精品解析：湖南衡阳市衡阳县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求积可得，根据复数为实数的性质，即可得解. 【详解】， 若要复数与的积是实数， 则， 反之，则复数与的积是实数， 所以是复数与的积是实数的充要条件， 故选：A 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD. 【详解】A项，若，，则，故 A错误； B项，若，则， ，，故B正确； C项，若，则， ，，故C错误； D项，若，则，， ，，故D错误. 故选：B. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 5. 已知，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】解：因为，，若， 所以，，解得 故选：C 6. 如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，，轴，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法，把直观图还原出原平面图形，再求出原平面图形的面积，即可得答案． 【详解】根据题意，因为直观图中，轴，轴， 所以四边形是一个上底为，下底为，高为的直角梯形， 则原四边形的面积． 故选：C． 7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值． 【详解】因为在区间，上是“凸函数”， 所以 得 即：的最大值是 故选：D. 【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和． 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分）． 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（       ） A. 对应的点在第三象限 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的除法可得，然后逐项分析即得. 【详解】因为， 对于A：对应的点（-2，-1）在第三象限，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故不是纯虚数，C不正确； 对于D：的共轭复数为，D不正确. 故选：AB. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 为函数的一个对称中心点 C. 为函数的一个递增区间 D. 可将函数向右平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图像可求出、、的值，可得的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案. 【详解】由题可得得，，，则，故A正确； 又，所以，又， 所以，所以， 对于B，当时，，所以函数图象关于点对称，故B正确； 对于C，由，可得， 令，可得，所以不是函数一个递增区间，故C错误； 对于D，将函数向右平移个单位得到，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量平行得到，结合余弦定理转化为，进而利用正弦定理得到，化简整理即可判断A、B选项；利用正弦定理及二倍角公式将转化为，然后求出角A的范围，进而求出值域即可判断C选项；利用，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角，进而可以求出角，从而可以判断D选项. 【详解】因为向量，且，所以，即， 结合余弦定理得，，， 再结合正弦定理得，， 又因为, 所以， ， ， ， 所以，故，所以B正确，A错误； ，因为，所以， 又因为，所以，所以， 即，因此，故C正确； 因为，结合正弦定理， 即，则, ,，， 则，或， 故或，故或，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】由中点的向量表示可得O为BC的中点，设三角形ABC的外接圆的半径为r，求得，以及向量在向量上的投影，进而得到所求向量． 【详解】解：由，可得O为BC的中点， 设△ABC的外接圆的半径为r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，, 则 所以向量在向量上的投影为， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的半径为，母线长为，根据已知条件求出，，可求得该圆锥的底面直径． 【详解】解：设圆锥的半径为，母线长为， 侧面展开图是一个半圆，则，即， 又圆锥的表面积为， 则，解得，． 这个圆锥的底面直径是． 故答案为：． 14. 在中，已知，，，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程，求解方程得到的可能值后验证是否符合三角形的构成条件. 【详解】对于，由余弦定理得：， 代入已知条件，，，， 可得：， 整理为一元二次方程：，解得：， 故为或. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限． （1）求z； （2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果. （2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，设（），则， 所以，解得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以，，如图所示， 所以，， ， ， 所以. 所以. 16. 已知函数，． （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递减区间． 【答案】（1）0，（2）， 【解析】 【分析】（1）先利用降幂公式把函数化简，然后代值求解即可； （2）直接用周期公式求最小正周期，先求出在上的递减区间，再与区间求交集即可. 【详解】解：（1） ， 所以， （2）的最小正周期为， 由，得， 所以在上的递减区间为， 因为， 所以的减区间为 【点睛】此题考查了三角函数的恒等变换公式，三角函数的图像和性质，属于基础题. 17. 已知三个互不相同的平面向量，与夹角为，与夹角为， （1）求与的夹角． （2），求的范围．（注：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的判定求与的夹角. （2）先对进行平方，再结合已知条件求出关于k的不等式，最后求解不等式得到k的范围. 【小问1详解】 因为， 所以，即与的夹角为． 【小问2详解】 因为与夹角为，与夹角为，且三个向量为互不相同的平面向量， 所以和位于以方向为角平分线的角的两边， 故与的夹角为120°。 又因为，所以 ， 即 ， 所以 ， 化简得，解得或，所以的取值范围是． 18. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． 【小问2详解】 ，则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 19. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】（1）平方米；（2）212.5平方米. 【解析】 【分析】（1）过M作OA的垂线，交AO于点E,过N作OA的垂线，交AO于点F，分别计算出MN、NP，即可求出矩形MNPQ的面积 （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1） 当时，过M作OA的垂线，交AO于点E. 则. . 过N作OA的垂线，交AO于点F，. ∵，， ∴. . 矩形MNPQ的面积平方米. 所以矩形观赏台MNPQ的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积. 观赏台的面积. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴ . 当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方米. ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 复数与的积是实数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，，轴，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分）． 9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（       ） A. 对应的点在第三象限 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 为函数的一个对称中心点 C. 为函数的一个递增区间 D. 可将函数向右平移个单位得到 11. 在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为________． 13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为___________ 14. 在中，已知，，，则_________． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程． 15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限． （1）求z； （2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB． 16. 已知函数，． （1）求的值； （2）求的最小正周期及单调递减区间． 17. 已知三个互不相同的平面向量，与夹角为，与夹角为， （1）求与的夹角． （2），求的范围．（注：） 18. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 19. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $