38x+10=0 C.x2-19x+10=0 D.x2-19x+170=0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握用含有未知数的式子将草坪面积表示 出来是解题的关键】 小路宽为m,可得草坪的总长度为 20-2)m,总宽度为 (9-x)m 根据矩形的面积列方 程，化简成一般形式，即可求解. 【详解】解：小路宽为m,草坪的总长度为20-2x)m,总宽度为 9-x)m (20-2x)(9-x)=160 根据题意，可得 化简得r2-19x+10=0 故选：C 【跟踪专练2】中国书法是中华文化的独特表现艺术.被誉为：无言的诗，无形的舞，无 图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”，书画装裱技艺同时也为书画内容服务.现要 装裱一幅l80cm×80cm竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫 边、上、下绫边的宽度之比为3：2.左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边 宽度的2倍.若装裱成品的面积为23000cm,求装裱成品的长与宽。 试卷第16页，共3页 雪波礴等紅 雪波磷等紅 三橋走閒軍 毛三橋走閒軍 軍横注五不 軍横没五不 遇缄丸嶺怕 「後索金适達 生通鐵九嶺怕 害寒沙追狂 後索金造達 格畫寒沙迤征 開更水腾鞋 股共到 氓雲浪水 岷雲浪水 山崖虏干 山崖烏干 千暇蒙山 千暇蒙山 里大磅只 里大磅只 书法作品 装裱成品 【答案】装裱成品的长与宽分别为230cm,100cm 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为c,则上绫边的宽度 为3rcm 下绫边的宽度为2xcm,根据题意得 180+3x+2x)(80+x+x)=23000 然后解方 程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键 【详解】解：设左、右绫边的宽度为xcm,则上绫边的宽度为3xCm,下绫边的宽度为 2xcm (180+3x+2x)(80+x+x)=23000 根据题意，得 七=10 x2=-86 解得 (不合题意，舍去)， .180+3x+2x=230,80+x+x=100. 答：装裱成品的长为230cm,宽为l00cm 【跟踪专练3】如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1 个点，第二行有2个点…，第n行有n个点，… ● ●●●● ●●●●●● ●●●●●●● 。。。。e (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是_，前 n行的点数和是_； 试卷第17页，共3页 (2)探究发现，120是前行的点数和： (3)三角点阵中前n行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说 明理由. 【答案】(1)10： 2n(n+1) (2)15 (3)解：不能，理由如下： 根据题意可得：2n(+)=60,整理得，m+n-120=0: ∴.△=b2-4ac=12-4×1×(-120)=481 ,即方程的两根均为无理数。 ∴三角形点阵中前n行的点数和不能是60. 【分析】(1)利用倒序相加求和来解决第二空： (2)根据一元二次方程有正整数解即可判断： (3)根据一元二次方程没有正整数解即可判断。 【详解】(1)解：前四行的点数分别是：1,2,3,4； 前四行的点数和是：1+2+3+4=10： 前n行的点数分别是：1,2,3,4…，n, 1 前n行的点数和是：1+2+3+4++n=n(n+1): 2 (2)解：由题意得2n(n+)=120, 整理得到：n2+n-240=0, (n+16)(n-15)=0 n1=15,n2=-16 解得： (舍去)， 所以120是前15行的点数和： (3)略 题型5.数字问题 【典例】两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为x,可得方程为 试卷第18页，共3页 x(x+2)=168 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为x,则较大的偶数为x+2,根据 “两个连续的偶数乘积为168列出方程即可。 【详解】解：设较小的偶数为x,则较大的偶数为x+2, x(x+2)=168 由题意得： x(x+2)=168 故答案为： 【跟踪专练1】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和 小明参与了转发集赞活动.已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小 康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是() A.24 B.26 C.28 D.30 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设小康和小明两人所集赞数量为x红一2) ,根据两数之积为960，进而建立方程求解即可。 x,(x-2) 【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为 ,根据题意： x(x-2)=960 整理得：x2-2x-960=0 X=32,x2=-30 解得： (舍去，不符合题意)， 则32-2=30（个） ·小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是30， 故选：D 【跟踪专练2】已知整数a与b的平方和可以表示为a2+b2,现有两个连续的正整数. 【尝试】(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和： 【建模】(2)若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数， 【答案】(1)它们的平方和是25(2)这两个正整数分别是8和9 试卷第19页，共3页 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键。 (1)由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论： (2)设较小的正整数是x,则较大的正整数是x+1,根据这两个连续正整数的平方和是 145,可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论。 【详解】解：(1)较小的数是3， 较大的数是4， 小它们的平方和是 2+42=25 答：它们的平方和是25： (2)设较小的正整数是x,则较大的正整数是x+1, 根据题意得：+(x+=145 整理得：x2+x-72=0. x=8x2=-9 解得： (不符合题意，舍去)， .x+1=8+1=9 答：这两个正整数分别是8和9. 题型6.营销问题 【典例】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决 定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 设每件商品降价x元，商场日盈利可达到2100元，则可列方程为一 【答案】 (50-x)30+2x)=2100 50-x) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件商品降价x元，则每件盈利为 30+2x) 元，每天销售量为 件，根据日盈利为2100元，列出方程即可。 50-x)(30+2x)=2100 【详解】解：依题意，日盈利为每件盈利与销售量的乘积，即 试卷第20页，共3页 (50-x)(30+2x)=2100 故答案为： 【跟踪专练1】山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基.如图，某玩具厂 将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野.该玩具厂以每个 16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个 玩具每降低1元，则愿意多经销100个.该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发 额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价x元，则可列出方程（) (800+100x)(16-x)=14400 A B.(800-100x)06+x)=14400 (800+100x)16+x)=14400 (800-100x)16-x)=14400 C 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每件玩具降价x元，得降价后的批发单价为 (16-x) (800+100x) 元，根据“销售量=原销量+多经销的销量”得销售量为 件，根据“批 发额=销售量×批发单价”列出关系式即可. (800+100x)(16-x)=14400 【详解】解：根据题意得： 故选：A 【跟踪专练2】某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元.据市场分析，销售单价定 为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销 售单价每涨5元，每天的销售量就减少100件.针对这种小商品的销售情况，该商店要保证 每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价应定为12元 【分析】分别表示每件利润和销售量，由利润=每件利润×销售数量建立方程求出其解即 可 【详解】解：设销售单价应定为x元， 试卷第21页，共3页 根据题意得： -820-100）=640 整理得：x2-28x+192=0, x=12x2=16 解得： 要使顾客得到实惠， .x=12, 答：销售单价应定为12元 题型7.动态几何问题 【典例】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿 AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， 如果P,O分别从A、B同时出发，经一秒钟，能使aPQB的面积等于AABC面积的3 □B 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使△PBQ的面积等于△ABC 面积的3”，找到等量关系是解决问题的关键。设经过x秒△PBQ的面积等于8平方厘米， P=cm,BQ=2cm,BP=(6-)cm,由三角形的面积公式建立方程求出其解即可。 【详解】解：设经过x秒△PBQ的面积等于△ABC面积的3，AP=xcm,BQ=2xcm, 试卷第22页，共3页 BP=(6-x)cm ,由题意，得 11 52x6-)污 -×6×8 ￥=2x32=4 解得： 答：设经过2秒或4秒，△PQB的面积等于。ABC面积的3： 故答案是：2或4. 【跟踪专练1】如图，在R△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,AC=20cm,点M从点A出发 沿边AB向点B以4cm/s的速度移动，同时点N从点B出发沿边BC向点C以3cms的速度 移动.当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动.当△MBN的面积为24cm'时，运动 时间为() B▣ >N A.2s B.3s C.4s D.5s 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长 度，当运动时间为s0≤1≤时，BN=3cm,BM=(6-4em ,根据△MMBN的面积为 24cm2 ，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论.找准等量关系，正确列出一 元二次方程是解题的关键。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,AC=20cm, ÷.BC=VAC2-AB=V202-16=12cm 试卷第23页，共3页 s(0≤t≤4) 时，AM=4icm,BN=3im BM=(16-4t)cm 当运动时间为 依题意得： 2BN.BM=24,即236-4)=24， 整理得：2-41+4=0， 4=42=2 解得： ,点M,N的运动时间为2s, 故选：A 【跟踪专练2】如图，在Rt△ABC中LB=90°，AB=8m,BC=6m,点M点N同时由A 、C两点出发分别在线段AB线段CB上向点B匀速移动，它们的速度都是lm/s,几秒 1 后，△MBN的面积为△ABC面积的2？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的 关键。 设移后，5-，百此时M-CN=mBM=8-m,N=6-m S.N= ×BMx BN,Sc=×8x6,进商可列出方程，求出答案 2 1 【详解】解：设x秒后，Sv=2Sc, 此时AM=CN=m,BM=(8-x)mBN=(6-x)m 由题意得(8-x)x(6-x)×号 111 -×-×6×8 222 试卷第24页，共3页 即x2-14x+24=0, (x-2)(x-12)=0 解得=23=12 BC=6米， .0≤x≤6， .x2=12 不合题意，舍去， 即x=2 题型8.工程问题 【典例】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路 面“白改黑”工程.该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小 型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米. (I)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间 多3，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情祝下，使用 时间比原计划增加了18小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原 150+2m) 计划每小时下降了米，使用时间增加了 小时，求m的值. 【答案】(1)300 (2)5 2 5 【分析】(1)设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为+与X了小 1+ x= 时，根据题意列出方程，即可求解： 2)由（山得：大型设各的原来使用时间为30×50小时，根据题意可得小型设备 试卷第25页，共3页 300+18m) 60-m) 的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用 650+2m) 时间为 小时，根据题意列出方程，即可求解。 【详解】(1)解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 一3小时，根据题意得： 30x+60×5x=39000 3 解得：x=300, 答：小型设备的使用时间为300小时： 2)解：由()得：大型设备的原来使用时间为30×-50小时， 3 300+18m) 根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 (60-m) 500+150+2m=(650+2m) 米，大型设备的使用时间为 小时， 30(300+18m)+(60-m)(650+2m)=39000+9000 整理得：m2-5m=0, m1=5,m2=0 解得： (舍去)， 即m的值为5。 【点晴】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得 到等量关系是解题的关键， 【跟踪专练1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小 时完成.甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务， (I)求甲工程队每小时修的路面长度： (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米， 在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小 试卷第26页，共3页 时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加小 时，求的值 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 (2x+30) 【分析】(1)设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面 米，根据题意列出方程求解即可： (2)根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800列出方程，求解 即可 【详解】(1)解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面 (2x+30) 米， 32x+32(2x+30)=4800 根据题意得， 解得：x=40, 则2x+30=110 ∴，甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； (2)解：根据题意得， 40(32+m+25)+(110-3m)(32+m)=4800+1000 整理得，m2-18m=0, m=18,m2=0 解得： (舍去)， .m的值为18 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准 等量关系并列出方程 【跟踪专练2】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量. 某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从 5月份到7月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题. ()求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条 试卷第27页，共3页 生产线最大产能是900个天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生 产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据题意列出一元二次方程进行求 解 (2)设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下， 确定解」 【详解】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x. 依题意，得： 2250(1+x)=3240 x=0.2=20%x2=-2.2 解得： (不合题意，舍去)· 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. (2)解：设增加x条生产线. (900-30x)(x+1)=3900 解得5=4七=25 (不符合题意，舍去)， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线， 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方 程求解即可. 题型9.行程问题 【典例】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南 行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出 发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方 向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 【答案】36 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为， 试卷第28页，共3页 则乙走了41步，甲斜向北偏东方向走了(6-10)步，利用勾股定理即可得出关于1的一元二 次方程，解之即可得出t值，将其正值代入41中即可求出结论。 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t,则乙走了41步，甲斜向北偏东方向走了 (6t-10) 步，则 102+(4)2=(6t-10)2 依题意得： 整理得：202-120t=0, 4=6,t2=0 解得： (不合题意，舍去)， ∴.4t=4×6=24. 故甲走的步数是36. 故答案为：36 【跟踪专练1】数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分 别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 (cm)与 时间4的满足关系：1+≥0).乙以4m1s的速度匀速运动，半圆的长度为21m 3 22 .甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了秒. 甲A B 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于21×2×2+21，可列 出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论 1 3 【详解】解：根据题意得：2 2+2t+4t=21×2×2+21 2 整理得：+11t-210=0, 试卷第29页，共3页 4=10,t2=-21 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：10 %=8m/s 【跟踪专练2】一个小球以 的速度开始向前滚动，并且均匀减速， 45后停止运 动. (1)小球的滚动速度平均每秒少m/s, Vt (2)已知小球滚动 2m用了'秒.（温馨提示：'表示小球滚动'秒时的瞬时速度，平均速度 p=%+业 2， 滚动路程，=t) 1y ①求这段时间内小球的平均速度'（用含的整式表示） ②求t值 【答案】(1)2 (20(8-t)ms ②1=2 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用. (1)从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化宁小球运动速度变化的时间，再进 步求解即可。 (2)①利用=6+业 2列代数式即可： ②利用s=vt建立一元二次方程求解即可 【详解】(1)解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化宁小球运动速度变化的 时间， 8÷4=2(m/s) 多 故小球的滚动速度平均每秒减少2m/s, (2)解：①这段时间内小球的平均速度=8+82”=(8-)ms: 2 t(8-t)=12 ②由题意得： 试卷第30页，共3页 整理得：t2-81+12=0. 解得： 4=252=6 t≤4， 52=6 不符合题意， ∴.t=2 题型10握手循环赛问题 【典例】元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，己知全组共送贺卡132张，则 该学习小组有」 人 【答案】 12 x-1) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出 张贺卡建立方 (x-1) 程是解题的关键.设这个小组有x个人，则每个人送出 张贺卡，再根据全组共送贺 卡132张建立方程求解即可. 【详解】解：设这个小组有x个人， x(x-1)=132 由题意得： 1=12,x2=-11 解得 (舍去)， ∴，这个小组有12人 故答案为：12. 【跟踪专练1】2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每 2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参 加这次聚会，则根据题意，可列方程为() 2x(x+1)=79800 2x(x-1)=79800 2x(x-1)=79800 C. 1 D. x(x+1)=79800 2 试卷第31页，共3页 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于握手问题，解题思路是先确定每人的握 手次数，再去掉重复计算的部分，根据总握手次数列出方程 【详解】解：，设有x人参加聚会， x-1) ∴每个人需要和除自身外的 人握手， 又每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， :总握手次数为2x(x-),结合题意总握手次数为79800次， 可得方程2x(x-)=79800.故选C. 【跟踪专练2】列方程解决下列问题. 2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创 展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行.假设参赛的每两个队之间都要比赛一 场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【答案】共有30支队伍参赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用。 设共有m支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解 即可 【详解】解：设共有m支队伍参赛， m(m-1) 由题意得： =3×145, 2 整理得：m2-m-870=0, 解得：m=-29(舍去)或m=30, 答：共有30支队伍参赛 题型11其他实际问题 【典例】某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共 相互赠送标本210件.设全组有x名同学，则可列方程为 x(x-1)=210 【答案】 试卷第32页，共3页 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关 键 设全组有名同学，则每个同学需题送出任一-》件标本，x名问学需脂送出（红-）件标 本，根据全组共相互赠送标本210件列方程即可. (x-I 【详解】解：由题意，全组有x名同学，则每个同学需赠送出 件标本， x(x-1)=210 x(x-1)=210 故答案为： 【跟踪专练】北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、 上海站)，针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程 正确的是() x(x+1)=20 B.x(x-1)=20 C. 2x(6+1)=20 D.2x(x-)=20 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设共有x个火车停靠站，根据“针对此 动车有20种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确 列出一元二次方程是解此题的关键。 【详解】解：设共有x个火车停靠站， x(x-1)=20 由题意可得： 故选：B 【跟踪专练2】在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和 2025级1+3的学生们精心排成了一个长方形方阵.这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相 爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题.下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人： 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程。 试卷第33页，共3页 【答案】解：设方阵的排数为x,列数为y, 由方阵最外层的人数为58人，得2x+2y-4=58, 变形得y=31-x, 由参加方阵展示的学生一共是234人，得y=x31-)=234 变形得x2-31x+234=0, 解得-135=18 当x=13时，y=31-13=18. 当x=18时，y=31-18=13, 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13. 【分析】设方阵的排数为x,列数为y,根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程， 用含x的式子表示出y,再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可. 【详解】略 解答题 1,果方程++e=0的阿个限足5，那么+名=6,5= ,请根据以上结 论，解决下列问题： Q已知关于x的方程r-(口+x+0+1=0的两个实数根之差的绝对值为5，求a的 值： (2)已知关于x的方程 2+px+q=0(9≠0) 有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的 两个根分别是己知方程两根的倒数. 【答案】(1)a=4； 2y+10 2+ (2)99 试卷第34页，共3页 【分析】(1)由韦达定理可得x+=a+1,= 40+1,根据题意，得， 6+5-45=(5,解方程即可 2+px+9=0(9≠0) (2)设方程 有两个实数根是，，根据题意，得+6=一P 1 x:=q,设新方程的两个根为，2，且少云少元，求解即可. 【详解】(1)解：设方程-(a+)x+0+1=0的两个根是飞，5， 4 1 根据题意，得x+为2=a+1,书=402+1， 4 由氏-=5 得(G+x了-4xx=(5=5, 故a+-402+-5, 整理，得2a-3=5, 解得a=4; 2+px+9=0(9+0) (2)解：设方程 有两个实数根是，5】 根据恩意，得+5=-卫5=g 设新方程的两个根为，少，且头=士%号 x2, +y2= 1+1=+=- ,-11-1 ,1》2= 故 x x2 xx2 9 xx29, 故构造的新方程为： y2-(y+y2)y+y2=0 故y+y+1=0 .1 2.某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、 支干和小分支的总数是111.求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干.请根据 试卷第35页，共3页 相关信息，解答下列问题： (1)填表： x(主干长出支干的个数) 2 3 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是： ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为： ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为： (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7,13,21 a@1+x②；③1+r+x (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题 意是解题的关键. (1)分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可： (2)①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x:②在每个支干又长出了数目 相同的小分支后，小分支的个数为：x:③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主 干、支干和小分支的总数可以表示为：1+x+x2: (3)由题意得1+x+x2=111,再解方程即可. 【详解】(1)解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为 1+2+22=7 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为1+3+3=13： 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为1+4+42=21： 则填表为： x(主干长出支干的个数) 试卷第36页，共3页 主干、支干和小分支的总 > 21 数 3 (2)解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：1+x: ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：x； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为： 1+x+x2 (3)解：由题意得，1+x+x2=111, 解得： x=10x2=-11 (不合题意，舍去) 答：每个支干长出10个小分支， 3.(1)解方程：3x2-2x-1=0: (2)两个数的差等于4，积等于45，求这两个数. 1 【答案】(1)x=山5=3：(2)这两个数是9,5或-9，-5 【分析】此题考查解一元二次方程及一元二次方程的应用， (1)利用公式法解方程； (2)设这两个数中较小的一个数是x,则较大的一个数是 x+4) ，根据这两个数的积等于 45列方程解答 【详解】(1)解：3x2-2x-1=0 这里a=3,b=-2,c=-1: -4ac=(-2y-4x3x-=16≥0x=-2上i62±4 2×3 1 x=1,为3=3 (②)解：设这两个数中较小的一个数是，则较大的一个数是：+4) 试卷第37页，共3页 x(x+4)=45 根据题意得： 解得： x=5,x2=-9 当x=5时，x+4=5+4=9 当x=-9时，x+4=-9+4=-5, 这两个数是9,5或-9，-5 4.某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商 家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买 该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于 1050元. (1)设一次购买该产品的数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，请写出'与x的函数 关系式： (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单 价；若不能，说明理由 [1200(0<x≤10) 【答案】)少= -5x+1250(10<x≤40) 且为正整数 1050(x>40) (2)公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元 【分析】(1)分0<x≤10,10<x≤40和x>40三种情形分别解答即可： (2)依据题意，结合(1)分三种情况列出方程解答即可求解： 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键， 【详解】(1)解：当0<x≤10时，购买数量不超过10件，按原价销售， y=1200: :销售单价最低为1050元， 1200-5(x-10)=1050 令 解得x=40 ∴.当购买数量超过10件且不超过40件时，单价随购买数量增加而降低， 当10<x≤40时，每多买1件，单价降低5元， .y=1200-5(x-10) 即y=-5x+1250: 试卷第38页，共3页 当x>40时，单价已降至最低1050元，不再继续降价， .y=1050 1200(0<x≤10) -5x+125010<x≤40) 综上，与的函数关系式为 且为正整数： 1050(x>40) x (2)解：当0<x≤10时，销售单价y=1200,单件利润1200-1000=200， 当200x=3125时， 12 解得x= 8 =15.625>10,不在0<x≤10的范围内，故此情况不成立： 当10<x≤40时，销售单价)=-5x+1250,单件利润为 -5x+1250)-1000=-5x+250 当（←5x+250)x=3125 时， 解得x=25, :10<25≤40，符合题意， “此时销售单价y=-5×25+1250=1125元： 当x>40时，销售单价y=1050,单件利润1050-1000=50， 当50x=3125时， 解得x 125=62.5 2 ,购买数量必须为正整数， .此情况不成立： 综上，公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元. 5.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试 求二次三项式x2+4x+5最小值. x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 解： (x+2)220,(x+2)2+121 试卷第39页，共3页 .x2+4x+5≥1 2+4x+5 ,即 的最小值是1. 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式-2x2+4x-5,求它的最大值： (2)知识迁移：如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以 2cm/s O CB Icm/s 的速度从点向点C移动，点在CB边上以cm的速度从点C向点移动若点 卫，O同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为 Scm2,运动时间为t秒，求S的最小值. B D 【答案】(1)-3： (2)20 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键： (1)将2r+4-5配方得2x--3, 根据2(r-12s0 求解即可： (2)根据题意求出t的取值范围， S=Sac-S。o0列方程，用配方法求最值即可. 【i详解】（解：-2r+4-5=-2(x2-2x+1-1-5=-20x-1}-3 -2(x-1)2≤0， .-2(x-1)2-3≤-3， .-2x2+4x-5 -3 的最大值为： (2)解：”AC=8cm,BC=6cm,点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向点C移动，点 试卷第40页，共3页 Q在CB边上以lcm/s的速度从点C向点B移动 .点P从A点运动到C点所需时间为8÷2=4s, 点从C点运动到B点所需时间为6÷1=6s, .0≤t≤4， 1 S=S.wc-S.rco-xACxBC-xPCxQC. 1 S=。×8×6-5(8-2t)t, 2 2 S=t2-4t+24=(t-2)2+20≥20， ∴.S的最小值为20 6.全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查 发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000 个天，工厂的产线共x条 (1)该工厂最大产能是个天（用含x的代数式表示）. (2)若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】(1)80000x-2000x2:(2)该工厂引进了27条或13条生产线. 【分析】(1)根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案： (2)结合(1)的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案， 78000-2000(x-1)]x=80000x-2000x2 【详解】(1)根据题意，得该工厂最大产能是： 个天 故答案为：80000x-2000x2; (2)根据题意，得80000x-2000x2=702000. 解得=27本=13 .该工厂引进了27条或13条生产线。 【点晴】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程 的性质，从而完成求解 7.交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和 试卷第41页，共3页 3月分两次购入甲、乙两款头盔.2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔 数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000 元 (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量： (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加.甲款头盔单价有所上涨（涨价 金额为正数，涨幅不超过20%)，批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数 量就比第一批甲款头盔的数量减少2个.因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的 1 购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加5，最终花费的总资金比第一批增加了3100 元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 (2)甲款头盔的单价上涨了5元 【分析】(1)设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为 (2x+50) 23000 个，根据费用和为 元建立一元一次方程求解： (2)设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可。 【详解】(1)解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为 (2x+50) 个， 由题意得40(2x+50)+60x=23000 解得x=150 则甲款头盔的数量为2×150+50=350， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个： (2)解：设甲款头盔的单价上涨了a元， 由题意得， (0+a60-2a)-60x[50+ 23000+3100 整理得，a2-135a+650=0, 解得a=5或a=l30. 试卷第42页，共3页 由题意得，a≤40×20%=8， .a=130舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元 试卷第43页，共3页 专题02一元二次方程的应用及根与系数的关系预习讲义 · 熟记韦达定理两根和、两根积公式，明确使用前提a≠0、Δ0，能不解方程，借助整体代换计算两根平方和、倒数和等代数式。 · 会利用根与系数的关系求参数、根据两根构造一元二次方程，结合判别式综合求解参数取值范围。 · 吃透传播、增长率、几何面积、销售利润四类典型应用题，能精准提取题干等量关系，建立一元二次方程模型。 · 规范应用题完整解题步骤，求出方程根后结合实际场景检验，主动舍去无现实意义的解。 · 融合判别式、方程的解、韦达定理，独立完成含字母参数的综合题型，灵活转化复杂数量关系。 · 感悟建模、整体代换、分类讨论、转化四大数学思想，分层达成学习要求：基础掌握公式与基础列式，提高熟练变形计算，拓展突破综合压轴题型。 预习必备 知识梳理 1.韦达定理基础内容 2.两根代数式恒等变形 3.韦达定理四大题型解题思路 4.特殊根的对应条件 5.一元二次方程应用解题步骤 6.常见应用模型及核心公式 7.判别式与韦达定理结合 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程根与系数的关系(常) 2.传播问题(常+重点) . 3.增长率问题(常+重点) 4.与图形有关的问题(重点) 5.数字问题 6.营销问题(常+重点) 7.动态几何问题(常+重点+难点) 8.工程问题 9.行程问题 10.握手循环赛问题(常考) 11.其他实际问题 强化题型 解答题7题 知识点01:韦达定理基础内容 1. 核心公式（韦达定理） 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），若两根为 x1​,x2​： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 记忆小技巧：和是负的一次比二次，积是常数比二次 2. 适用前提 必须是一元二次方程（a0） 方程必须有实数根（判别式 Δ=b2−4ac≥0） 3. 高频变形应用 已知方程，求 x12+x22​、等代数式的值 已知两根，反求一元二次方程：x2−(x1+x2)x+x1x2=0 已知一根，求另一根及方程中的参数 知识点02:两根代数式恒等变形（不解方程求值专用） 待求代数式 变形公式 知识点03:韦达定理四大基础题型解题思路 1.已知完整一元二次方程，求两根和、积及变形代数式 步骤：整理为一般式→确定a、b、c→计算Δ判断有实根→代入韦达公式→整体代换变形求值。 2.已知方程其中一根，求另一根与参数 利用 x1+x2=- 快速算出另一根，再将已知根代入方程求解参数，无需完整解方程。 3.已知两个数值，构造以其为根的一元二次方程 基础方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0，可同乘非零整数化为整数系数方程。 4.含参数一元二次方程，结合判别式求参数取值范围 限制条件分层： ① a≠0，保证方程是一元二次方程； ② Δ≥0，保证存在实数根； ③ 附加约束条件：两根正负、两根互为相反数 / 倒数等，结合韦达列不等式组。 知识点04:特殊根的对应条件 1.两根互为相反数：x1+x2=0，即 b=0，同时满足 Δ≥0； 2.两根互为倒数：x1x2=1，即 c=a，同时满足 Δ≥0； 4.两根一正一负：x1x2<0，此条件下Δ >0恒成立，无需额外计算判别式。 知识点05:列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 审：读懂题意，找出已知量与未知量. 设：设未知数（直接设 / 间接设） 列：根据等量关系列一元二次方程 解：解方程，求出未知数的值 验：检验根是否符合数学意义和实际意义（如长度、人数不能为负） 注意事项 (1) 要注意各类应用题中常用的等量关系，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系。 (2) 注意语言与代数式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务，还要注意从语言叙述中找出等量关系。 (3) 注意单位问题：一是在设未知数时必须写清单位，用对单位；二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致。 知识点06:常见应用题模型及核心公式 题型类别 核心公式 / 等量关系 典型特征 增长率 / 下降率问题 增长：a(1+x)n=b；下降：a(1−x)n=b（a初始量，x变化率，n变化次数，b最终量） 产量、利润、销售额等持续增减，已知初始与最终状态 传播问题 m(1+x)n=N（m初始传播源，x每轮传播数，n轮次，N总数量） 病毒、消息、分支生长等多轮扩散，总量逐步累积 利润（销售）问题 总利润 = （售价 - 成本）× 销售量； 销售额 = 售价 × 销售量 售价与销量反向联动，求特定利润或最优销售方案 几何（形积）问题 利用矩形、三角形等规则图形面积公式；不规则图形可通过分割 / 组合转化 场地修路、动点形成图形、图形面积计算，含边长限制 数字问题 多位数表示：三位数=100×百位数字+10×十位数字 +个位数字；连续整数/偶数/奇数：相邻两数差 1/2 已知数字间关系，求具体数字 握手 / 赠礼问题 握手总数：；互赠礼物总数：n(n−1)（n为人数） 无重复计数场景，数量与个体数成二次关系 利息问题 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金×(1 + 利率 × 期数)（无利息税） 银行存款、理财收益计算，涉及本金、利率、期数 知识点07:综合关联：判别式与韦达定理结合 条件组合 考察题型 解题要点 Δ>0+x1+x2、x1x2 两根符号判断 x1x2>0两根同号；x1x2<0两根异号 Δ0+ 含参数代数式 参数取值范围 先算参数，再检验判别式 一根为 0 x1x2=0 常数项c=0，同时保证a≠0 两根互为相反数 x1+x2=0且Δ 一次项系数b=0，判别式非负 知识点08.:全板块高频易错点 （一）韦达定理易错 1.忽略使用前提：不检验a≠0、Δ0，直接套用公式求参数； 2.两根和符号记错：x1+x2=，容易漏掉负号； 3.代数式变形出错：平方和、差的平方展开时常漏乘 2； 4.构造方程时符号颠倒，混淆一次项符号。 （二）应用题易错 1.解方程后不检验，保留负数、超出实际范围的根； 2.增长率问题次数n对应错误，两年增长误用1+2x； 3.面积动点题线段代数式列错，道路面积重复减、漏减； 4.利润问题销量增减关系写反，涨价写成销量增加。 题型1.一元二次方程根与系数的关系 【典例】已知，是方程的两个根，则______． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【跟踪专练2】设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【跟踪专练3】关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 题型2.传播问题 【典例】有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 【跟踪专练1】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【跟踪专练3】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 题型3.增长率问题 【典例】为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【跟踪专练1】据统计，2024年重庆市某区全年新能源汽车产量为35万辆，预计2026年该区全年新能源汽车产量将达到42.35万辆，那么该区这两年新能源汽车产量的年平均增长率为（   ） A．10% B．15% C．20% D．25% 【跟踪专练2】某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【跟踪专练3】在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 题型.4.与图形有关的问题 【典例】如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【跟踪专练1】如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【跟踪专练3】如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； (2)探究发现，120是前 行的点数和； (3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 题型5.数字问题 【典例】两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【跟踪专练1】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【跟踪专练2】已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 题型6.营销问题 【典例】商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为_____． 【跟踪专练1】山西文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．如图，某玩具厂将应县木塔、太原晋祠等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．该玩具厂以每个16元的价格批发给经销商，某经销商愿意经销800个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低1元，则愿意多经销100个．该玩具厂要想使生产的这种古建毛绒玩具的批发额达到14400元，每件玩具应降价多少元？设每件玩具降价元，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某商店经销一批小商品，每件商品的成本为元．据市场分析，销售单价定为元时，每天能售出件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨元，每天的销售量就减少件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 题型7.动态几何问题 【典例】如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的． 【跟踪专练1】如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 题型8.工程问题 【典例】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【跟踪专练1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【跟踪专练2】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 题型9.行程问题 【典例】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【跟踪专练1】数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【跟踪专练2】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 题型10.握手循环赛问题 【典例】元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【跟踪专练1】2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 题型11.其他实际问题 【典例】某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【跟踪专练1】北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 解答题 1．如果方程的两个根是，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x的方程的两个实数根之差的绝对值为，求a的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数． 2．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 3．（1）解方程：； （2）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数． 4．某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 5．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 6．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 7．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． (1)求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； (2)3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $