期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 线面垂直定义回顾 若直线 平面 ，则直线 垂直平面 内任意一条直线。 2. 四大核心性质定理 1. 性质 1（垂面内所有直线） 若 ，直线 ，则 。 1. 性质 2（同垂直一个平面的两直线平行） 若 ，则 。 1. 性质 3（平行线垂面传递） 若 ，则 。 1. 性质 4（垂面平行传递） 若 ，则 。 3. 符号规范 二、解题原理 1. 证线线垂直 已知一条直线垂直平面，要证该直线与平面内另一条直线垂直，直接用性质 1，无需再找夹角。 1. 证线线平行 两条直线都垂直于同一个平面，直接判定两直线平行，是立体几何证线线平行常用捷径。 1. 证线面垂直 已知直线与垂线平行，且垂线垂直平面，可直接推出这条直线也垂直平面。 1. 做题逻辑：先找线面垂直条件，再根据需求选用对应性质，实现“线面垂直 线线垂直/线线平行”转化。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在四面体ABCD中，，点为棱BC的中点． (1)证明：； (2)求直线DE与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明：连接，； 因为，点为棱BC的中点，故； 又，故； 因为，平面，故平面， 因为平面，故． (2)． 【分析】（1）在空间中证明异面直线垂直，可以转化为线面垂直，利用线面垂直的性质证明线线垂直； （2）由（1）可得平面，通过线面角的作角方法，证明线面角，利用三角形求解线面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面，因为平面，故平面平面， 因为，则； 又因为，则； 则，故， 因为平面平面，则平面； 则直线DE与平面ABC所成角为， 故， 故直线DE与平面ABC所成角的正弦值为． 例2．（25-26高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面， 所以； (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）过作于，得进行计算； （3）由是二面角的平面角，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）过作于，连接， 因为，平面，得平面， 平面 所以， 在中，可求得，， 在中，，可求得， 所以点到直线的距离为，    （3）因为平面，且平面，所以， 因为，平面， 得平面，而平面， 得， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，由（2）有，，可得， 在四边形中，，， 所以，，，四点共圆，且为直径， 所以， 在直角三角形中，，，解得， 所以， 所以二面角平面角的正切值为． 例3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． (1)若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； (2)若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面； 又∵PC平面， ∴BC⊥PC； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直； （2）利用等积法求点A到平面PBC的距离． 【详解】（1）略 （2）∵PA⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PA⊥AB， ∴PB=， 同理=， ∴是等腰三角形，． ∵，, 即 ， 解得． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)，，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明二面角的平面角为，再利用余弦定理解即可. 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 变式2．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连和， 因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以， 所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以， 因为且平面，所以面， 又因为面，所以． (2)． 【分析】（1）取中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得； （2）设，利用勾股定理，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，得到即为直线与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 变式3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 考点二 面面垂直的性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 面面垂直性质定理（必考） 如果两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号： 2. 拓展推论 1. 两平面垂直，过一个平面内一点作交线垂线，则该垂线垂直另一平面； 1. 两平面垂直，垂直其中一个平面的直线平行于另一平面或在另一平面内； 1. 三个平面，两个同垂直第三个平面，则两平面交线垂直第三个平面。 3. 关键前提 使用核心性质定理缺一不可三个条件： ① ；② 直线在其中一个面内；③ 直线垂直两平面交线。 二、解题原理 1. 立体几何作垂线万能依据 题目给出面面垂直，要找平面垂线，固定操作： 找到两平面交线 → 在其中一个平面内作交线的垂线 → 这条线垂直另一平面。 1. 证明线面垂直 大题高频思路：先证面面垂直，再用面面垂直性质定理直接得到线面垂直。 1. 后续衍生证明 得到线面垂直后，可继续推导： ① 线线垂直（该直线垂直另一平面内所有直线）； ② 线面平行、面面垂直判定。 1. 求线面角、二面角几何法必备 面面垂直性质用来构造平面垂线，作出线面角、二面角的平面角。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，．    (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以． (2)证明：在平面内作于， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，则， 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. 【分析】（1）先由线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质即可证得结论； （2）在平面内作于，利用面面垂直的性质可得平面，进而，再由线面垂直的性质得,根据线面垂直的判定定理推得平面，即可证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（24-25高一下·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面，D，E，F分别为，，的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又，是的中点，所以， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以. (2)证明：如图，连接， 因为分别是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，再由线面垂直的判定定理证明平面，进而得证； （2）连接，可证四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理得证. 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26高一下·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，证明出平面； （2）由面面垂直得到线面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三线合一得到⊥，故可证平面. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用勾股定理可证得，即可得到平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）证明：连接， 因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，平面. （2）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， ，所以，则， ，平面， 平面，又平面， 平面平面． 变式2．（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)当平面平面时， （i）求证：；     （ii）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（i）证明：梯形中，，，， ，. 取的中点，连接，易知四边形为正方形， ，可知. ，. 平面平面，平面平面，平面 平面，平面，； （ii）2 (2) 【分析】（1）由条件先证明，再由平面平面，由面面垂直的性质定理可以得到平面，即可证明；（ii）又由，根据线面垂直的判定定理可以得到平面，即可知点到平面的距离即为； （2）取的中点，的中点，首先确定点在平面上的射影为在直线上，分析得到只研究在上或在左侧的情况，过作，得到的表达式，通过换元，利用基本不等式即可求出直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1）（i）略 （ii），，，平面， 平面，点到平面的距离为； （2） 取的中点，的中点，连接可知. 由（1）知. 设点在平面上的射影为，则由， 可得，从而，在直线上. 设直线由平面所成的角为，则. 可知分别在左右对称位置时，长度相同， 而当在右侧时，较长，此时较小， 因此只需考虑在上或在左侧的情况. 过作，则， 设，则，， ，， ， ，. 设，则， ， ，，当且仅当， 即时取等号，， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 变式3．（24-25高二下·上海浦东新区·期末）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：连接，因为，是中点，所以，， 因为平面平面，平面平面， 且面，， 所以面，又因为面，所以， 由，， 因为，，，所以； (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，由线面垂直可得线线垂直，结合勾股定理即可得证； （2）根据三棱柱体积计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 即三棱锥的高为， 而， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质复习讲义 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 线面垂直定义回顾 若直线 平面 ，则直线 垂直平面 内任意一条直线。 2. 四大核心性质定理 1. 性质 1（垂面内所有直线） 若 ，直线 ，则 。 1. 性质 2（同垂直一个平面的两直线平行） 若 ，则 。 1. 性质 3（平行线垂面传递） 若 ，则 。 1. 性质 4（垂面平行传递） 若 ，则 。 3. 符号规范 二、解题原理 1. 证线线垂直 已知一条直线垂直平面，要证该直线与平面内另一条直线垂直，直接用性质 1，无需再找夹角。 1. 证线线平行 两条直线都垂直于同一个平面，直接判定两直线平行，是立体几何证线线平行常用捷径。 1. 证线面垂直 已知直线与垂线平行，且垂线垂直平面，可直接推出这条直线也垂直平面。 1. 做题逻辑：先找线面垂直条件，再根据需求选用对应性质，实现“线面垂直 线线垂直/线线平行”转化。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在四面体ABCD中，，点为棱BC的中点． (1)证明：； (2)求直线DE与平面ABC所成角的正弦值． 例2．（25-26高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若，求二面角平面角的正切值． 例3．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． (1)若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； (2)若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 变式2．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 变式3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 考点二 面面垂直的性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 面面垂直性质定理（必考） 如果两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 符号： 2. 拓展推论 1. 两平面垂直，过一个平面内一点作交线垂线，则该垂线垂直另一平面； 1. 两平面垂直，垂直其中一个平面的直线平行于另一平面或在另一平面内； 1. 三个平面，两个同垂直第三个平面，则两平面交线垂直第三个平面。 3. 关键前提 使用核心性质定理缺一不可三个条件： ① ；② 直线在其中一个面内；③ 直线垂直两平面交线。 二、解题原理 1. 立体几何作垂线万能依据 题目给出面面垂直，要找平面垂线，固定操作： 找到两平面交线 → 在其中一个平面内作交线的垂线 → 这条线垂直另一平面。 1. 证明线面垂直 大题高频思路：先证面面垂直，再用面面垂直性质定理直接得到线面垂直。 1. 后续衍生证明 得到线面垂直后，可继续推导： ① 线线垂直（该直线垂直另一平面内所有直线）； ② 线面平行、面面垂直判定。 1. 求线面角、二面角几何法必备 面面垂直性质用来构造平面垂线，作出线面角、二面角的平面角。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，．    (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：． 例2．（24-25高一下·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，，，平面平面，D，E，F分别为，，的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 例3．（25-26高一下·广东广州·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 变式2．（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)当平面平面时， （i）求证：；     （ii）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 变式3．（24-25高二下·上海浦东新区·期末）如图，三棱锥中，，，，平面平面，是中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $