精品解析：湖北宜昌市葛洲坝中学2025-2026学年高二下学期6月巩固提升数学试卷

宜昌市葛洲坝中学高二年级2026年6月巩固提升 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 3. 某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 4. 校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（ ） A. B. C. D. 5. 用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某校高二年级某次数学周测成绩，且，现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在内．整理列联表，计算得，则参考临界值：（ ） A. B. C. 根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D. 根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 11. 已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若事件A，B相互独立，，，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，且恰能被6整除，则m的最小正整数取值为______． 13. 已知数列的前项和为，过点和点的直线的斜率为，则________． 14. 若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数______． 四、解答题（共5题，共77分，请在答题卡上相应区域内写清楚过程） 15. “一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下： 第月 1 2 3 4 5 投入 2 2 4 5 7 利润额 3 7 10 15 20 （1）从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值： （2）已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知抛物线与交于两点，其中点在第一象限，且，抛物线的准线与轴交于点． （1）求以线段为直径的圆的方程； （2）若在抛物线上，且，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 18. 已知数列满足，记． （1）求证：是等差数列； （2）设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜昌市葛洲坝中学高二年级2026年6月巩固提升 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】令，代入计算，即可得到结果. 【详解】令可得. 故选：D 2. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 【答案】A 【解析】 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 3. 某公司开发了两款智能模型和用于客服系统．测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用．若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8．则第2天使用模型的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式，代入求解，即可得答案. 【详解】设第2天使用模型为事件C，则. 4. 校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断随机变量服从二项分布，再代入二项分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，轮打分环节相互独立，每轮获得高分的概率均为， 故随机变量服从参数为，的二项分布，即。 则，故A正确. 5. 用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】当千位为或时，所组成的四位数一定大于；当千位为或时，所组成的四位数一定小于， 满足题意的四位数有个. 6. 已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过，确定是最小的，然后通过变换，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，从而确定的大小，从而得到答案. 【详解】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某校高二年级某次数学周测成绩，且，现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在内．整理列联表，计算得，则参考临界值：（ ） A. B. C. 根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D. 根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知及正态分布的对称性判断A、B，应用独立性检验基本思想判断C、D. 【详解】正态分布密度曲线关于直线对称，且， 所以，则，A、B正确． 因为， 在显著性水平为的独立性检验中，认为变量A与变量B不独立， 在显著性水平为的独立性检验中，认为变量A与变量B独立， C正确，D错误． 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：是常数，常函数的导数为0，故A错误。 选项B：由复合函数求导法则得，令，即，故B正确。 选项C：对求导得，故C正确。 选项D：求导得，即切线斜率，结合倾斜角， 得，故D错误。 11. 已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若事件A，B相互独立，，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，若​，则​，A正确. 选项B，若相互独立，则，根据和事件概率公式，B正确. 选项C，，.若，可得，  当时，则互斥，时​，此时等式两边都为0，等式成立但，推不出，C错误. 选项D，，.已知， 代入得 ，消去后得，D正确 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，且恰能被6整除，则m的最小正整数取值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出除以的余数，再根据整除条件确定的最小正整数即可. 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 13. 已知数列的前项和为，过点和点的直线的斜率为，则________． 【答案】40 【解析】 【分析】利用直线的斜率的定义，代入求解，求出数列中的通项公式，再求解. 【详解】因为过点和点的直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以． 14. 若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】设曲线与曲线的公共点为，由题意可以得到，列出关于的方程并进行求解即可. 【详解】由的定义域为， 因此设曲线与曲线的公共点为，， 则，即①， 又，，且两曲线在公共点有公切线， 则，即②， ①②联立消去得，解得， 代入①可得， 故答案为： 四、解答题（共5题，共77分，请在答题卡上相应区域内写清楚过程） 15. “一人公司”是指个人借助工具，独立完成产品设计研发到市场投放的全链路商业闭环，某数字文化创意制作有限公司是“一人公司”，连续5个月的科技投入（万元）与利润额（万元）的数据如下： 第月 1 2 3 4 5 投入 2 2 4 5 7 利润额 3 7 10 15 20 （1）从这5个月的利润额中随机抽取3个数值，记大于9万元的数值个数为，求的分布列及均值： （2）已知与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测投入为10万元时的利润额．附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）X的分布列为： 1 2 3 均值（或1.8） （2）经验回归方程为，投入10万元时预测利润额为万元（或约29.33万元） 【解析】 【分析】（1）分析出服从参数为的超几何分布，即可得出分布列及均值； （2）根据公式即可得出经验回归方程，再计算当时，的值即可求解． 【小问1详解】 由题可知，5个利润额中大于9万元的共3个，不大于9万元的共2个，抽取3个数值时，的可能取值为1,2,3，服从参数为的超几何分布： ， ， ， 因此X的分布列为： 1 2 3 均值为：． 【小问2详解】 首先计算样本均值：， 计算最小二乘估计所需的分子、分母： ， ， 所以， 因此经验回归方程为， 当时，，即投入10万元时预测利润额为万元． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线与交于两点，其中点在第一象限，且，抛物线的准线与轴交于点． （1）求以线段为直径的圆的方程； （2）若在抛物线上，且，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据图象的对称性，先明确点的纵坐标，代入圆的方程，确定点的横坐标，再求以为直径的圆的方程； （2）先明确直线不与轴平行，故可设为：，与抛物线方程联立，消去，利用一元二次方程根与系数的关系，写出，，利用进行转化，求出、的关系，确定直线过定点. 【详解】（1）由题意得，两点的纵坐标分别为， 代入中，解得舍去），， 代入中，得，解得抛物线， 则以线段为直径的圆的方程为． （2）如图： 显然直线与轴不平行，设直线的方程为， 联立，消去得． 设，则． ，且是抛物线上异于的不同两点，． ，同理得， ∴，∴，∴，即， ∴，所以直线过定点． 18. 已知数列满足，记． （1）求证：是等差数列； （2）设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）对题干中的条件两边同时除以，即可证明结论. （2）（i）利用错位相减法即可求得结果. （ii）对n分偶数和奇数分别讨论即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，两边同时除以，得到：， 又因为，所以，又， 故是首项为，公差为等差数列，结论得证； 【小问2详解】 （i）由（1）结论即可得到， 所以，所以①， 两边同乘2得：②， 由得：， 所以. （ii）不等式，代入，得到：， 当n为偶数，不等式变为：，右边随n的增大而减小，故，所以, 当n为奇数，不等式变为：，右边随n的增大而增大，故，所以， 故实数的取值范围为 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 【答案】（1）最小值为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【小问1详解】 当时，函数 ，定义域为，， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. 【小问2详解】 当时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，（），即（），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $