期末培优：点到平面距离、异面直线所成之角、线面角、二面角复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末培优：点到平面距离、异面直线所成之角、线面角、二面角复习讲义 期末培优：点到平面距离、异面直线所成之角、线面角、二面角复习讲义 考点目录 点到平面距离问题 异面直线所成之角 线面角问题 二面角问题 考点一 点到平面距离问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：从该点向平面作垂线，垂线段的长度即为点到平面的距离，是点到平面的最短距离。 1. 核心方法：等体积法（最常用）、直接作垂线法。 1. 体积公式：棱锥体积 （ 为底面积， 为对应高）。 二、解题原理 利用同一棱锥体积恒定，更换底面与对应高，把未知垂线段长转化为可求的高。 三、解题思路 1. 构造棱锥：以已知点为顶点，目标平面为底面。 1. 任选一组易求的底面与高，计算棱锥体积 。 1. 求出目标底面（所求距离所在平面）的面积 。 1. 由 ，变形得距离 。 1. 特殊场景：若能直接作出垂线，可在直角三角形中用勾股定理、三角函数求解。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 例2．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 例3．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，四棱锥体积为1． (1)求点A到平面的距离； (2)求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积． 变式2．（24-25高一下·重庆·阶段检测）如图，正方体的棱长为a，截面将正方体分成两部分. (1)求几何体的表面积； (2)求点A到平面的距离d. 变式3．（24-25高一下·云南大理·阶段检测）如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，是棱BC的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 考点二 异面直线所成之角 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两相交直线所成锐角或直角为异面直线所成角。 1. 取值范围：。 1. 核心思想：平移转化，将异面直线转为共面相交直线。 二、解题原理 通过平移线段，把空间异面问题转化为同一平面内的夹角问题，再利用解三角形求角。 三、解题思路 1. 选平移点：优先取线段端点、中点、特殊顶点。 1. 作平行线：平移其中一条或两条直线，使它们相交，标出夹角 。 1. 构造三角形：找出含 的三角形，利用边长关系计算。 1. 求角：用勾股定理、正弦定理、余弦定理求角度；若算出钝角，取其补角（限定为锐角/直角）。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏·期中）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 例2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，，P为BS的中点，设圆O的半径为r，圆锥高SO为h，且，圆锥SO的体积为．    (1)求圆锥SO的表面积； (2)求异面直线SA与PD所成角的正切值． 例3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，，是的中点，点分别在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 变式2．（24-25高一下·福建福州·阶段检测）在四棱锥中,底面为梯形,.设的中点分别为. (1)求证:四点共面; (2)若,且,求异面直线与所成角的大小. 考点三 线面角问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：直线与它在平面内射影所成的锐角或直角。 1. 取值范围：。 1. 关键概念：过直线上一点作平面垂线，垂足与斜足的连线，就是直线在平面内的射影。 二、解题原理 作出直线的射影，将线面角转化为直角三角形的内角，通过解直角三角形求解。 三、解题思路 1. 作垂线：在直线上任取一点，向目标平面作垂线，确定垂足。 1. 连射影：连接垂足与直线和平面的交点（斜足），得到直线的射影。 1. 定角：直线与射影的夹角，即为所求线面角。 1. 解三角形：在形成的直角三角形中，利用边长、三角函数求出角度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 例3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 变式2．（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值． 变式3．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 考点四 二面角问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 1. 取值范围：。 1. 常用作图方法：定义法、三垂线定理法。 二、解题原理 作出二面角的平面角，把空间二面角转化为平面角，再通过解三角形计算大小。 三、解题思路 方法1：定义法 1. 在二面角的棱上任取一点。 1. 分别在两个半平面内，作两条都垂直于棱的射线。 1. 两条射线的夹角即为二面角的平面角。 1. 构造三角形，解三角形求出角度。 方法2：三垂线定理法（高频） 1. 在一个半平面内取一点，向棱作垂线，确定垂足。 1. 过该点向另一个半平面作垂线，连接两个垂足得到射影。 1. 利用三垂线定理证得棱垂直于射影，确定平面角。 1. 在直角三角形中计算平面角大小。 补充 若题目出现棱的垂面，也可利用垂面法：作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线夹角即为平面角。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 例2．（25-26高一下·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 例3．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 变式3．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：点到平面距离、异面直线所成之角、线面角、二面角复习讲义 期末培优：点到平面距离、异面直线所成之角、线面角、二面角复习讲义 考点目录 点到平面距离问题 异面直线所成之角 线面角问题 二面角问题 考点一 点到平面距离问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：从该点向平面作垂线，垂线段的长度即为点到平面的距离，是点到平面的最短距离。 1. 核心方法：等体积法（最常用）、直接作垂线法。 1. 体积公式：棱锥体积 （ 为底面积， 为对应高）。 二、解题原理 利用同一棱锥体积恒定，更换底面与对应高，把未知垂线段长转化为可求的高。 三、解题思路 1. 构造棱锥：以已知点为顶点，目标平面为底面。 1. 任选一组易求的底面与高，计算棱锥体积 。 1. 求出目标底面（所求距离所在平面）的面积 。 1. 由 ，变形得距离 。 1. 特殊场景：若能直接作出垂线，可在直角三角形中用勾股定理、三角函数求解。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平面得，结合利用线面垂直的判定定理可证； （2）取为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证； （3）利用等体积法计算出三棱锥的体积，再求出的面积，即可求得点B到平面ACE的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 例2．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 例3．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等体积法求出距离. （2）根据给定条件，利用公式法求出线面角的正弦. 【详解】（1）由，，得，， 设点到平面的距离为，， 由，得，即，解得， 所以点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而点到平面的距离为2， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，四棱锥体积为1． (1)求点A到平面的距离； (2)求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用体积公式可计算出，再借助等体积法有即可得解； （2）所得几何体为以为母线、为底面半径的圆锥挖去一个以为母线、为底面半径的圆锥，借助圆锥体积公式计算即可得. 【详解】（1）由平面，平面，故， 且为四棱锥的高， 则，解得， ，则， ， 由底面是直角梯形，，故， 又，，故， 则，故， 有，故， 设点A到平面的距离为， 则，解得， 即点A到平面的距离为； （2）由平面，平面， 则平面绕直线旋转一周所得的几何体为以为母线、 为底面半径的圆锥挖去一个以为母线、为底面半径的圆锥， 故所得的几何体的体积. 变式2．（24-25高一下·重庆·阶段检测）如图，正方体的棱长为a，截面将正方体分成两部分. (1)求几何体的表面积； (2)求点A到平面的距离d. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由几何体构成，结合正方体、棱锥的表面积求法求几何体的表面积； （2）由等体积法知，即可求点A到平面的距离. 【详解】（1）由题设，易知是边长为的等边三角形， 则， 由正方体的表面积为，棱锥的侧面积为， 所以几何体的表面积； （2）由， 又， 所以，可得. 变式3．（24-25高一下·云南大理·阶段检测）如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，是棱BC的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用三棱锥的体积公式，结合等体积法求出点到平面距离. 【详解】（1）连接，交于点，连接EF． 由棱柱的性质知四边形是平行四边形，则为线段的中点， 而是棱BC的中点，则，又平面平面， 所以平面． （2）由是棱BC的中点，得，则的面积， 三棱锥的体积， 由直棱柱的定义得，则， 由四边形ABCD是矩形，得，则， 则的面积， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 由，得，所以. 考点二 异面直线所成之角 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两相交直线所成锐角或直角为异面直线所成角。 1. 取值范围：。 1. 核心思想：平移转化，将异面直线转为共面相交直线。 二、解题原理 通过平移线段，把空间异面问题转化为同一平面内的夹角问题，再利用解三角形求角。 三、解题思路 1. 选平移点：优先取线段端点、中点、特殊顶点。 1. 作平行线：平移其中一条或两条直线，使它们相交，标出夹角 。 1. 构造三角形：找出含 的三角形，利用边长关系计算。 1. 求角：用勾股定理、正弦定理、余弦定理求角度；若算出钝角，取其补角（限定为锐角/直角）。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏·期中）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行； （2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 例2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，，P为BS的中点，设圆O的半径为r，圆锥高SO为h，且，圆锥SO的体积为．    (1)求圆锥SO的表面积； (2)求异面直线SA与PD所成角的正切值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式及扇形的面积公式即可求解； （2）由可得为异面直线与所成角，由线面垂直的判定定理可得平面，继而可得，继而即可求解. 【详解】（1）圆锥的体积，即． 又因为，解得，所以， 由上可知，侧面积为，底面积为， 所以该圆锥的表面积为． （2）连接，因为P，O分别为的中点，所以，    所以为异面直线与所成角或其补角， 因为，，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为． 例3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）设中点为，可证，利用余弦定理可求. （3）利用柱体及锥体体积公式可求. 【详解】（1）连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，    在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2）设中点为，连接，， ∵是棱的中点，∴且， 即四边形为平行四边形，∴， 在正三棱柱中，， ，，， , 故与所成角的余弦值. （3）在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，， ， ， 所以剩余部分的体积. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，，是的中点，点分别在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）法一：在线段上取一点，使得，连接，可证四边形为平行四边形，进而得，可得结论； 法二：连接并延长交于点，连接，利用中位线定理可得，可证结论； （2）法一：设，则，延长交于点，可得即为异面直线与所成的角，求解即可． 法二：由（1）可得即为异面直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）法一：如图，在线段上取一点，使得，连接． 由已知得，且． 在线段上取一点，使得，连接． 由已知得，且， 所以，且，因此四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． 法二：如图，连接并延长交于点，连接． 因为是的中点，且，所以是的重心， 所以是的中点，， 又因为，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）法一：由，不妨设，则． 延长交于点，由（1）知，， 如图，则即为异面直线与所成的角． 由（1）知， 所以为等边三角形，即，从而， 即异面直线与所成角的大小为． 法二：由（1）知是的中点，且． 则即为异面直线与所成的角． 因为，是的中点，所以为等边三角形， 从而， 即异面直线与所成角的大小为． 变式2．（24-25高一下·福建福州·阶段检测）在四棱锥中,底面为梯形,.设的中点分别为. (1)求证:四点共面; (2)若,且,求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）见解析（2）60°. 【解析】（1）由条件可知,,可知，可证明四点共面； （2）由条件可知(或其补角)即为异面直线与所成的角，再求解. 【详解】解析 (1)证明:因为,,,的中点分别为, 所以为的中位线,为梯形的中位线. 所以,, 所以, 所以四点共面. (2)因为为的中位线, 所以. 又,所以(或其补角)即为异面直线与所成的角. 又,所以. 在中,,所以. 所以异面直线与成的角为60°. 考点三 线面角问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：直线与它在平面内射影所成的锐角或直角。 1. 取值范围：。 1. 关键概念：过直线上一点作平面垂线，垂足与斜足的连线，就是直线在平面内的射影。 二、解题原理 作出直线的射影，将线面角转化为直角三角形的内角，通过解直角三角形求解。 三、解题思路 1. 作垂线：在直线上任取一点，向目标平面作垂线，确定垂足。 1. 连射影：连接垂足与直线和平面的交点（斜足），得到直线的射影。 1. 定角：直线与射影的夹角，即为所求线面角。 1. 解三角形：在形成的直角三角形中，利用边长、三角函数求出角度。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别计算底面正方形面积和侧面四个全等三角形的面积，求和即可； （2）利用线面平行的判定定理，通过三角形中位线及平行线分线段成比例定理证明和，进而利用面面平行的判定定理得证； （3）找出点在底面的投影，构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 因为，平面，所以平面平面． （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以，取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 例3．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【详解】（1）    由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； （2）由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 变式2．（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图，在三棱锥中，平面，过点作、的垂线，垂足分别为、.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）需要找出与平面所成角,再通过几何关系计算其正切值. 【详解】（1）证明：由平面，平面ABC，故． 又，平面，且，平面， 又平面，．又，平面，且， 平面． （2）证明：由（1）得，平面，又平面， 又，平面，且，平面， 在平面内的射影为，在平面成角为， 又，根据面积可得，,即，解得， 在中，根据勾股定理可得，,故 与平面所成角的正切值为. 变式3．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）计算，根据勾股定理得到，然后依据三棱台的体积得到为三棱台的高，可得，最后判断得到平面 （2）利用图形，得到为与平面所成角，然后分别计算，最后计算即可. 【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°， 由余弦定理得， ∵， ∴． 同理，在三棱台中，，， ∵， ∴，∴， ∴，， 设三棱台的高为， 由，解得h=2． 又∵，故为三棱台的高， ∴平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴，，，平面， ∴平面， 又， ∴平面． （2）如图，过点C作于点H， 由（1）知平面，平面， ∴，， ∴平面． 连接，则为与平面所成角，记为θ， ∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴． 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 考点四 二面角问题 【知识点解析】 一、知识点 1. 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 1. 取值范围：。 1. 常用作图方法：定义法、三垂线定理法。 二、解题原理 作出二面角的平面角，把空间二面角转化为平面角，再通过解三角形计算大小。 三、解题思路 方法1：定义法 1. 在二面角的棱上任取一点。 1. 分别在两个半平面内，作两条都垂直于棱的射线。 1. 两条射线的夹角即为二面角的平面角。 1. 构造三角形，解三角形求出角度。 方法2：三垂线定理法（高频） 1. 在一个半平面内取一点，向棱作垂线，确定垂足。 1. 过该点向另一个半平面作垂线，连接两个垂足得到射影。 1. 利用三垂线定理证得棱垂直于射影，确定平面角。 1. 在直角三角形中计算平面角大小。 补充 若题目出现棱的垂面，也可利用垂面法：作棱的垂面，垂面与两个半平面的交线夹角即为平面角。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北唐山·期中）如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）通过中位线法求异面直线夹角. （2）利用正三棱锥的高与底面中心求体积. （3）通过作棱的垂线构造平面角求解二面角. 【详解】（1）取中点，连接、. 由中位线性质，， 故为直线与的夹角（或其补角）. 在中，，，、为中点，故. 同理，，. 在中，由余弦定理： ， 故直线与夹角的余弦值为. （2）设底面正的中心为，连接，则平面. 底面正三角形的外接圆半径. 在中，. 底面的面积. 所以. （3）过作于，连接. 由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角. 在中，，， 由余弦定理得， ， 故，同理. 在中，， 由余弦定理：， 故二面角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·四川·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点，所以在中，， 因为平面， 平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）取中点，求证为二面角 的平面角，结合三角形即可求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 例3．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【详解】（1）连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM；    （2）分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为；    （3）设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或，    【变式训练】 变式1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明同时垂直于底面内两条相交直线与，利用线面垂直判定定理，完成了平面的证明，关键在于结合等腰梯形与等边三角形的性质，构建垂直关系； （2）采用几何法，先找到二面角的平面角，再通过解直角三角形计算其三角函数值，核心是利用三垂线定理确定平面角，再结合勾股定理与三角函数公式求解； （3）使用等体积法求点到平面的距离，再根据线面角的定义，将距离与线段长度结合，求出直线与平面所成角的正弦值，体现了体积法在空间距离与角度问题中的应用． 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 变式2．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 变式3．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $