立体几何初步：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专题讲义-2024-2025学年高一下学期数学期末复习人教A版（2019）必修第二册

立体几何初步：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质 立体几何初步：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 【例题分析】 1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面 . 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 3．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.求证： (1)平面; (2)平面. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中 (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 6．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 7．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. (1)求证：//平面 (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的大小. 8．（24-25高一下·广东·期中）如图，在正方体中，E，F分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 考点二 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段练习）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 5．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 6．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 7．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 考点三 面面垂直的判定 【知识点解析】 1.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 【例题分析】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 2．（24-25高一下·广东·期中）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 3．（24-25高一下·重庆·期中）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 5．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： (1)直线平面PAC； (2)平面平面． 7．（24-25高一下·天津西青·期中）如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. (1)求证: 直线平面 (2)求证：平面 平面 (3)求与平面所成的角的正切值. 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 1．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 2．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC. (1)求证：； (2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. (1)求几何体的体积； (2)求二面角的正切值； (3)求几何体的外接球的表面积. 5．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 6．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且，，是的中点． (1)证明：平面． (2)证明：． (3)求异面直线，所成角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何初步：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质 立体几何初步：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 【例题分析】 1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面 . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，与相交于，连接， ∵是平行四边形， ∴是的中点，又点是的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面，底面， ， ， 平面平面； （2）， 又三棱锥的体积为． 3．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3）在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 4．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.求证： (1)平面; (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）∵底面是正方形， ∴， 又平面，平面， ∴平面； （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得， 因平面， 故平面. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 6．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. (1)求证：//平面 (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面. （3）由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 8．（24-25高一下·广东·期中）如图，在正方体中，E，F分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，在正方体中，E，F分别为的中点， 因为，所以， 则四边形是平行四边形，可得， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在正方体中，平面， 而平面，所以， 又因为在正方形中， 且平面， 所以平面， 由（1）可知，， 所以平面. 考点二 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面； 因为，所以平面. 又平面，所以. 由（1）知平面，因为平面交于点，可得平面. 所以，又，平面； 所以平面. 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）若为的中点，连接，结合题设易知为正方形，即， 由是等腰直角三角形，，则， 由平面，平面，则， 又都在平面内，则平面， 由平面，则，结合，有； （2）若为的中点，连接，又分别为的中点， 所以，， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面BCE. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·阶段练习）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点． (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接、， 在直三棱柱中，，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，则，故， 因为，，，、平面，故平面， 因为平面，所以. （2）因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为，，则， 所以， 因为平面，平面，则， 因为，，所以四边形为矩形， 设，则， 所以，解得， 因为平面，所以直线与平面所成角为， 在中，，，所以， 因为，故，因此直线与平面所成角为. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 5．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是矩形，则， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，，因为、分别是、的中点， 所以且，又且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （3）因为为矩形，与交于点， 所以为的中点，且为的中点， 又、分别是、的中点， 所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 6．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 7．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，连结，设交于，连结， 因为底面是菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在直四棱柱中，平面， 平面，所以， 又底面是菱形，所以， 因为平面，且， 所以平面，又平面， 所以. （3）设到平面的距离为， 则， 而直四棱柱中，底面是棱长为2的菱形，， 所以菱形的面积为， 所以. 考点三 面面垂直的判定 【知识点解析】 1.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 【例题分析】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面； （2）由（1）知平面平面，所以平面平面． （3）平面平面，又， 为二面角的平面角． 在中，， . 2．（24-25高一下·广东·期中）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴. ∵，点是线段的中点，∴， ∴为等腰直角三角形，故， ∴，即. ∵在直三棱柱中，，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） ∵四边形为矩形，点是线段的中点，∴， ∵，∴为等边三角形，故. 由题意得，，，∴， ∵，∴. 如图，过作平面，垂足为，连接，. 由（1）得，平面平面， ∵平面，∴平面平面. ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离等于到平面的距离， ∵平面，平面，∴， ∵面，∴， ∴四边形为矩形，故，. 由平面，平面，∴，故. 由，得，     由（1）知，， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角， 在中，，∴. 由，，得为等腰直角三角形，即， ∴二面角的正弦值为. 3．（24-25高一下·重庆·期中）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，侧面底面ABCD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)见详解. (2) 【详解】（1）由底面ABCD为正方形，得，又底面ABCD， 侧面底面ABCD，侧面底面ABCD， 则平面，而平面， 所以平面平面. （2）在平行六面体中，连接，连接， 由，，得是菱形，且是正三角形， 则，由（1）知平面，而，则平面， 又平面平面，于是平面，又平面， 则，而平面，因此平面， 又平面，则，为 二面角的平面角， 在中，，则斜边， 所以，即二面角的平面角的正弦值. 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【详解】（1）连结交于O，连结 在中，因为M，O分别为AC，中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）因为侧棱底面ABC，平面ABC，所以 又M为棱AC中点，，所以 因为，，平面 所以平面，平面，所以 因为M为棱AC中点，，所以，又， 所以在和中， 所以，即，所以 因为，BM，平面，所以平面 （3）当点N为中点时，即，平面平面 设中点为D，连结DM， 因为D，M分别为，AC中点，所以，且 又因为N为中点，所以，且， 所以四边形DMBN是平行四边形，所以， 结合（2）平面，则平面， 又平面，所以平面平面 5．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，， 所以，，可知是正三角形. 因为是的中点，所以， 又，所以. 因为底面，平面，所以. 又、平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为底面，平面，所以. 又，，所以，. 在正三角形中，，是的中点，所以，且. 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，底面， 设点到平面的距离为，所以. 而. 所以，即点到平面的距离为. 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： (1)直线平面PAC； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）在长方体中，连接，分别是的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）在长方体中，平面，平面，则， 在长方体中，，四边形为正方形，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 7．（24-25高一下·天津西青·期中）如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. (1)求证: 直线平面 (2)求证：平面 平面 (3)求与平面所成的角的正切值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3) 【详解】（1） 设，连接， 在三棱柱中， 底面，且为正三角形， 三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形， 为的中点，又为的中点，在中有， 平面，平面，平面； （2）连接， 底面，平面， ， 又为正三角形，为的中点，， 又，又平面，平面， 平面，又平面，平面平面； （3）由（2）可知平面，即为在平面内的射影， 即为与平面所成的角， 三棱柱为正三棱柱，且， ，， . 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 1．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 2．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，如图所示，    因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.    (1)求证：； (2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：作 因为平面平面PBC，平面平面平面PAC 所以平面PBC 因为平面PBC 所以 因为平面平面ABC，所以    因为平面PAC 所以平面PAC， 又平面PAC，所以 （2）①由（1）得平面PAC 所以为在平面的射影，为与平面所成角 在中，， 在直角中， 所以与平面所成角的正切值为 ②过作的垂线，垂足为，过作，交于 因为平面平面，所以 又因为平面 所以 因为平面平面PAC，所以平面PAC 同理平面 因为平面FQN，所以平面平面 因为平面，所以平面 设 所以 在直角中， 当时，    4．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. (1)求几何体的体积； (2)求二面角的正切值； (3)求几何体的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在直角梯形中， ，得， 易知，在三角形中， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 所以， 取中点，连接，则，又平面平面， 且相交于，平面， 从而平面，又在平面内，所以， 又，，都在平面内 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由等体积性知几何体的体积为. （2） 过作交与，连接， 由（1）平面，易得， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以到的距离为，为中点， 所以，又， 所以. （3）取中点的，连接， 由为等腰直角三角形，，易知， 因为分别是中点，可知，又， 由（1）可知，所以， 即， 所以几何体的外接球的球心为，半径为， 所以几何体的外接球的表面积为. 5．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； （3）在立体图形中延长BE，CD，设，连接． 平面，平面． 又平面，平面． 是平面与平面的交线， 平面平面BCDE，，平面平面， 平面，又平面， ，， 作，垂足为，连接CH， 又，平面， 平面OCH，又平面OCH， ． 即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 由勾股定理得，， 故，为等边三角形， 在Rt中，，， 所以，又，故， 由勾股定理得， 所以， 又，在中，， ． 平面与平面所成锐二面角的余弦值． 6．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直， ，平面，平面平面, 故平面，平面，故， 是等腰直角三角形，，结合， 则，即， 又平面， 故平面； （2）取的中点为N，连接， 由于线段的中点为，故， 而正方形中，，故， 结合线段的中点为，可得， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面， 故平面. 7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且，，是的中点． (1)证明：平面． (2)证明：． (3)求异面直线，所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接相交于，则是的中点， 由于是的中点，故平面，平面， 故平面 （2）矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且交线为, 平面，故平面， 平面，故， 由于，故，, ,, 故，故， （3）取的中点，连接, 故, 即为异面直线，所成角或其补角， 由（2）知平面， 平面，故， 由于，故，所以, 又,故 故异面直线，所成角的余弦值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$