湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

**基本信息** 以蒸茶器、振风塔等现实情境为载体，通过复数纯虚数判定、圆台体积计算及布洛卡点证明，分层考查数学抽象、几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、立体几何判定、向量叉乘|斜二测画法直观图面积计算，考查空间观念| |多选题|3/18|解三角形性质、复数运算|等边三角形动点问题，考查逻辑推理| |填空题|3/15|复数方程、解三角形测量|振风塔高度测量，体现应用意识| |解答题|5/77|向量运算、灯塔体积与费用、三棱柱证明、布洛卡点、四棱锥体积|观光灯塔设计（运算能力）、布洛卡点证明（数学文化）、细长三角板构锥（创新探究）|

衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 3．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（    ） A． B．10 C． D．2 4．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（   ） A． B． C． D． 7．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．是的充要条件 D．若，则为钝角三角形 10．已知复数，则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 11．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若复数满足，则________． 13．振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉.某中学社会实践小组为测量振风塔的高度，开展了一次实地测量的活动.他们在塔底所在的水平地面上选取，两点，测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则振风塔的高度约为__________米.（结果精确到整数，参考数据：取） 14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知． (1)求； (2)当为何值时，与垂直? 16．某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3） (1)求该灯塔主体结构的体积； (2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？ 17．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 18．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若．求证： ①（为的面积）； ②为等边三角形． (2)若，求证：． 19．“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD. (1)设，求证：PO⊥平面； (2)是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由； (3)求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小. 衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D C D A CD BD 题号 11 答案 ABD 12． 13．73 14． 15．（1）因为，， 所以，即，则， 所以； （2）若与垂直， 则， 即， 即，解得. 16．（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为， 则，所以， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 所以该灯塔主体结构的体积为； （2）由（1）得：主体结构材料费为(元)， 又外部的表面积为， 所以外部装饰涂料费为（元）， 所以总物料费为：（元）， 所以人工施工费为（元）， 所以总的费用为：（元）， 即总的费用为：万元万元， 所以景区预算够用. 17．（1）证明：设，连接，因为四边形为平行四边形， 所以为中点，又因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，得证． （2）取中点，连接、， 因为底面，平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18．（1）①若， 则 ， 所以， 在中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即， 所以； ②由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 有，所以，所以，所以， 即当且仅当且时取等号， 即当且仅当为等边三角形时取等号， 所以，当且仅当为等边三角形时取等号， 又由①知， 所以为等边三角形； （2）由（1）得， 所以 ， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得． 19．(1)证明：由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以O为的中点 又由于，，所以，， 平面，，所以平面； (2)不存在，理由：假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高， 因为底面是菱形，则， 所以， 解得， 此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥； （3）方法一：过点P作直线，则l平面， 由于，所以，则l平面，所以平面平面， 作，垂足分别为E，F，则, 所以是平面与平面所成二面角或其补角 ，由于PO⊥平面， 平面，故，而O为的中点，则, 设，则， ， 由PO⊥平面，平面，故， 而平面，故平面， 平面，故， 所以 当且仅当时取等号， 故四棱锥体积的最大值为500（）， 此时平面与平面所成二面角为90° 方法二：过点O作平行线的垂线，垂足分别为F，E， 取的中点G，，由以上分析可知， 所以， 以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立坐标系， 设，，，， 由勾股定理知， ， 当且仅当时取“＝”，故所求最大值为500； 此时，，，，， ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可取； ，， 设平面的一个法向量，则，则， 可得平面的一个法向量， 故，所以所求二面角为90°. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $