精品解析：湖南岳阳市岳阳县一中2025-2026学年高一下期期中考试数学试题

岳阳县一中2025-2026学年高一年级下学期期中考试试题 数 学 满分：150分；时间：120分钟； 说明：※表示教材或作业上原题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 7. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若有一个，下面说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C. 在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 11. 在棱长为4的正方体中，已知E，F分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为3 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 13. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________． 14. 在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 16. 如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且； （1）求该圆锥的全面积和体积； （2）求异面直线AO与CD所成角的正切值； 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，的面积为，求a，c的值． 18. 已知，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳县一中2025-2026学年高一年级下学期期中考试试题 数 学 满分：150分；时间：120分钟； 说明：※表示教材或作业上原题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再确定其虚部即可. 【详解】由，可知的虚部为. 故选：D. 2. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合题干和正弦定理建立方程求解. 【详解】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别化简集合，，再求交集即可. 【详解】，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题. 4. 已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据夹角公式可求余弦值. 【详解】因为，所以， 从而，所以即， 故， 故选：A. 5. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，且，则与为异面直线 B. 若，，且，则 C. 若，，且，则与为异面直线 D. 若，，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A，若，，且， 则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误； 对于B，若，，且， 则，，故B正确； 对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示： 所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误； 对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示： 也可能为异面直线， 所以若，，且，则为假命题，故D错误. 7. 如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（ ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 8. 已知函数，若，且.，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，由数形结合的方法可知，由对称性知，，将所求式化为，利用对号函数单调性可求得所求范围. 【详解】由解析式可得图象如下图所示： 设，由图象可知：， ， 又关于对称，； 由得：，即，， 在上单调递增，， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法求得结果. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列各式的值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 10. 若有一个，下面说法正确的是（ ） A. 在中，若，则为等腰直角三角形 B. 在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C. 在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D. 在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解， 所以，即，解得，故B正确； 对于C，不妨设三边的长分别为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为，故C正确； 对于D，设所对的边分别为， 因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等， 故不是等边三角形. 若为最大角，则， 若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角， 即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以的外接圆半径，故D正确. 11. 在棱长为4的正方体中，已知E，F分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，四棱锥外接球半径为3 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 若，则点的轨迹长为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，点在线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断A；B选项，先得到，故点在线段上，连接，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断B； C选项，由，可得点的轨迹为点为圆心，半径为4的圆的一部分，由此可求轨迹长度.；D选项，取线段的中点，由对称性知，数形结合得到，从而得到周长的最小值. 【详解】对于A选项，当时，， 故，即， 所以点在线段的中点，连接相交于点，则为中点， 所以，由正方体性质可得平面，则平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，所以球心在的延长线上， 设，则， 由勾股定理得，即，解得，故A正确； 对于B选项，当时，， 故，即，故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以三棱锥的体积， 所以，又， 所以，故三棱三棱锥的体积为，故B错误； 对于C选项，因为，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又平面，且，故， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆的一部分， 如图所示，其中，， 故，则， 则，则轨迹长为，故C正确. 对于D选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， 此时三点共线， 又，所以，故C正确； 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 13. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以在上的投影向量为. 14. 在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，，利用两角差的正弦公式求出，结合三角形面积公式及代入求解即可. 【详解】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为． 16. 如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且； （1）求该圆锥的全面积和体积； （2）求异面直线AO与CD所成角的正切值； 【答案】（1）全面积为，体积为； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出圆锥高为，底面半径为2，根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可；（2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角的定义进行求解即可. 【小问1详解】 在中且，即圆锥高为，底面半径为2． 圆锥的侧面积，圆锥的底面积， 故圆锥的全面积；体积为. 【小问2详解】 过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角． 因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC， 所以． 在中，所以． 由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：． 在中，． 即异面直线AO与CD所成角的正切值为：. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，的面积为，求a，c的值． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式，结合题设化简求解即可； （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 则， 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 由面积公式得，于是， 由余弦定理得，则， 即，则，故， 解得，或，． 经验证，两种情况均为锐角三角形，符合题意. 18. 已知，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，求出最小正周期； （2）由正弦曲线的图象特征确定不等关系，求出的取值范围； （3）先画出在区间上的图象，并换元，转化为关于的方程的根的个数问题，分情况讨论，求出答案 【小问1详解】 ，所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由题意得变换后的函数解析式为， 当， 函数在区间内恰有一个对称中心， 即函数在恰有一个对称中心，故， 解得，所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为，当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时，若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为，所以方程的两个根， 一个小于，一个大于，所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 19. 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）求三棱锥的体积最大值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， 【小问2详解】 ，，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $