精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

2025—2026学年度下学期2024级 6月月考数学试卷 命题人：邹泳 审题人：吕跃 考试时间：2026年6月18日 一、单选题 1. 设为可导函数，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由导数的概念，得， 又，即 所以. 2. 若随机变量X的分布列为，则（ ） X 0 1 2 P 0.3 0.4 m A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用分布列性质计算得出参数m，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 3. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】应用等比中项的性质，由为等比数列，解出值，即可判断. 【详解】依题，“为等比数列”，所以， 得，化简得， 解得，则“”是“为等比数列”的充要条件. 故选：C 4. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，， 由，解得，A错误； 回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误； 由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确； 由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误. 故选：C 5. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 解得. 所以. 6. 将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可. 【详解】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式， 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球， 不同的装法种数为种. 故选：A . 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 8. 在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析事件包含的所有情况，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的乘法公式即可求得. 【详解】时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000. 则. 二、多选题 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 【答案】AB 【解析】 【详解】， 所以，A正确； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，B正确； ，C错误； 第行数字的最大值为，第行数字的最大值为， 则，D错误. 10. (多选)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（ ） A. 坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B. 若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C. 若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给数据求出坐公交车的均值方差判断A，由正态分布及所给图象分析可判断BCD. 【详解】坐公交车所花时间的均值为： ， 方差为 ，故A错误； 根据题意，可以得到， 7：50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故B正确； 由题中图可知， ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上 出发，有可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故D正确． 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得出在点处的切线方程，结合牛顿数列的定义得出的递推关系判断A；根据，结合的递推关系可推知的通项公式，判断其余选项. 【详解】，所以在点处的切线方程为：， 令，得，故A正确. ，故，即， 又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且数列是递增数列，B错误，C正确， 所以，D正确. 三、填空题 12. 函数的单调减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】求函数的导数，解f′（x）＜0，即可求出函数的单调减区间． 【详解】 函数f（x）＝lnx+的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝ ， 由f′（x）＝＜0，解得x＜1，即函数的单调减区间为（0，1）， 故答案为（0，1）． 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，注意定义域,属于基础题. 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，且，由于数列唯一，则公比q的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数． 【详解】设等比数列的公比为，∵， ，，，∴，，． ∵，，成等比数列，∴， 整理得.∵，∴， ∴关于公比q的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为． 又数列唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件． ∵公比q的值不可能等于0， ∴方程必有一根为0，把代入此方程，解得． 故答案为： 四、解答题 15. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质及与的关系即可求解通项公式； （2）数列的通项公式通过累乘法即可求得，再结合裂项相消即可求得前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，且， 因为，所以，解得， 所以，所以， 当时，， 当时，， 显然满足上式，则数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，且， 则，， 显然满足上式，则， 可得， 当，即时，， 所以. 16. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）BC中点为，连接，由且，证得平面，可证平面平面. （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取BC中点为，连接， 在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC， 又平面， ， 又，， 平面 ，，平面， 又平面，平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，斜棱柱的高为， ， ， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. （1）设直线，的斜率分别为，，求的值 （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； 【小问2详解】 由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 18. 李明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：李明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若都是离散型随机变量，则，记李明前天晨跑的天数为，求. 【答案】（1）； （2）证明：由题意得，李明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为， 李明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为， 所以， 即，则， 所以， 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 由（1）得，，， 所以， 所以， 则，，…，， 所以， 所以（或）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【小问1详解】 已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 记他前天中，第天晨跑的次数为. 由题意得，服从两点分布，且， 所以， 所以 所以. 19. 已知函数 （1）若曲线在处的切线斜率为，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）正数满足，求证： 【答案】（1） （2） （3）证法1：由（2）知，当时，不等式恒成立，则， 当时，得， 等号成立当且仅当，其解唯一且， 因此. 当且仅当时，等号成立， 故等号不成立， 故； 证法2：先证明，证明如下：设， ，则在上是单调递增函数， ，即， 故， 当且仅当时，等号成立， 但当时，，故等号不成立， 故； 证法3：考虑函数，， 故在上是单调递增函数， 设， ，则在上是单调递增函数， 即在上是单调递增函数， 故由琴生不等式：， 因此. 当且仅当时，等号成立， 但当时，，故等号不成立， 故； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）方法1：构造函数，利用导数法得到的单调性，利用单调性和零点定理得到，从而得到a的取值范围.方法2：解出，构造函数，求出，构造函数，利用导数得到单调性，利用单调性和零点定理得到，从而得到a的取值范围. （3）证法1：利用第（2）问的结论求解；证法2：利用及基本不等式求解； 证法3：构造函数，利用导数法得到在上是单调递增函数，构造函数，利用导数法得到在上是单调递增函数，利用琴生不等式得到结论. 【小问1详解】 求导得，则，解得. 【小问2详解】 （2）方法1：令，则， ①若，则，在单调递减，又，矛盾； ②若，令，则， 所以在单调递增，又，， 故由零点定理知：，使，即， 即，两边取自然对数，，即，即， 故当时，,则,故在上单调递减； 当时，,则,故在上单调递增， 则，解得， 故a的取值范围是. 方法2：， 令，， 令，，故在单调递增， 注意到，， 故由零点定理知： ，使，即， 故在递增，在递减， ， 故a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期2024级 6月月考数学试卷 命题人：邹泳 审题人：吕跃 考试时间：2026年6月18日 一、单选题 1. 设为可导函数，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 若随机变量X的分布列为，则（ ） X 0 1 2 P 0.3 0.4 m A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 3. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示， x 2 4 6 8 y 5 8.2 13 m 则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x是负相关关系 C. 该回归直线必过点 D. x增加1个单位，y一定增加2个单位 5. 设是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为，.假设每次信号的传输相互独立.当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 10. (多选)小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（ ） A. 坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B. 若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C. 若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上 出发，则应选择坐公交车 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数列 D. 三、填空题 12. 函数的单调减区间为________． 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 14. 已知两个等比数列，满足，，，．若数列唯一，则______. 四、解答题 15. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）. 16. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. （1）设直线，的斜率分别为，，求的值 （2）求面积的最大值. 18. 李明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：李明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若都是离散型随机变量，则，记李明前天晨跑的天数为，求. 19. 已知函数 （1）若曲线在处的切线斜率为，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）正数满足，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $