期末培优：几何法求二面角问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末培优：几何法求二面角问题复习讲义 期末培优：几何法求二面角问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础定义 （1）二面角：由一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，取值范围 。 （2）二面角的平面角（衡量二面角大小）三要素： ① 顶点在二面角的棱上； ② 两条射线分别在两个面内； ③ 两条射线都垂直于棱； 两射线夹角 就是二面角或其补角。 2. 三种几何找角模型（考试主流） 模型 1：定义法（棱上找点作垂线） 棱上取一点 ，面 内作 棱，面 内作 棱， 为平面角。 适用：棱上有现成垂直、棱中点、对称图形。 模型 2：三垂线定理法（最常用大题方法） （1）在一个平面 内取一点 ； （2）过 作另一平面 的垂线，垂足 ； （3）过垂足 向棱作垂线，垂足 ； （4）连 ，由三垂线定理得 棱， 为二面角平面角（或补角）。 核心前提：题目给出面面垂直，方便作面的垂线。 模型 3：垂面法 作垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的两条交线所夹的角即为平面角。 适用：棱不好直接作垂线、多面体对称结构。 3. 关键判断规则（锐角/钝角） 观察二面角“开口”： · 两个垂线向二面角内部张开：角度就是二面角； · 两条射线向外张开：所求角是二面角的补角。 4. 配套工具 （1）面面垂直性质定理：用来作平面垂线（几何法核心辅助线来源）； （2）勾股定理、正弦定理、余弦定理：解三角形求角度； （3）等体积法：不便直接作垂线时，求点到平面距离。 二、通用解题原理（标准四步流程） 1. 定棱 找到两个平面的公共交线，明确二面角的棱，无公共棱先延长平面找交线。 1. 构造平面角（三选一） 优先三垂线法： ① 利用面面垂直在一个面内作交线垂线，得到平面垂线； ② 垂足向棱作垂线，连线形成直角三角形，锁定平面角。 图形简单用定义法，棱复杂用垂面法。 1. 解直角/普通三角形 标出三角形各边长，用余弦定理求平面角的余弦/正弦值。 1. 判断虚实，确定最终角度 看图判断所求角是二面角本身还是补角，写出二面角大小或三角函数值。 三、题型配套思路 1. 有面面垂直条件：直接三垂线法，最快构造垂线； 1. 棱中点对称几何体：优先定义法； 1. 无直观垂线、不规则多面体：先用等体积法求点面距离，配合三垂线求边长。 四、高频易错点 1. 作出的角不满足“两边同时垂直棱”，找角错误； 1. 忽略补角情况，直接把算出的角当作二面角； 1. 使用三垂线法漏作“点到平面的垂线”，缺少关键直角； 1. 分不清判定与性质，不会借助面面垂直作垂线； 1. 计算边长出错，余弦定理代入边长符号混淆。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 四边形为正方形，是中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. (2)证明：平面，平面，， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 又平面,， ，为线段的中点， ， 又，平面, 平面， 又平面，平面平面. (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再通过直线与平面平行判定定理证明； （2）先证明平面，得到,再利用，为线段的中点可得，从而得到平面，最后得到平面平面； （3）作于点，连接，，先证明平面，得到，又，所以平面，平面，，所以，是二面角的平面角，通过余弦定理计算出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）作于点，连接， 平面，平面， ， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 平面,， 又，且，平面, 平面, 平面，， 是二面角的平面角， ， 在中，,同理, 在中， ,则为直角三角形， 由于，故与全等， 在中，由余弦定理， 即二面角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 例3．（25-26高一下·江苏徐州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，M，N分别为，的中点，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求二面角的大小． 【答案】(1)在中，因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面. (2) (3) 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. （2）根据线面垂直的性质以及判定定理，结合线面角的概念得到直线与平面所成的角，求解即可. （3）根据线面垂直的性质，结合二面角概念得到二面角，再利用三角形相似求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以，. 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面. 所以就是直线与平面所成角. 因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以直线与平面所成角为. （3）在中，过点作于点， 由(2)知，平面，又平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角. 因为，所以. 则. ，， ，所以， 因为， 所以在中，， 所以. 故二面角的大小为.    变式训练 变式1．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下： 如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 变式2．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)求证：； (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又因为底面为正方形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （2）过点B作于点E，得出为二面角的平面角，在中求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以，， 过点B作于点E，连接， 在和中，有，，，所以， 所以当时，有，且， 所以为二面角的平面角， 因为底面为正方形，所以， 又由（1）知，所以． 在中，有，得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以二面角的大小为． 变式3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若与平面所成的角为60°，求平面与平面所成二面角的正切值． 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以. (2)取的中点，连接，. 因为为等边三角形，所以. 又，，所以， 所以四边形为平行四边形，又， 故四边形为矩形，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质证明线线平行； （2）利用面面垂直的判定定理证明； （3）设出的边长，由直线与平面所成的角为60°，求出其他边长，根据第（2）问，作出二面角的平面角，通过解三角形求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，平面，平面， 所以平面平面，过作于， 因平面平面,平面,则平面， 所以是与平面所成的角，即. 过点作于，连， 因为平面，平面，所以, 又平面,所以平面， 因平面，所以，则为平面与平面所成的角. 设，则，， 因平面，平面，则, 在中，，所以. 在中，，. 在中，， 易得与相似，则，所以， 所以. 变式4．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. (2)； (3)存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【详解】（1）略； （2）平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 实战演练 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明：因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. (2)2 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）由（1）知平面，可得，，由二面角的定义可知是二面角的平面角，最后在中，求出的值即可. 【详解】（1）略； （2）解：如图，设与交于点，连接， 由（1）知平面，因为平面，平面， 所以，，因此是二面角的平面角， 因为，四边形为菱形，， 所以为等边三角形，则，所以， 所以，在中，， 即二面角的正切值为2. 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱锥中，，四边形是直角梯形，， ，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． (3)求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)因为四边形是直角梯形，且， 所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) (3) 【分析】（1）根据条件得，由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可求解； （2）在平面内，作，垂足为，连接，记，连接，利用几何关系及二面角的定义得是二面角的平面角，再由几何关系得，即可求解； （3）设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，利用几何关系求出外接球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）在平面内，作，垂足为，连接，记，连接， 因为平面平面，平面平面，平面，则平面， 因为，所以， 因为，，则得， 又因，，，则，即得正三角形， 则四边形是菱形，故得， 因为平面，且平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，则是二面角的平面角， 又，则， 又，故二面角的正切值为. （3）设外接圆的圆心为，连接， 则． 设三棱锥外接球的球心为，连接，过点作，垂足为， 设三棱锥外接球的半径为，则， ，解得，则， 故三棱锥外接球的表面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：几何法求二面角问题复习讲义 期末培优：几何法求二面角问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础定义 （1）二面角：由一条棱出发的两个半平面组成的空间图形，取值范围 。 （2）二面角的平面角（衡量二面角大小）三要素： ① 顶点在二面角的棱上； ② 两条射线分别在两个面内； ③ 两条射线都垂直于棱； 两射线夹角 就是二面角或其补角。 2. 三种几何找角模型（考试主流） 模型 1：定义法（棱上找点作垂线） 棱上取一点 ，面 内作 棱，面 内作 棱， 为平面角。 适用：棱上有现成垂直、棱中点、对称图形。 模型 2：三垂线定理法（最常用大题方法） （1）在一个平面 内取一点 ； （2）过 作另一平面 的垂线，垂足 ； （3）过垂足 向棱作垂线，垂足 ； （4）连 ，由三垂线定理得 棱， 为二面角平面角（或补角）。 核心前提：题目给出面面垂直，方便作面的垂线。 模型 3：垂面法 作垂直于二面角棱的平面，该平面与两个半平面的两条交线所夹的角即为平面角。 适用：棱不好直接作垂线、多面体对称结构。 3. 关键判断规则（锐角/钝角） 观察二面角“开口”： · 两个垂线向二面角内部张开：角度就是二面角； · 两条射线向外张开：所求角是二面角的补角。 4. 配套工具 （1）面面垂直性质定理：用来作平面垂线（几何法核心辅助线来源）； （2）勾股定理、正弦定理、余弦定理：解三角形求角度； （3）等体积法：不便直接作垂线时，求点到平面距离。 二、通用解题原理（标准四步流程） 1. 定棱 找到两个平面的公共交线，明确二面角的棱，无公共棱先延长平面找交线。 1. 构造平面角（三选一） 优先三垂线法： ① 利用面面垂直在一个面内作交线垂线，得到平面垂线； ② 垂足向棱作垂线，连线形成直角三角形，锁定平面角。 图形简单用定义法，棱复杂用垂面法。 1. 解直角/普通三角形 标出三角形各边长，用余弦定理求平面角的余弦/正弦值。 1. 判断虚实，确定最终角度 看图判断所求角是二面角本身还是补角，写出二面角大小或三角函数值。 三、题型配套思路 1. 有面面垂直条件：直接三垂线法，最快构造垂线； 1. 棱中点对称几何体：优先定义法； 1. 无直观垂线、不规则多面体：先用等体积法求点面距离，配合三垂线求边长。 四、高频易错点 1. 作出的角不满足“两边同时垂直棱”，找角错误； 1. 忽略补角情况，直接把算出的角当作二面角； 1. 使用三垂线法漏作“点到平面的垂线”，缺少关键直角； 1. 分不清判定与性质，不会借助面面垂直作垂线； 1. 计算边长出错，余弦定理代入边长符号混淆。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 例3．（25-26高一下·江苏徐州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，M，N分别为，的中点，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求二面角的大小． 变式训练 变式1．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 变式2．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形． (1)求证：； (2)若，求二面角的大小． 变式3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若与平面所成的角为60°，求平面与平面所成二面角的正切值． 变式4．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 实战演练 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在四棱锥中，，四边形是直角梯形，， ，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． (3)求三棱锥外接球的表面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $