培优15 拓展专题之六：几何法破解空间角问题的11个大招（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优15 拓展专题之六：几何法破解空间角问题的11个 大招（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接平移法求异面直线所成的角 题型02 特殊点平移法求异面直线所成的角 题型03 补形平移法求异面直线所成的角 题型04 定义法求线面角 题型05 三角余弦公式求线面角 题型06 等体积法求线面角 题型07 定义法求二面角（或两平面的夹角） 题型08 三垂线法求二面角 题型09 投影面积法求二面角 题型10 垂面法求二面角 题型11 补形法求“无棱”二面角的大小 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 异面直线所成的角 理解异面直线所成角的定义与范围，掌握平移法的求解路径. 为高考高频考点，常以选择题、填空题形式考查，难度中等；多结合棱柱、棱锥载体命题，重点考查空间想象与运算能力. 直线与平面所成的角 理解线面角的定义与范围，掌握找垂线、作射影的几何法；能熟练进行角度转换与计算，提升空间几何分析能力. 为高考核心考点，多以解答题形式考查，常作为立体几何解答题的中间设问；命题载体多为棱锥、棱柱，是区分度较强的考点. 两平面的夹角和二面角 理解二面角的定义与范围，掌握定义法、三垂线法、垂面法等几何方法；能准确识别二面角的平面角，区分两平面夹角与二面角的关系，规范步骤与书写. 为高考重点考查内容，多作为立体几何解答题的压轴设问；命题载体多为棱锥、棱柱，常与线面垂直、面面垂直综合考查，是立体几何的难点与核心区分点. 知识点01 异面直线所成的角(或夹角) 1．定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把与所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. 2．范围： 知识点02直线与平面所成角（或夹角） 1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角,当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0. 2范围： 知识点03 二面角与两平面的夹角 1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. 2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0. 3．范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为. 知识点04 三垂线定理及逆定理（拓展） 1.三垂线定理及逆定理： ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.A O P P 2．对于三垂线定理及逆定理的剖析： (1)三垂线定理及逆定理中涉及到一个平面和四条直线.即如图所示的平面、平面内的直线、平面的斜线PA、平面的垂线PO、斜线PA在平面内的射影OA. (2)三垂线定理及逆定理中的三种垂直关系：垂线和平面垂直、射影和平面内的直线垂直、斜线和平面内的直线垂直. (3)“斜线的射影”指的是斜线在已知平面内的射影，而不是任何一个平面的射影. (4)三垂线定理及逆定理中的前提条件是“在平面内的一条直线”，这条直线必须是“平面内的一条直线”. (5)三垂线定理是判定平面的一条斜线和这个平面内一条直线互相垂直的理论依据，实质上是实现由线线相交垂直（共面垂直）到线线空间垂直（异面垂直）的转化. (6)三垂线定理与逆定理相同点是：前提条件是一样的，即都是“在平面内的一条直线”；不同之处是：条件与结论互换.原定理是平面内的直线先与射影垂直，然后得出与斜线垂直.而逆定理恰好相反，先是与斜线垂直，然后与射影垂直. 知识点05 最小角定理和三角余弦公式（拓展） 1．三角余弦公式： 如图所示，其中=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理.. 2.最小角定理 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC. 题型一 直接平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 直接平移法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 【典例1-1】（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 【变式1-1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接. 因为平面， 所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以，故与的夹角为.    【变式1-2】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 题型二 特殊点平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. 【典例2】（25-26高二上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 【变式1-1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式2-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 题型三 补形平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 【典例3】正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【变式3-1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 【变式3-2】平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    题型四 定义法求线面角 解｜题｜技｜巧 利用线面角的定义求线面角的步骤可归纳如下： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度. 【典例4】（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面，可得即为直线与平面ABCD所成角，再进行分析即可确定正确答案. 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    【变式4-1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式4-2】（2026·贵州毕节·一模）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据棱台的体积公式求出棱台的高，设和的中心分别为，作平面ABC交平面ABC于点，即为直线与平面ABC所成的角，利用锐角三角函数求得线面角的正切值. 【详解】设正三棱台的高为 ，， ， 正三棱台的体积 . ， 如图： 设和的中心分别为，连接，，AO， 作平面ABC交平面ABC于点D， 由几何体为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形为矩形， 其中即为直线与平面ABC所成的角， 由，，可得，， ， 故选：. 【变式4-3】（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【答案】(1) (2)证明详见详解 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】（1）连接，如图. 由题可知，平面，平面,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由，为边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. （2）由，，，平面,故平面， 而平面，则平面平面 题型五 三角余弦公式求线面角 答｜题｜模｜板 1.找角：设直线与平面所成角为，直线与平面内射影夹角为，射影与目标线夹角为. 2.套用公式：由三角余弦公式，先求（线面角的邻边比斜边）、（射影与目标线夹角余弦）. 3.求角：代入公式得，再由线面角范围求. 【典例5】已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【分析】证明为的角平分线且为直线与平面所成的角，根据三角余弦定理求出即可求解. 【详解】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角，因为平面平面，所以由三余弦定理得，故直线与平面所成角为． 【变式5】如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 【答案】。 【详解】方法一:连结与交于，连结， ∵，，∴平面， ∴是与平面所成的角， 在中，，∴． 即与平面所成的角为。 方法二：由法一得是与平面所成的角， 又∵，， ∴，∴． 即与平面所成的角为。 题型六 等体积法求线面角 解｜题｜技｜巧 在利用线面角的定义求线面角的大小时，有时斜线上的点到平面的距离不易求得，此时可利用等体积法先求出这段距离，再利用线面角的定义求角. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长. 【典例6】（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． 【变式6-1】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为，由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式6-2】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 【变式6-3】（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．    (1)求证： (2)当时，求直线与直线所成角的余弦值 (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3) 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出平面，平面 进而得出线面垂直； （2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解； （3）先根据线面垂直得出点到平面的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为在平面内，所以   又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）因为，所以，所以   又因为为等腰直角三角形，为的中点，所以   取的中点为，连接，则，且， 所以为异面直线，所成的角或其补角   在直角中，，所以， 在中，， 所以， 直线与直线所成角的余弦值为． （3）设，则，    设，则． 过点作的垂线，垂足为， 由于是确定的， 所以当三棱锥的体积最大时， 即为点到平面的距离最大， 即点到平面的距离最大． 过点向作垂线，垂足为，又因为平面， 所以，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离． 故， ， 当，即时等号成立   此时，，则点到平面的距离为 ， 故直线与平面所成角的正弦值为． 题型七 定义法求二面角（或两平面的夹角） 解｜题｜技｜巧 定义法求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例7】如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】作,根据二面角的定义可得，即可利用余弦定理求解，进而由勾股定理求解. 【详解】过点作直线的垂线段，垂足为点，以为邻边作平行四边形，连接，如图，    由， 又，则就是二面角的平面角, 平面, 所以平面， 所以，在中，解：， 在中利用余弦定理得：， 解得：， 由于平面，平面，故， ，故， 在中，即：， 整理得：． 【变式7-1】（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 【变式7-2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、， 由正三棱锥性质，，， 可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形. 由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为， 可知中心到边的距离：. 在中：， 二面角的正弦值：. 题型八 三垂线法求二面角 解｜题｜技｜巧 1.三垂线定理及逆定理 ⑴定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ⑵逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 2.利用三垂线定理求二面角： 三垂线法是求二面角的常见方法,依据是三垂线定理或逆定理,利用它求解的关键是作出平面的垂线，当平面是水平平面时，容易找到面的垂线，而当平面是非水平状态时，面的垂线的寻找有一定的难度，因此对线面垂直关系的不同位置，应多注意观察，加强练习. 【典例8-1】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【答案】 【详解】过作于 ∵二面角为直二面角 ∴面 取中点，为中点，连接,则HF//BE。 ∵是正三角形，∴。 ∴.由三垂线定理,得. ∴为二面角的平面角 令，则. ∴, ∴在中, 即二面角的正切值为 【典例8-2】（2026·湖南长沙·一模）已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设在底面上投影为，过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得侧面上的高即可求解. 【详解】因为，所以是以为斜边的直角三角形. 由三棱锥体积公式得三棱锥高， 由点到的距离相等得出点在底面上投影到各边距离也相等， 所以是的内心，则到各边距离为内切圆半径， 过作，垂足为D，连接，则是二面角的平面角， 因为底面为直角三角形，所以内切圆的半径为. 则三棱锥侧面上的高为， 则. 故二面角的正弦值为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一下·河南信阳·阶段检测）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【分析】根据翻折后的立体图形，取中点为，过点作交于，连接，，先证平面，再证平面，得到就是二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 【变式8-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)四边形即为截面， 【详解】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 题型九 投影面积法求二面角 解｜题｜技｜巧 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 【典例9】如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 【答案】45º 【详解】解法1（射影面积法）：∵AA1⊥平面A1B1C1，BB1⊥平面A1B1C1，CC1⊥平面A1B1C1， ∴△A1B1C1是△A1EC在平面A1B1C1内射影.设二面角大小为，则，设A1B1=，则，∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º. ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. ∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º.C A B C1 B1 A1 E F ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. 解法二（补棱）：如图,延长CE、C1 B1相交于点F，连结A1F, ∵E为BB1的中点， ∴EB1是△FCC1.的中位线.∴B1C1= FB1. 又△A1B1 C1是正三角形，∴A1B1= B1C1 =FB1= C1F. ∴C1 A1⊥A1F（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角）. 又C C1⊥平面A1B1C1,由三垂定理可知, C A1⊥A1F. ∴∠CA1 C1是所求二面角的平面角. 又A1B1=C C1，故∠CA1 C1=,即平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为. 【方法探究】本题所求二面角在图中并未画出它的棱，像这种几何体中没有给出棱的二面角叫做无棱二面角,这类问题的解决策略主要有二：一利用面积射影公式通过计算得出二面角的大小，.此时要注意：若二面角大于90度，则的补角的才是二面角的大小；二是添加辅助线或补形，作出二面角的棱，再用其他方法求解. 【变式9-1】（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析可得点为的中点，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，利用勾股定理逆定理得到，即可证明平面，则为平面和平面夹角，最后由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为，即，， 又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点， 延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接， 则为平面与平面的交线， 因为，，，，， 所以，即，解得，所以； ，即，解得，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以，即， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为平面和平面夹角，又， 所以， 即平面和平面夹角的余弦值为. 故选：A 【变式9-2】（2026·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点, ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，，, 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 题型十 垂面法求二面角 解｜题｜技｜巧 如图，若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC,则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角，此时平面恰好为二面角棱的垂面，故此法称为垂面法. 垂面法将二面角转换成线线角，计算量较小. 【典例10】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3). 【详解】（1）在等腰梯形中，连，则四边形为菱形， 连交于，则， 在四棱锥中，且都在平面内， 平面，，则平面， 由平面，故； （2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为， 则，且，所以， 由平面平面，则平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离，距离为； （3）由（1）知平面且平面，所以平面平面， 平面平面，过在平面内作垂直于，垂足为， 平面，所以， 在中，，所以为中点，易知， 所以，而，所以二面角的平面角为，大小为. 【变式10-1】如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，则二面角的大小为 【答案】或 【详解】 如图图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时. ∵，∴.作，则面.同理，面. 而面面,∴面与面应重合 即在同一平面内，则是二面角的平面角 在中，, ∴. 在中，, ∴. 故（图1）或（图2） 即二面角的大小为或 【方法探究】（1）作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角，这是本题得到二面角平面角的方法，即所谓垂面法.(2) 本题中点可能在二面角内部，也可能在外部，应分类讨论，区别处理. 【变式10-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体中，四边形是平行四边形，，，，，在底面的射影为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由已知可证得平面，通过平行关系可证得，进而证得结果； （2）法一：作且，连接，求得为二面角的平面角，利用余弦定理计算即可． 法二：以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用数量及公式计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意得平面，又平面，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 由，得四边形是平行四边形，故， 又因为四边形是平行四边形， 所以，得， 所以四边形是平行四边形， 故，所以平面； （2）法一：作且，连接． 因为，为的中点，故，， 由勾股定理得， 由（1）知，，所以， 由（1）知，四边形是平行四边形，所以， 四边形是平行四边形，所以，故由， 又为公共边，得≌．且两三角形关于对称， 由于，可得， 因此为二面角的平面角． 由，， 又平面，平面，故，， 由勾股定理得，故， 因为四边形是平行四边形，所以， 在中，由余弦定理得：． 故二面角的平面角的余弦值为． 题型十一 补形法求“无棱”二面角的大小 解｜题｜技｜巧 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时(此时的二面角常称为“无棱”二面角，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例11】（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面，所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，所以，因为， 又因为面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确； 故选：BCD. 【变式11】（2026·四川宜宾·三模）如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）通过，，得到平面，进而可求证； （2）由面面角的概念为平面与平面所成角，再结合求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面 所以，又因为，都在平面内， 所以平面，又因为平面 所以平面平面 （2）解：在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等， 所以四点共面 由（1）知平面， 平面， ，在平面内， 得： 所以为平面与平面所成角， 设，点到平面的距离为 由可得： 所以 所以或 又因为 所以，所以 所以在中， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 期末基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（2026·江苏南京·模拟）在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成的角或补角， 设，则，， 连接，则，因为， 所以平面，平面，所以， ，， 由余弦定理得. 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 2.（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【详解】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 4．（2026·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点到平面的距离，进而求线面夹角. 【详解】（1）因为，，则，可得， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：，，， 则， ， 设点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积即为三棱锥-的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，在平面中，连接与交于，则， 在平面中，连接与交于，则， 则为平面与平面的交线，且， 而在等边中与所成的角为， 故与直线所成角. 故选： 2．（多选）（2026·河北沧州·二模）在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）在直三棱柱中，， 所以， 所以，所以， 又，所以，，， 则，所以， 所以， 即，又平面， 所以平面． （2）如图，延长交于点，过点作，垂足为，连结， 则由平面得， 所以即为平面与平面的夹角． 在中，， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 4．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)；(2)；(3)12 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 【答案】D 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再利用三棱柱体积公式和四棱锥体积公式即可得解． 【详解】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体的体积为 故选：D. 2.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 4．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，由平面，得到，从而得到⊥平面，又平面，证明出面面垂直； （2）（i）作出辅助线，得到，故⊥平面，故当在直线上时，与所成的角最小，即，求出各边长，利用求出答案； （ii）设，分，和三种情况，画出图形，证明线面垂直，得到三种情况下的最小值，比较后得到时，最小值为，并求出，得到结论. 【详解】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2）（i）设，则为中点，连接， 因为点为棱的中点， 所以， 因为平面，所以⊥平面， 又平面，故当在直线上时，与所成的角最小， 即， 因为，所以， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 故，由勾股定理得， 所以； （ii）设，若，即为中点，此时， 平面平面，显然此时， 取中点，连接，则，⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，即， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 由于与平面上的直线的夹角最小， 故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为， 其中，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 由于，故，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 同理可证⊥，， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 当时，为等腰直角三角形，⊥， 此时重合，取得最大值，最大值为， 故取得最小值，最小值为， 由于，故当时，满足要求， 此时，过点作，交于点，则， 即，故， 又，故，故， 因为点为棱的中点，所以 其中，故，即，解得， 综上，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优15 拓展专题之六：几何法破解空间角问题的11个 大招（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接平移法求异面直线所成的角 题型02 特殊点平移法求异面直线所成的角 题型03 补形平移法求异面直线所成的角 题型04 定义法求线面角 题型05 三角余弦公式求线面角 题型06 等体积法求线面角 题型07 定义法求二面角（或两平面的夹角） 题型08 三垂线法求二面角 题型09 投影面积法求二面角 题型10 垂面法求二面角 题型11 补形法求“无棱”二面角的大小 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 异面直线所成的角 理解异面直线所成角的定义与范围，掌握平移法的求解路径. 为高考高频考点，常以选择题、填空题形式考查，难度中等；多结合棱柱、棱锥载体命题，重点考查空间想象与运算能力. 直线与平面所成的角 理解线面角的定义与范围，掌握找垂线、作射影的几何法；能熟练进行角度转换与计算，提升空间几何分析能力. 为高考核心考点，多以解答题形式考查，常作为立体几何解答题的中间设问；命题载体多为棱锥、棱柱，是区分度较强的考点. 两平面的夹角和二面角 理解二面角的定义与范围，掌握定义法、三垂线法、垂面法等几何方法；能准确识别二面角的平面角，区分两平面夹角与二面角的关系，规范步骤与书写. 为高考重点考查内容，多作为立体几何解答题的压轴设问；命题载体多为棱锥、棱柱，常与线面垂直、面面垂直综合考查，是立体几何的难点与核心区分点. 知识点01 异面直线所成的角(或夹角) 1．定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把与所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. 2．范围： 知识点02直线与平面所成角（或夹角） 1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角,当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0. 2范围： 知识点03 二面角与两平面的夹角 1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. 2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0. 3．范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为. 知识点04 三垂线定理及逆定理（拓展） 1.三垂线定理及逆定理： ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.A O P P 2．对于三垂线定理及逆定理的剖析： (1)三垂线定理及逆定理中涉及到一个平面和四条直线.即如图所示的平面、平面内的直线、平面的斜线PA、平面的垂线PO、斜线PA在平面内的射影OA. (2)三垂线定理及逆定理中的三种垂直关系：垂线和平面垂直、射影和平面内的直线垂直、斜线和平面内的直线垂直. (3)“斜线的射影”指的是斜线在已知平面内的射影，而不是任何一个平面的射影. (4)三垂线定理及逆定理中的前提条件是“在平面内的一条直线”，这条直线必须是“平面内的一条直线”. (5)三垂线定理是判定平面的一条斜线和这个平面内一条直线互相垂直的理论依据，实质上是实现由线线相交垂直（共面垂直）到线线空间垂直（异面垂直）的转化. (6)三垂线定理与逆定理相同点是：前提条件是一样的，即都是“在平面内的一条直线”；不同之处是：条件与结论互换.原定理是平面内的直线先与射影垂直，然后得出与斜线垂直.而逆定理恰好相反，先是与斜线垂直，然后与射影垂直. 知识点05 最小角定理和三角余弦公式（拓展） 1．三角余弦公式： 如图所示，其中=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理.. 2.最小角定理 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC. 题型一 直接平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 直接平移法求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． 【典例1-1】（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·四川遂宁·期中）在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型二 特殊点平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. 【典例2】（25-26高二上·广东汕尾·期末）在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 题型三 补形平移法求异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 【典例3】正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【变式3-1】（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 题型四 定义法求线面角 解｜题｜技｜巧 利用线面角的定义求线面角的步骤可归纳如下： （1）作垂直：作平面的垂线 （2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）计算：利用余弦定理等求角度. 【典例4】（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·贵州毕节·一模）已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式4-3】（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 题型五 三角余弦公式求线面角 答｜题｜模｜板 1.找角：设直线与平面所成角为，直线与平面内射影夹角为，射影与目标线夹角为. 2.套用公式：由三角余弦公式，先求（线面角的邻边比斜边）、（射影与目标线夹角余弦）. 3.求角：代入公式得，再由线面角范围求. 【典例5】已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【变式5】如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 题型六 等体积法求线面角 解｜题｜技｜巧 在利用线面角的定义求线面角的大小时，有时斜线上的点到平面的距离不易求得，此时可利用等体积法先求出这段距离，再利用线面角的定义求角. 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长. 【典例6】（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【变式6-1】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式6-3】（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．    (1)求证： (2)当时，求直线与直线所成角的余弦值 (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 题型七 定义法求二面角（或两平面的夹角） 解｜题｜技｜巧 定义法求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例7】如图，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，，则的长度为 ．    【变式7-1】（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型八 三垂线法求二面角 解｜题｜技｜巧 1.三垂线定理及逆定理 ⑴定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ⑵逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 2.利用三垂线定理求二面角： 三垂线法是求二面角的常见方法,依据是三垂线定理或逆定理,利用它求解的关键是作出平面的垂线，当平面是水平平面时，容易找到面的垂线，而当平面是非水平状态时，面的垂线的寻找有一定的难度，因此对线面垂直关系的不同位置，应多注意观察，加强练习. 【典例8-1】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【典例8-2】（2026·湖南长沙·一模）已知三棱锥满足，且其体积为，若点（正投影在内部）到的距离相等，则二面角的正弦值为 . 【变式8-1】（24-25高一下·河南信阳·阶段检测）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【变式8-2】（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 题型九 投影面积法求二面角 解｜题｜技｜巧 射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 【典例9】如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 【变式9-1】（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 题型十 垂面法求二面角 解｜题｜技｜巧 如图，若平面α存在垂线AB，且β平面存在垂线AC,则平面α与平面β的夹角等于直线AC与AB的夹角，此时平面恰好为二面角棱的垂面，故此法称为垂面法. 垂面法将二面角转换成线线角，计算量较小. 【典例10】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为. (1)在四棱锥中，求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的大小. 【变式10-1】如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，则二面角的大小为 【变式10-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体中，四边形是平行四边形，，，，，在底面的射影为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值． 题型十一 补形法求“无棱”二面角的大小 解｜题｜技｜巧 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时(此时的二面角常称为“无棱”二面角，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【典例11】（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 【变式11】（2026·四川宜宾·三模）如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 期末基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（2026·江苏南京·模拟）在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·重庆九龙坡·二模）将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 4．（2026·上海静安·一模）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·河北沧州·二模）在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．304 C．192 D．184 2.（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 4．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $