江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年高二第二学期期末质量监测数学试题

2025～2026学年第二学期期末质量监测 高二数学试题 注意事项： 1. 本试卷共4页，19小题，满分150分；考试时间120分钟。 2. 答题前，请务必将学校、姓名、班级、准考证号填写在试卷及答题卡上。 3. 作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上指定区域内作答；在其它位置作答一律无效。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A．29 B．31 C．40 D．42 3．已知空间向量，，且，则（ ） A．2 B．-1 C．1 D．2 4．已知随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知变量x，y的数据如下若x与y的回归直线方程为，则（ ） x 3 4 6 7 y 2.5 3 m 5.9 A．3.5 B．4 C．4.2 D．5 6．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 7．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（ ） A． B． C． D． 8．如图､在等边三角形中，点分别在边，边上，且，,将三角形沿折起，将点翻折至点处，使得平面平面，则直线与所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。 9．已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A． B． C．的面积是 D． 11．在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（ ） A．存在点，使 B．若，则动点的轨迹长度为 C．当在线段上时，直线与平面平行 D．当在线段上时，直线与平面所成角最大值为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知事件A和B满足，，，则__________． 13．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________. 14．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：共5题，15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分。 15．已知是等差数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 16．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 17．某便利店为吸引顾客，推出抽奖活动，规则如下：顾客单次消费满30元即可参与1次抽奖，从装有4个红球、2个白球的不透明抽奖箱中不放回地抽取2个球，根据抽到的红球个数发放对应优惠券，具体奖励为：抽到2个红球，获20元优惠券；抽到1个红球，获5元优惠券；抽到0个红球，无优惠券．已知每位顾客抽奖结果相互独立，某顾客单次消费满30元，参与了此次抽奖． （1）求该顾客获得优惠券金额的分布列及数学期望； （2）若3位顾客均满足抽奖条件且各参与1次抽奖，求这3位顾客中至少有2人获得20元优惠券的概率． 18．已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆方程； （2）求证：直线过定点； （3）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 19．已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若对恒成立，求整数的最小值； （3）当时，证明：在上存在唯一零点和唯一极小值点，且. 2025～2026学年第二学期期末质量监测 高二数学答案 一、单项选择题：共8小题，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B C D B 二、多项选择题：共3小题，满分18分． 题号 9 10 11 答案 BC ABD AC 三、填空题：共5小题，满分15分． 12． 13． 14． 四、解答题：共5大题，满分77分． 15．（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得， 有，故数列的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 则， 两式作差得， 所以． 16．（1）因为底面，底面，所以． 又底面为矩形，所以， 又，平面，且，所以平面． 又平面，所以． （2）以为原点，建立如下图空间直角坐标系． 易知，，，．所以，． 设平面的法向量为， 则，可取． 取平面的法向量． 设二面角为，则，所以． 17．（1）设随机变量表示该顾客获得的优惠券金额，则，总的抽法数为， 当抽到2个红球时，，， 当抽到1个红球1个白球时，，， 当抽到0个红球，即2个白球时，，， 所以的分布列为 0 5 20 数学期望为． （2）设事件表示“1、位顾客获得20元优惠券”，则， 因为3位顾客抽奖结果相互独立， 所以“获得20元优惠券的人数”服从参数为，的二项分布． 设其中获得20元优惠券的人数为，则所求概率为， 其中，， 所以． 18．（1）由题意可得，则，，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）连接，设，，而，， 因为，所以，则， 因为，所以， 设直线的方程为， 则，得， ，，， 则， 化简可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，故恒过定点； （3）因为，所以， 设直线的方程为，即， 则，得，故， 则到的距离为，到的距离为， 且与异号，故， 所以 ， 由（2）可知， 所以，， 所以且， 所以的取值范围为． 19（1）解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得． （2）解；由，且， 由，可得， 当时，，，不符合，故， 法一：当时成立，此时， 当时，， 令，可得， 所以在递增，在递减， 又，，所以，即． 当时，可得，所以． 所以当时，均有对恒成立， 综上所述，整数的最小值为3． 法二：当时成立，此时， 当时，，令， 可得在上递增， 因为，， 所以存在，使得，即， 又因为，所以， 则， 所以在递增，有， 当时，， 所以，也成立． 综上所述，整数的最小值为3． （3）证明：由，可得， 令，可得， 当时，在上递增， 而，，所以存在，使得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，，， 所以存在，使得，所以在递减，在递增， 又当时，，所以在递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以是在上的唯一极小值点； 此时，， 所以在，即上存在唯一零点，使得， 下证：． 因为，所以，又因为在递增，只需证， 因为是的唯一极小值点，可得，即，可得 又因为，即， 因为，只需证明：， 令，其中， 则， 所以在上单调递增，， 所以成立，证毕， 所以在上存在唯一零点和唯一极小值点，且． 学科网（北京）股份有限公司 $