期末培优：几何法求点到平面距离复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末培优：几何法求点到平面距离复习讲义 期末培优：几何法求点到平面距离复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义 从平面外一点向平面作垂线，垂线段的长度，就是该点到平面的距离。 关键点：垂线垂足落在平面内，垂线段垂直平面内所有直线，垂线段长度为距离，斜线段长度不能当作距离。 2. 两种核心几何手段 方法 1：面面垂直垂线法（直接法） 依据：面面垂直性质定理 若平面 平面 ，交线为 ； 在 内过点 作 ，垂足 ，则 ，线段 长即为 到平面 的距离。 方法 2：等体积法（间接法，万能通用） 三棱锥体积公式： 同一三棱锥，更换底面与对应高，体积不变。 把待求距离 当作某一面上的高，列体积等式反解： 3. 补充推论 1. 若直线平行平面，则直线上所有点到平面距离相等； 1. 若两点在平面同侧，两点连线平行平面，则距离相等； 1. 若平面内点，到平面距离为 0。 二、解题原理与标准步骤 题型 1：直接法（有面面垂直条件） 1. 观察图形，找到包含该点、且与目标平面垂直的辅助平面； 1. 找出两个平面的公共棱； 1. 过已知点，在辅助平面内向棱作垂线，垂线段垂直目标平面； 1. 在直角三角形中计算垂线段长度，结果即为点面距离。 题型 2：等体积法（无现成垂线，最常考） 1. 以已知点为顶点，取目标平面内三角形作为底面，构造三棱锥； 1. 换一组容易计算面积和高的底面，求出三棱锥总体积 ； 1. 算出目标平面内底面三角形面积 ； 1. 代入公式 ，算出的 就是点到平面距离。 三、适用场景区分 1. 棱柱、棱锥自带面面垂直（直棱柱、底面垂直侧面）→ 优先直接垂线法； 1. 不规则几何体、无垂直平面、难以作垂线 → 必用等体积法； 1. 求线面角配套求距离：统一用等体积法快速算出垂距。 四、高频易错点 1. 作线段垂直平面内一条直线，就误以为是垂距，缺少面面垂直条件； 1. 等体积法计算时，选错底面，对应高找错，体积算错； 1. 混淆垂线段与斜线段，直接用斜线长度当作距离； 1. 面面垂直作垂线时，直线不在平面内、不垂直交线，垂线不成立。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 例2．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 例3．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 例4．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图，在直角梯形中， 且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使 M为的中点. (1)是否存在上一点使得平面 平面，若存在，请求出此点的位置并加以证明，若不存在，请说明理由； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离. 变式训练 变式1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 变式2．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 变式3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）如图，长方体中，，点M为的中点．    (1)求证：平面BDM； (2)求点C到平面BDM的距离． 变式4．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.      (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 实战演练 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：几何法求点到平面距离复习讲义 期末培优：几何法求点到平面距离复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义 从平面外一点向平面作垂线，垂线段的长度，就是该点到平面的距离。 关键点：垂线垂足落在平面内，垂线段垂直平面内所有直线，垂线段长度为距离，斜线段长度不能当作距离。 2. 两种核心几何手段 方法 1：面面垂直垂线法（直接法） 依据：面面垂直性质定理 若平面 平面 ，交线为 ； 在 内过点 作 ，垂足 ，则 ，线段 长即为 到平面 的距离。 方法 2：等体积法（间接法，万能通用） 三棱锥体积公式： 同一三棱锥，更换底面与对应高，体积不变。 把待求距离 当作某一面上的高，列体积等式反解： 3. 补充推论 1. 若直线平行平面，则直线上所有点到平面距离相等； 1. 若两点在平面同侧，两点连线平行平面，则距离相等； 1. 若平面内点，到平面距离为 0。 二、解题原理与标准步骤 题型 1：直接法（有面面垂直条件） 1. 观察图形，找到包含该点、且与目标平面垂直的辅助平面； 1. 找出两个平面的公共棱； 1. 过已知点，在辅助平面内向棱作垂线，垂线段垂直目标平面； 1. 在直角三角形中计算垂线段长度，结果即为点面距离。 题型 2：等体积法（无现成垂线，最常考） 1. 以已知点为顶点，取目标平面内三角形作为底面，构造三棱锥； 1. 换一组容易计算面积和高的底面，求出三棱锥总体积 ； 1. 算出目标平面内底面三角形面积 ； 1. 代入公式 ，算出的 就是点到平面距离。 三、适用场景区分 1. 棱柱、棱锥自带面面垂直（直棱柱、底面垂直侧面）→ 优先直接垂线法； 1. 不规则几何体、无垂直平面、难以作垂线 → 必用等体积法； 1. 求线面角配套求距离：统一用等体积法快速算出垂距。 四、高频易错点 1. 作线段垂直平面内一条直线，就误以为是垂距，缺少面面垂直条件； 1. 等体积法计算时，选错底面，对应高找错，体积算错； 1. 混淆垂线段与斜线段，直接用斜线长度当作距离； 1. 面面垂直作垂线时，直线不在平面内、不垂直交线，垂线不成立。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 例2．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4，                        设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 例3．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）已知正三棱柱的棱长均为，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离 ． 【答案】(1)连接交于点，连接， 则正三棱柱中是平行四边形， 所以为的中点，又为的中点， 所以，平面， 平面， 所以平面. (2)因为为正三角形，为的中点，所以． 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用平行四边形性质可得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合棱柱的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过作，垂足为，利用勾股定理得，利用面面垂直的性质定理得所以平面，即可得到平面的距离，进而利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过作，垂足为， 由题意可得，，， 所以，所以， 所以的面积， 因为正三棱柱中，平面 平面， 又平面 平面，平面，且， 所以平面， 即到平面的距离为， 又的面积， 所以， 又， 所以，解得， 所以点到平面的距离为. 例4．（25-26高一下·宁夏石嘴山·阶段检测）如图，在直角梯形中， 且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使 M为的中点. (1)是否存在上一点使得平面 平面，若存在，请求出此点的位置并加以证明，若不存在，请说明理由； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)存在，为的中点， 证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. 因为平面， 所以平面 平面. (2)证明：在正方形中，， 因为平面， 所以平面. 平面. 在直角梯形中，，. 取的中点，连接，则四边形为正方形，所以， 所以， 在中，， 所以，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线的性质及线面平行、面面平行的判定定理证明即可； （2）证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作的垂线交于点，证明平面，再根据几何关系求即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在直角梯形中，，，可得，． 由(2)知，平面平面，且为交线， 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中，， 所以， 又是的中点，所以点到平面的距离等于． 变式训练 变式1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)过点作，交于点，连接， 因为是的中点，， 由平行线分线段成比例得，即是的中点， 又是中点，因此，即； 结合已知，得，因此， 在中可得，因为，平面，平面，故平面； 因为，平面，平面，故平面， 又，且平面， 由面面平行判定定理得：平面平面， 因为平面， 因此平面. 【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，过作，交于点，再证明平面，是的中位线可得结论； （2）过点作，交于点，证明平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，即， 且，平面， 所以 平面， 过作，交于点，由平面可知平面， 的长度即为点到平面的距离， 因为是中点，，所以是的中位线， 因此， 即点到平面的距离为； （2）略 变式2．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)利用等腰三角形的几何特征，得到，再利用菱形的几何特征得到，再结合直线垂直于平面的判定定理，证明出平面,再利用直线与平面的性质定理得到.（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.(3)先利用题目的条件证平面，再证 平面，再用平面与平面平行的判定定理证明平面平面，再用平面与平面的性质定理证明平面即可. 【详解】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以. 因为菱形，所以. 又 ,平面，所以平面. 又平面，所以. （2）在菱形中，因为. 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知平面. 因为平面所以又所以平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为平面. 平面，所以平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为平面，平面AEC， 所以 平面 又，平面 所以平面平面， 又平面 所以 平面 变式3．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）如图，长方体中，，点M为的中点．    (1)求证：平面BDM； (2)求点C到平面BDM的距离． 【答案】(1) 在长方体中，令， 则为中点，连接，    由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)令，由三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）设点C到平面的距离为， 长方体中，, 所以， ， ， 所以，又， 由可得，, 即，所以. 故点C到平面BDM的距离为. 变式4．（24-25高一下·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点.      (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的相关性质，得到各线面之间的关系，最后由线面垂直的性质证明； （2）利用正方体性质，通过线面垂直判定，确定为二面角平面角，根据正方体棱长及中位线、勾股定理，得，的线段长度，用，算出结果 ； （3）利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）在正方体中，,,所以.    根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； （2）连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，，    由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . （3）设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 实战演练 1．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判定可得证； （2）如图，取的中点为，连接，，根据等体积法可求得答案. 【详解】（1）在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； （2）如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $