期末培优：几何法求线面角问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末培优：几何法求线面角问题复习讲义 期末培优：几何法求线面角问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义与范围 直线与平面相交，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面的线面角，记作 。 取值范围： · 直线平行平面/在平面内： · 直线垂直平面： 2. 线面角三要素（找角必备） 设斜线 ，斜足为 ： 1. 斜线上任取一点 （异于斜足）； 1. 过 作平面垂线，垂足 ； 1. 连接斜足 与垂足 ， 为斜线射影； 就是直线 与平面的线面角 。 3. 核心直角三角形关系 平面， 为直角三角形， 4. 作垂线两大依据（几何法核心） 1. 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内作交线垂线，该直线垂直另一平面（最常用）； 1. 等体积法：图形无现成垂线，无法直接作图时，求点到平面距离 ，无需画图直接算 。 二、解题原理（标准四步流程） 1. 定斜线、定平面 明确哪条直线、哪个平面，找到直线与平面交点（斜足）。 1. 作点向平面的垂线（关键一步） 优先利用面面垂直构造垂线；无直观垂线则用等体积法算出点面距离。 1. 连射影，标出角 连接垂足与斜足，锁定直角三角形，标注出线面角 。 1. 解直角三角形求三角函数值 求出垂线段长度、斜线总长，用 计算； 若题目要求角度，写出对应角度；一般只需求正弦/余弦/正切。 三、两类题型解题思路 题型 1：图形存在面面垂直（常规大题） 1. 找两平面交线； 1. 在含斜线的平面内，作交线的垂线，得到平面垂线； 1. 构造直角三角形，计算边长求线面角。 题型 2：无现成垂线，不规则几何体 1. 设三棱锥体积，等体积转换 ； 1. 反解出点到平面垂直距离 ； 1. 测出斜线长度，直接代入 ，不用画垂线。 四、高频易错点 1. 三角函数用错：线面角对边是垂线段，只能用 ； 1. 不会利用面面垂直作垂线，无法构造直角三角形； 1. 误把斜线与平面内任意直线夹角当成线面角； 1. 等体积法计算底面积、高时出错，距离算错导致角度偏差； 1. 分不清斜足与垂足，射影连线找错。 例题分析 例1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 例2．（25-26高一下·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 例4．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 变式训练 变式1．（25-26高一下·四川宜宾·月考）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 变式2．（2026·江西南昌·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为．    (1)求三棱锥体积的最大值； (2)在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 变式3．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 变式4．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，.    (1)求异面直线DE与所成角的余弦值； (2)求与平面夹角的余弦值. 实战演练 1．（25-26高三上·贵州·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.    (1)证明：平面平面. (2)求三棱锥的表面积. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：几何法求线面角问题复习讲义 期末培优：几何法求线面角问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义与范围 直线与平面相交，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面的线面角，记作 。 取值范围： · 直线平行平面/在平面内： · 直线垂直平面： 2. 线面角三要素（找角必备） 设斜线 ，斜足为 ： 1. 斜线上任取一点 （异于斜足）； 1. 过 作平面垂线，垂足 ； 1. 连接斜足 与垂足 ， 为斜线射影； 就是直线 与平面的线面角 。 3. 核心直角三角形关系 平面， 为直角三角形， 4. 作垂线两大依据（几何法核心） 1. 面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个面内作交线垂线，该直线垂直另一平面（最常用）； 1. 等体积法：图形无现成垂线，无法直接作图时，求点到平面距离 ，无需画图直接算 。 二、解题原理（标准四步流程） 1. 定斜线、定平面 明确哪条直线、哪个平面，找到直线与平面交点（斜足）。 1. 作点向平面的垂线（关键一步） 优先利用面面垂直构造垂线；无直观垂线则用等体积法算出点面距离。 1. 连射影，标出角 连接垂足与斜足，锁定直角三角形，标注出线面角 。 1. 解直角三角形求三角函数值 求出垂线段长度、斜线总长，用 计算； 若题目要求角度，写出对应角度；一般只需求正弦/余弦/正切。 三、两类题型解题思路 题型 1：图形存在面面垂直（常规大题） 1. 找两平面交线； 1. 在含斜线的平面内，作交线的垂线，得到平面垂线； 1. 构造直角三角形，计算边长求线面角。 题型 2：无现成垂线，不规则几何体 1. 设三棱锥体积，等体积转换 ； 1. 反解出点到平面垂直距离 ； 1. 测出斜线长度，直接代入 ，不用画垂线。 四、高频易错点 1. 三角函数用错：线面角对边是垂线段，只能用 ； 1. 不会利用面面垂直作垂线，无法构造直角三角形； 1. 误把斜线与平面内任意直线夹角当成线面角； 1. 等体积法计算底面积、高时出错，距离算错导致角度偏差； 1. 分不清斜足与垂足，射影连线找错。 例题分析 例1．（25-26高一下·湖南长沙·月考）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 【答案】(1)连接交于，因为为劣弧的中点， 故是中点，又是中点，所以， 平面，平面，因此平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）利用线面垂直的判定定理得到平面，故是直线与平面所成的角．计算的值，从而得解． 【详解】（1）略 （2）依题意，平面，平面，故， 又为半圆弧的中点，因此，平面， 因此平面，故是直线与平面所成的角． 因为，所以， 因为，所以， 故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为． 例2．（25-26高一下·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    例3．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）如图，在平面图形中，四边形为菱形，，将沿边折起，使得点 到达点的位置，连接，得到四棱锥． (1)证明：． (2)设，且平面平面． （i）求 与平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，，. 由折叠性质得，为等腰三角形，故. 四边形为菱形且，为等边三角形，因此. 又，平面，故平面. 因平面，因此，得证. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）通过证明线面垂直的方法证得. （2）（i）判断 与平面所成角，解直角三角形求得其正弦值. （ii）利用等体积法求得到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）（i）由平面平面，平面平面，平面且， 故平面，即为与平面所成的角. 由得，故， 在中，. 等边中，. 在中，，故. （ii）设点到平面的距离为，由等体积法得. 菱形中，，， 故. 三棱锥的高为， 故. 在中，，，， 由余弦定理得， 故， 因此. 由，解得. 例4．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）如图，在直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，点D为的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点A，B，C，D都在同一个球的表面上，求该球的表面积． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以．设与交于点E， 因为点D为的中点，在矩形中，，， 所以，又，， 所以，因为， 所以，所以，， 因为，，平面， 所以平面． (2) (3)． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，再由，证明，结合线面垂直的判定定理即可得证. （2）由（1）可得平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d，由等面积法求得d，即可得解. （3）取CD的中点O，可证,即点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，平面，且平面， 所以平面平面，且平面平面， 所以点到平面的距离就是点到直线的距离d， 由（1）可得，，，， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）因为，，，， 取CD的中点O，则， 取BC中点F，连接AF，OF，因为，F为BC的中点，所以， 在直棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，且，， 所以， 所以点A，B，C，D都在以O为球心的球O的表面上，该球的半径，表面积为． 变式训练 变式1．（25-26高一下·四川宜宾·月考）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)连接，因为为正方形，，则为的中点， 同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 连接，在中，、分别为、的中点，所以， 在正方形中，， 在正方体中，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 又因为，所以平面. (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，即可证得平面； （3）设，并连接，由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 变式2．（2026·江西南昌·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球表面积为．    (1)求三棱锥体积的最大值； (2)在中，，． （i）当时，求证：； （ii）若与面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【分析】（1）把三棱锥放入长方体中，根据长方体外接球半径的求法列出相应方程，得 ，由棱锥的体积公式结合基本不等式可得三棱锥体积的最大值； （2）由（1）的结论，结合题意可得，（i）易得，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而证得.（ii）利用等体积法可求得点到平面的距离，根据线面角的正弦值列出关于的方程，求解可得的值． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 因为，所以. 又 平面，所以平面. 因为平面，所以. 如图，把三棱锥放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球. 设该外接球半径为，则 ，得 . 又长方体的外接球半径为， 所以 ，所以 . 三棱锥的体积为 ， 当且仅当时，等号成立. 所以三棱锥体积的最大值为.    （2）由（1）知， ，即，. 由，得 ，所以. （i）当时，，所以为的中点. 所以. 又平面，平面， 所以. 因为 平面， 所以平面. 因为平面，所以. （ii）三棱锥的体积等于的体积，记点到平面的距离为， 则 ， 得. 因为， 所以点到平面的距离为， 又， 所以与面所成角的正弦值为， 化简得， ， 所以或. 变式3．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 变式4．（25-26高二上·四川内江·期中）如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，.    (1)求异面直线DE与所成角的余弦值； (2)求与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为三角形的中位线得到，从而得到为异面直线DE与直线所成角或补角，求出和的长度，在中利用余弦定理求出 ，即可得异面直线DE与直线所成角的余弦值. （2）过点作的垂线，垂足为F，由题中条件得到为的中点和平面，从而得到为在平面的射影，则即为所求角，求出、、的长度，在中利用余弦定理求出，即为与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为AC、的中点， ∴为三角形的中位线，即， 为异面直线DE与所成角或补角， 在中，，，， . 异面直线DE与所成角的余弦值. （2）过点作的垂线，垂足为F，连结， 是正三棱柱，是正三角形，为的中点.   平面平面，且平面平面，平面 ，所以平面， 所以为在平面的射影，即为所求角， ，，， 所以， 即与平面夹角的余弦值. 实战演练 1．（25-26高三上·贵州·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.    (1)证明：平面平面. (2)求三棱锥的表面积. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）的性质，结合直角三角形面积公式求出表面积. （3）求出点到平面的距离。再利用公式法求出线面角的正弦. 【详解】（1）在三棱锥中，由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）得，而， 则， 所以三棱锥的表面积. （3）由平面，得点到平面的距离为， 由为棱的中点，得点到平面的距离， 由（2）知，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高一下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）将平面沿翻折至与平面共面，利用侧面展开图的最短路径求解； （3）过作，垂足为，求证即为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 在中，， 因四棱锥为正四棱锥，则， 则， 则在中，. 故的最小值为. （3）连接交于点，过作，垂足为， 因为正方形，则，则， 因为线段的中点，则为线段的中点， 因，则，， 因为四棱锥为正四棱锥，则底面， 又面，所以， 又，平面，所以平面， 故即为直线与平面所成角， 在中，在中， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $