期末复习：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题复习讲义 期末复习：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题复习讲义 考点目录 几何法求线面角问题 几何法求二面角问题 考点一 几何法求线面角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 线面角定义 直线与平面中所有直线所成角的最小值；直线与平面相交，直线和它在平面内射影的夹角，记作 。 取值范围：。 · 直线 平面 / 直线在平面内：； · 直线 平面：。 1. 核心三要素（找角必备） ① 斜线上任取一点 ； ② 过 作平面的垂线，垂足 ； ③ 连接斜足 与垂足 ， 为射影； 即为直线 与平面的线面角 。 1. 直角三角形边角关系 设 平面， 为点到平面距离 ，斜线长 ： 1. 常用辅助找垂线模型 · 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内作交线垂线，该线垂直另一平面； · 三棱锥等体积法：不便直接作垂线时，求点到平面距离 。 二、解题原理（标准四步） 1. 作垂线：利用面面垂直、垂直判定找点向平面作垂线，确定垂足； 1. 定射影：连接垂足与斜足，标出射影，锁定线面角直角三角形； 1. 算边长：解直角三角形，求出垂线段、斜线长度； 1. 求角度：利用 计算三角函数值，写出线面角。 1. 特殊解题技巧 无直观垂线时，先用等体积法算出点面距离 ，不用画图也可直接求 。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，，. 由折叠性质得，为等腰三角形，故. 四边形为菱形且，为等边三角形，因此. 又，平面，故平面. 因平面，因此，得证. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过证明线面垂直的方法证得. （2）（i）判断 与平面所成角，解直角三角形求得其正弦值. （ii）利用等体积法求得到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）（i）由平面平面，平面平面，平面且， 故平面，即为与平面所成的角. 由得，故， 在中，. 等边中，. 在中，，故. （ii）设点到平面的距离为，由等体积法得. 菱形中，，， 故. 三棱锥的高为， 故. 在中，，，， 由余弦定理得， 故， 因此. 由，解得. 例2．（25-26高二下·浙江宁波·月考）如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．    (1)求证：； (2)若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 又因为，，，所以, 所以,所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）（i）先判断为直线与平面 所成角的平面角，进而计算出线面角的大小. （ii）作出二面角的平面角，由此列方程求得的长. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面 ， 由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角． 又因为，故线面所成角的大小为； （ii）因为平面 ，平面 ， 所以，又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ， 又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角． 故， 因为，所以，故， 所以，又，， 解得．    例3．（25-26高二下·福建福州·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明： 取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以． (2) 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； （2）设，直线与平面所成的角为，先得到，利用换元法设，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）略． （2）设， 在中，，， 则， 故， 作，垂足为，则， 由（1）知平面，则， 因为平面，平面，且， 所以平面，即点到平面的距离为， 因为是棱的中点，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成的角为， 则， 设，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   变式2．（25-26高一下·上海·月考）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与平面所成角为； (3)，理由如下： 在中，因为是的中点，是的中点，故； 因为平面，且平面； 故平面； 又因为平面平面，且平面， 故． 【分析】（1）在平面图中，根据三角形中已知两边及其夹角，利用余弦定理计算第三边即可； （2）利用线面角的作角方法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与交点，直线与投影所形成的夹角为线面角，通过解三角形的方法计算夹角即可； （3）根据线面平行的性质可知，过平面的平行线的平面与已知平面平行，交线与这条直线平行，由此进行证明即可． 【详解】（1）在中，已知，，； 由余弦定理可得， 整理得，解得； （2） 如图所示，作，连接； 因为平面，且平面，故平面平面； 因为平面平面，且，平面， 故平面，故为直线与平面所成角； 由（1）知，在中，已知，，， 故为直角三角形，； 根据面积公式可得，解得， 则； 在中，，，， 可得，则， 在中，由余弦定理可得 ， 解得； 故在直角三角形中，， 因为，故； 故直线与平面所成角为； （3）略． 变式3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)取的中点，连接. ∵在中，为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵为的中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面平面， ∴平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到为直线与平面所成的角，利用正弦定义即可求解. 【详解】（1）略 （2）连接，在直三棱柱中， ∵平面平面，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线， ∴平面， 又平面，∴， 又∵在中，为的中点，∴， 又是平面内的两条相交直线， ∴平面. ∴是在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角. 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线与平面所成的角为. 考点二 几何法求二面角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 二面角定义 一条直线（棱）出发两个半平面组成的空间图形；平面角是衡量二面角大小的角。 平面角取值范围：。 1. 二面角平面角标准定义 在棱上任取一点 ，分别在两个面内作棱的两条垂线，两条垂线的夹角即为二面角平面角。 满足三条件：① 顶点在棱上；② 两边分别在两个面内；③ 两边都垂直于棱。 1. 两种几何找角法 （1）定义法（点在棱上） 棱上取点，两面内分别作棱垂线，直接构成平面角。 （2）三垂线定理法（点不在棱上，高频） 1. 过面 内一点 作另一平面 垂线，垂足 ； 1. 过 作棱的垂线，垂足 ； 1. 连 ，由三垂线定理得 棱， 为二面角平面角（或其补角）。 1. 判断锐角/钝角 观察二面角开口：平面角为锐角/直角/钝角；若垂线分居棱两侧，夹角为二面角；同侧为补角。 二、解题原理（通用步骤） 1. 找棱：明确两个平面的公共棱； 1. 构造平面角，二选一思路： · 思路 1（定义）：棱上定点，两面内作棱垂线； · 思路 2（三垂线）：面内找点作面垂线，再作棱垂线，连线形成平面角； 1. 解三角形：在含平面角的三角形中，用勾股、正余弦定理求出角的三角函数； 1. 判定正负：判断所求角是二面角本身还是补角，给出最终角度。 1. 辅助简化思路 面面垂直二面角直接为 ；无合适垂线时可借助三棱锥体积配合边长计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    例2．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)求证：； (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （2）过点B作于点E，得出为二面角的平面角，在中求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以，， 过点B作于点E，连接， 在和中，有，，，所以， 所以当时，有，且， 所以为二面角的平面角， 因为底面为正方形，所以， 又由（1）知，所以． 在中，有，得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以二面角的大小为． 例3．（25-26高一下·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】(1)由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）略 （2）在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点到平面的距离为. （3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为.    【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）如图.在三棱锥中，底面ABC，，，，M是PB的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面得，，，由线面垂直判定定理得平面，从而得，则通过计算四个直角三角形的面积即可求解； （2）取中点N，取中点E，连接，，，可证得，，利用定义可得为二面角的平面角，然后在中即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ，，所以，， 所以，， ，， 所以三棱锥的表面积. （2） 取中点N，取中点E，连接，，， 则，又底面ABC，则底面， 又底面，则， 由（1）知，，因为M是的中点， 所以在中，， 在中，，所以， 所以，又因为，，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角． 在中，，，， 所以，即二面角的平面角的正弦值为. 变式2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，且，所以平面. 又平面，因此. 因为是正方形，所以. 又，且平面， 根据线面垂直的判定定理，所以平面. (2) 【分析】（1）由条件可得 平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得； （2）先延长并交于点，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为 ，且，所以四边形为直角梯形， 因此直线与直线必交于一点. 连接，过作，垂足为，连接，如图： 因为，所以平面，所以平面. 同理，平面，所以平面， 因此是平面与平面的公共点， 又因为点也平面与平面的公共点，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面， 因此就是平面与平面的夹角的平面角. 因为在中， ，且，所以是的中位线， 所以，在中，，如图： 由余弦定理， 解得， 又由正弦定理，得. 在直角中，，， 所以. 以在直角中，， 由勾股定理得， 所以. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高一下·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【详解】（1），，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示：   为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接.   ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题复习讲义 期末复习：几何法求线面角问题、几何法求二面角问题复习讲义 考点目录 几何法求线面角问题 几何法求二面角问题 考点一 几何法求线面角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 线面角定义 直线与平面中所有直线所成角的最小值；直线与平面相交，直线和它在平面内射影的夹角，记作 。 取值范围：。 · 直线 平面 / 直线在平面内：； · 直线 平面：。 1. 核心三要素（找角必备） ① 斜线上任取一点 ； ② 过 作平面的垂线，垂足 ； ③ 连接斜足 与垂足 ， 为射影； 即为直线 与平面的线面角 。 1. 直角三角形边角关系 设 平面， 为点到平面距离 ，斜线长 ： 1. 常用辅助找垂线模型 · 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内作交线垂线，该线垂直另一平面； · 三棱锥等体积法：不便直接作垂线时，求点到平面距离 。 二、解题原理（标准四步） 1. 作垂线：利用面面垂直、垂直判定找点向平面作垂线，确定垂足； 1. 定射影：连接垂足与斜足，标出射影，锁定线面角直角三角形； 1. 算边长：解直角三角形，求出垂线段、斜线长度； 1. 求角度：利用 计算三角函数值，写出线面角。 1. 特殊解题技巧 无直观垂线时，先用等体积法算出点面距离 ，不用画图也可直接求 。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 例2．（25-26高二下·浙江宁波·月考）如图，在四棱锥中，，，，平面 ，．    (1)求证：； (2)若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 例3．（25-26高二下·福建福州·月考）将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26高一下·上海·月考）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 变式3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 考点二 几何法求二面角问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 二面角定义 一条直线（棱）出发两个半平面组成的空间图形；平面角是衡量二面角大小的角。 平面角取值范围：。 1. 二面角平面角标准定义 在棱上任取一点 ，分别在两个面内作棱的两条垂线，两条垂线的夹角即为二面角平面角。 满足三条件：① 顶点在棱上；② 两边分别在两个面内；③ 两边都垂直于棱。 1. 两种几何找角法 （1）定义法（点在棱上） 棱上取点，两面内分别作棱垂线，直接构成平面角。 （2）三垂线定理法（点不在棱上，高频） 1. 过面 内一点 作另一平面 垂线，垂足 ； 1. 过 作棱的垂线，垂足 ； 1. 连 ，由三垂线定理得 棱， 为二面角平面角（或其补角）。 1. 判断锐角/钝角 观察二面角开口：平面角为锐角/直角/钝角；若垂线分居棱两侧，夹角为二面角；同侧为补角。 二、解题原理（通用步骤） 1. 找棱：明确两个平面的公共棱； 1. 构造平面角，二选一思路： · 思路 1（定义）：棱上定点，两面内作棱垂线； · 思路 2（三垂线）：面内找点作面垂线，再作棱垂线，连线形成平面角； 1. 解三角形：在含平面角的三角形中，用勾股、正余弦定理求出角的三角函数； 1. 判定正负：判断所求角是二面角本身还是补角，给出最终角度。 1. 辅助简化思路 面面垂直二面角直接为 ；无合适垂线时可借助三棱锥体积配合边长计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)求证：； (2)若，求二面角的大小． 例3．（25-26高一下·山东·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）如图.在三棱锥中，底面ABC，，，，M是PB的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求二面角的平面角的正弦值. 变式2．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高一下·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，．    (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $